行星运动的能量分析

122002122002行星运动能量分析本文以行星绕太阳为例，求解轨道能量，验证位力定理，并给出开普勒积分的计算方法。我们知道：各大行星都是绕太阳做椭圆运动的。对任一行星（例如地球而言到力主要是太阳对它的引力作用。在有心力的作用下，质点始终在一固定平面内运动。设行星质量为，转周期在计算时认为太阳是固定不动的。行星绕太阳运动，只受到太阳对其的万有引力，故满足机械能守恒。以无穷远点处作为势能零点，设行星与太阳构成的系机械能为，星动能为T，星与太间的引力势能为V，有+V。各个物理量具体化，则有2

2

，

𝑘

𝑟

。式中，v表示行星的运动速度𝑘是个与行星无关而只和太阳有关的量，叫做太阳的高常，行星和太阳之间的距离。图一行星太阳运动示意图设日心（如图一所示）位于椭圆的右焦点上，行星运动的轨迹方程为221(22

(1)这是一个椭圆的标准方程其中a为椭圆的半长轴b椭圆的半短轴对于平面光滑曲线可求出其上任意可导点处的曲率半径利用该公式，可以求出椭圆上任意可导𝑦

3(1′22′′|)的曲率半径

(2)

0||0

32

(3)由于该曲线在点,0)处可导于计算在0,b处曲率半径该点的曲率半径为由两点具有一定的等效性，所以可以类比得到a处曲率半径为

2

𝟐𝑛𝑖𝑖2(4)𝟐𝑛𝑖𝑖2当行星运行至近日点时，到日心的距离ac)(椭圆的半焦距，满足

2

2

2

)。根据牛顿第二定律，有𝑎

(5)动能的表达式为

(6)势能为

(7)得到机械能的表达式

(8)可以发现，行星运动的轨道能量只与其质量和轨迹的半长轴有关。我们可以类比到双曲线轨道和抛物线轨道，同样可以求出其轨道能量于曲轨，轨能为，而物轨能为。在《理论力学》课上，对于不同轨道，课本上只给出了定性的表述。在本文中，对轨道能量进行了量化。接下来从轨道能量出发来验证位力理位力定理的表达式为∑本文中以“”表示一个物理量的平均值。

(9)根据，得

2

，所以∫0于是问题转化为求解积分∫，令∫。00以日心为极点，轴向为极轴，可以写出椭圆的极坐标方程

(10)

𝑐

(11)式中，表示椭圆的焦准距，e<1)为圆的离心率。行星作有心运动，满足角动量守恒定律，得

2

(h为常。于是以得到，2将式(与式12)带积分表达式中，可以得到

(12)(13)

2𝜋22212𝜋2221𝜏2𝜋∫∫𝑐00可以发现关于I的算引入了积分∫0

。对于此类广义积分，可利用留数定理求解。令

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖，利用欧拉公式可以得到令函数(𝑧

2

𝑒

2𝜋2∫∮𝑖20|，求函数𝑧的奇点及其留数，令其分母为零，得

(14)√,𝑧2这就是函数(𝑧的个单极点。单极的

√𝑧

√1

2√所以极在位内。而单极的模𝑧2

√1

2

所以在位圆外计算在极处留数()

𝑓𝑧

√1

2所以积分值

2𝜋𝜋𝑖𝑖2√1√12

(15)根据开普勒第二定律，

2

上式中表示矢径扫过的面积（如图2所以𝜋𝜏

𝜋𝑎𝜏

(16)

,,2𝜋𝑎𝑏𝑛𝑖𝑖0𝑛𝑖𝑖030,,2𝜋𝑎𝑏𝑛𝑖𝑖0𝑛𝑖𝑖030将

𝑐2𝑎𝑎

𝜏

图开勒第二定律带入(式中，可以得到

2𝜋

2

𝜏𝑎

(17)于是，动能的平均值为𝜏2𝑎𝜏𝑎2𝑎

(18)然后计算𝜏∑∫𝐼2222𝜏2𝜏2𝑎

(19)于是验证了∑2从以上的推导中，我们还可以得出

2𝑎

𝑎2𝜋∫,2𝑐2在附录中展示如何用牛顿莱尼兹公式求解式。(21)式示积分在力学和量子力学中甚为重要，由它可以导开勒积分2𝜋∫,0+𝑒𝑐20用代替(𝑎，

(20)(21)(22)2𝜋∫2𝑎𝑐𝜃𝑎2

2

(23)(23)式边对a导，得2𝜋∫2𝑎𝑐20

2

(24)令𝑎，2𝜋∫2𝑐20

3

(25)另外，本文对课本中圆锥曲线的极坐标方程做了一个修正。课本中，圆锥曲线的极坐标方程为

与本文中的圆锥曲线方程相差一个常数因子e实际上们通常以表圆锥曲线的焦准距课本中的表的是圆锥曲线正焦弦长度的一半。对抛物线而言二者相等，但对椭圆和双曲线并不立。所以，作此修正，更符合人们的习惯，也使得方程中参数的意义更加明确。本文中运用了比较多的数学推导，对课本中定性的描述进行了定量的推导，并给出了具体的结论公式。最后，谈一谈我对《理论力学》课的感受。从《力学》到《理论力学在学层面上进行了提高但多数数学的用也都还是《高等数学《性代数的范畴内求的方程也是常系数的线性方程内虽却也不算很困难正体《论力学精髓的还在分析学这一章节功理朗贝尔原理格日方程等在理论分析和工程计算中都有很多的应用。对于分析系统，构建力学模型，具有指导意义。

0θ,则,00θ,则,0附录利用牛顿莱布尼兹公式求解式21)中的积分∫,0𝑐先求不定积∫𝑜

。令

2

，以∫∫

𝑖𝑠2

𝑎∫

∫

∫𝑐