2020秋高中数学人教版2-21.4生活中的优化问题举例含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版选修2-2课时作业：1.4生活中的优化问题举例含解析第一章1.4请同学们认真完成练案[9]A级基础巩固一、选择题1．（2020·杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位:℃）为f(x)＝eq\f(1,3）x3－x2＋8(0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)A．8 B．eq\f（20，3)C．－1 D．－8［解析]瞬时变化率即为f′(x）＝x2－2x,为二次函数，且f′（x)＝(x－1）2－1，又x∈［0，5]，故x＝1时，f′（x）min＝－1。2．(2020·西安高二检测）要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20cm，要使其体积最大，则高为（A．eq\f(\r（3）,3）cm B．eq\f(10\r(3），3）cmC．eq\f（16\r(3）,3)cm D．eq\f(20\r(3）,3)cm[解析］设圆锥的高为xcm，则底面半径为eq\r（202－x2）(cm)，其体积为V＝eq\f(1,3)πx（202－x2)（0〈x〈20），V′＝eq\f(1，3）π·（400－3x2)，令V′＝0,解得x1＝eq\f（20\r（3）,3)，x2＝－eq\f（20\r（3）,3)（舍去）．当0<x〈eq\f（20\r（3）,3)时，V′〉0，当eq\f（20\r(3），3）〈x<20时，V′<0，∴当x＝eq\f（20\r（3)，3)时，V取最大值．3．欲制作一个容积为的圆柱形蓄水罐(无盖），为能使所用的材料最省，它的底面半径应为(C）A．eq\f(V,π) B．eq\r(\f(V,π))C．eq\r(3,\f(V,π)） D．eq\r（4,\f(V,π））［解析］设圆柱的底面半径为r,高为h，表面积为y，则由题意有πr2h＝V，所以h＝eq\f(V，πr2）。则水罐的表面积y＝πr2＋2πrh＝πr2＋2πreq\f（V,πr2）＝πr2＋eq\f（2V，r)（r＞0)．令y′＝2πr－eq\f(2V,r2)＝eq\f(2πr3－V，r2）＝0，得r＝eq\r(3,\f(V，π))。检验得，当r＝eq\r（3，\f（V，π)）时表面积取得最小值，即所用的材料最省．4．某公司的盈利y（元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x），且f′(100）＝－1，这个数据说明在100天时（C）A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加C．公司盈利在逐渐减少 D．公司有时盈利有时亏损［解析］因为f′(100）＝－1,所以函数图象在这一点处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(C）A．R B．2RC．eq\f(4，3）R D．eq\f(3，4）R[解析]设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2,∴r2＝2Rh－h2,∴V＝eq\f（1，3)πr2h＝eq\f(π,3）h（2Rh－h2)＝eq\f（2,3)πRh2－eq\f（π,3）h3，V′＝eq\f（4,3）πRh－πh2.令V′＝0，得h＝eq\f（4，3)R.当0〈h<eq\f（4R,3)时，V′>0；当eq\f(4R，3）〈h<2R时，V′<0.因此当h＝eq\f(4,3）R时，圆锥体积最大．故应选C．6．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边形折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(A．6cm B．C．10cm ［解析]设四角截去的小正方形边长为xcm，则V＝(48－2x)2x＝4x3－4×48x2＋482x(0〈x<24),V′＝12x2－8×48x＋482＝12（x2－8×4x＋48×4)＝12(x－24)·（x－8）．当0<x〈8时，V′>0；当8〈x〈24时，V′<0，∴V在x＝8处取最大值，故选B．二、填空题7．如图，已知用某种材料制成的圆柱形饮料瓶的容积为250mL,则它的底面半径r等于__5π－eq\f(1,3)__cm时，可使所用的材料最省．（用含有π的式子表示)［解析]设圆柱的表面积为S,容积为V，则S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝eq\f(250,πr2)，则S＝2πr·eq\f（250，πr2)＋2πr2＝eq\f（500，r)＋2πr2，S′＝－eq\f（500,r2）＋4πr，令S′＝0，得r＝5π－eq\f（1,3）。令S′〉0,得r>5π－eq\f（1，3）；令S′〈0,得0〈r〈5π－eq\f（1,3)，所以当r＝5π－eq\f(1,3）时，S取得最小值，即此时所用的材料最省．8．等腰梯形ABCD中,上底CD＝40，腰AD＝40，则AB＝__80__时,等腰梯形面积最大．[解析］如图，设∠A＝θ，则h＝AD·sinθ,AB＝40＋2ADcosθ，故S＝eq\f(1，2）AD·sinθ(40＋40＋2ADcosθ)＝20（80＋80cosθ）sinθ＝1600(1＋cosθ)sinθ。S′＝1600[cosθ（1＋cosθ）－sinθsinθ］，令S′＝0,得cosθ＝－1,cosθ＝eq\f（1，2）。因为0<θ<eq\f（π，2)，所以cosθ>0，所以cosθ＝eq\f(1,2),即θ＝eq\f（π,3）时，等腰梯形的面积最大，此时AB＝40＋2×40×eq\f(1,2）＝80.三、解答题9．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30）的平方成正比,已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[解析］(1)若商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件,由题意知24＝k·22，得k＝6.若记商品在一个星期的获利为f(x）,则依题意有f（x）＝（30－x－9)·（432＋6x2)＝（21－x）(432＋6x2)，∴f（x）＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈［0，30］．(2)根据(1）有f′（x)＝－18x2＋252x－432＝－18（x－2)（x－12)。当x变化时，f′（x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，2)2（2,12)12(12,30)f′(x)－0＋0－f（x)↘极小值↗极大值↘故x＝12时,f(x）取得极大值，∵f(0）＝9072，f（12）＝11664，∴定价为30－12＝18(元）能使一星期的商品销售利润最大．10．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升)关于行驶速度x(千米/小时）的函数解析式可以表示为y＝eq\f（1,128000）x3－eq\f（3，80）x＋8（0〈x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解析］（1）当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了eq\f(100,40）＝2.5(小时),耗油eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)×403－\f(3,80)×40＋8)）×2.5＝17。5(升)．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了eq\f(100，x)小时，设耗油量为f（x）升．依题意得f(x）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，128000)x3－\f（3,80）x＋8))·eq\f（100,x）＝eq\f（1，1280）x2＋eq\f（800，x）－eq\f（15,4）（0<x≤120），f′（x)＝eq\f（x，640）－eq\f(800，x2)＝eq\f（x3－803，640x2）（0〈x≤120)．令f′(x）＝0,得x＝80。当x∈（0，80）时，f′(x）〈0，f（x）是减函数；当x∈(80，120］时，f′（x）>0，f(x)是增函数．∴当x＝80时,f(x）取到极小值f（80)＝11.25（升）．因为f(x)在（0，120］上只有一个极小值,所以它是最小值．答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升．B级素养提升一、选择题1．（多选题）用边长为6分米的正方形铁皮做一个无盖的水箱,先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°,再焊接而成(如图所示）．设水箱底面边长为x分米，则（AC）A．水箱容积最大为16立方分米B．水箱容积最大为x立方分米C．当x在(0,3)时，水箱容积V（x）随x增大而增大D．当x在（0,3)时，水箱容积V（x）随x增大而减小［解析］设箱底边长为x，则箱高h＝eq\f(6－x,2），则V＝eq\f(1,2)(6x2－x3）（0〈x<6）,V′＝6x－eq\f(3，2)x2＝0，解得x＝0(舍)，x＝4，∴x∈(0，4）时,V(x)单调递增，x∈（4，6）时，V(x）单调递减,∴当x＝4时,容积最大为16立方分米，故选AC．2．（多选题）某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0。5元．如果销售额函数是f(x)＝－eq\f（1,8）x3＋eq\f(9，16)ax2＋eq\f（1,2）x（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数)，若种植2万斤，利润是2.5万元，下列说法正确的是（BC)A．要使利润最大，每年需种植莲藕8万斤B．要使利润最大,每年需种植莲藕6万斤C．利润最大为eq\f(25，2)万元D．a＝3[解析]设销售的利润为g(x)（单位:万元)，由题意,得g（x)＝－eq\f（1,8)x3＋eq\f（9，16）ax2＋eq\f（1,2）x－1－eq\f(1,2)x，x∈(0，8]，即g(x)＝－eq\f(1，8）x3＋eq\f（9,16）ax2－1，当x＝2时，g(2）＝－1＋eq\f（9，4)a－1＝eq\f（5，2)，解得a＝2。故g(x)＝－eq\f（1,8）x3＋eq\f(9，8）x2－1，g′（x)＝－eq\f（3,8)x2＋eq\f(9,4）x＝－eq\f(3,8)x（x－6），当x∈(0，6)时,g′(x)>0，当x∈(6，8)时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(0，6)上单调递增，在(6，8)上单调递减，所以x＝6时，利润最大为eq\f（25,2)万元，故选BC．二、填空题3．(2020·沈阳高二检测）某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k〉0)，贷款的利率为4.8％，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x（x∈(0，4。8％）)，则使银行获得最大收益的存款利率为__0.032__。［解析]用y表示银行的收益,由题可知存款额是kx2，银行应付的利息为kx3，银行应获得的贷款利息为0。048kx2.∴y＝0.048kx2－kx3，x∈（0，0.048）y′＝0。096kx－3kx2＝3kx（0。032－x）令y′＝0，解x＝0。032或x＝0(舍)当0<x<0。032，∴y′〉0，当0。032〈x〈0.048，y′〈0，∴当x＝0.032时，y取极大值，也是最大值．4．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为__0。5m__,最大容积为__eq\f（6，49）__[解析］设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm,则高为eq\f（6－12x－16x,4)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，2)－7x）)（m)，容积V＝3x·4x·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3，2)－7x）)＝18x2－84x3eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0〈x<\f（3,14)）），V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝eq\f(1,7)或x＝0（舍去）．x∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(1，7)))时,V′>0，x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,7)，\f(3，14）))时,V′<0，所以在x＝eq\f（1，7)处,V有最大值，此时高为0.5m．最大容积为eq\f（6，49）.三、解答题5．（2018·浙江卷，22)已知函数f(x)＝eq\r(x）－lnx.(1)若f(x)在x＝x1，x2（x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)＋f（x2）>8－8ln2；（2）若a≤3－4ln2，证明:对于任意k〉0，直线y＝kx＋a与曲线y＝f（x）有唯一公共点．［解析](1）证明：函数f（x)的导函数为f′（x）＝eq\f(1，2\r（x))－eq\f（1，x).由f′(x1）＝f′(x2）得eq\f（1,2\r（x1）)－eq\f(1,x1）＝eq\f（1,2\r（x2）)－eq\f（1，x2）。因为x1≠x2，所以eq\f（1,\r（x1））＋eq\f（1,\r（x2）)＝eq\f（1，2）。由基本不等式得eq\f（1，2）eq\r（x1x2)＝eq\r（x1)＋eq\r（x2)≥2eq\r（4,x1x2）.因为x1≠x2，所以x1x2>256。由题意得f（x1）＋f（x2）＝eq\r（x1)－lnx1＋eq\r(x2)－lnx2＝eq\f(1,2）eq\r(x1x2)－ln(x1x2）．设g(x）＝eq\f（1，2)eq\r(x）－lnx，则g′（x)＝eq\f(1，4x)（eq\r（x)－4)，x（0,16）16(16，＋∞)g′(x）－0＋g(x）↘2－4ln2↗所以g（x）在［256，＋∞)上单调递增，故g（x1x2）>g（256）＝8－8ln2，即f（x1）＋f(x2)>8－8ln2.（2)证明:令m＝e－(｜a｜＋k)，n＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(|a|＋1,k）））2＋1，则f(m)－km－a〉｜a｜＋k－k－a≥0,f(n）－kn－a〈neq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,\r（n)）－\f（a，n）－k)）≤neq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（｜a|＋1，\r(n)）－k))<0,所以，存在x0∈（m,n）使f(x0)＝kx0＋a，所以，对于任意的a∈R及k∈（0,＋∞），直线y＝kx＋a与曲线y＝f（x）有公共点．由f（x）＝kx＋a得k＝eq\f(\r(x）－lnx－a，x)。设h(x)＝eq\f（\r(x）－lnx－a，x)，则h′(x)＝eq\f（lnx－\f（\r（x),2)－1＋a，x2）＝eq\f(－gx－1＋a,x2）,其中g(x）＝eq\f（\r(x),2)－lnx.由（1）可知g(x）≥g（16），又a≤3－4ln2，故－g(x)－1＋a≤－g(16）－1＋a＝－3＋4ln2＋a≤0，所以h′（x)≤0，即函数h(x)在（0，＋∞)上单调递减，因此方程f（x)－kx－a＝0有唯一一个实根．综上，当a≤3－4ln2时,对于任意k〉0，直线y＝kx＋a与曲线y＝f(x)有唯一公共点．6．如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上），并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面．问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？[解析］设正三角形长为l，如图，设EF＝x,则BF＝eq\f(x,\r（3））,GF＝l－eq\f（2x,\r(3))若以EF为底，GF为高，则圆柱底面半径r1＝eq\f(x,2π)V1＝πreq\o\al(2,1）h1＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2π)）)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（l－\f(2x，\r(3）)))＝eq\f（1,4π）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(2x3,\r（3)）＋kx2)）,0＜x＜eq\f（\r(3）l，2）V′1＝eq\f（1，4π）(－2eq\r(3）x2＋2lx）＝－eq\f（x,2π）(eq\r(3）