2020秋高中数学人教版1-1课堂演练：第二章2.1-2.1.1椭圆及其标准方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版选修1-1课堂演练：第二章2.1-2.1.1椭圆及其标准方程第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1。1椭圆及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．已知F1，F2是定点，｜F1F2｜＝8，动点M满足|MF1｜＋｜MF2｜＝8，则动点M的轨迹是(）A．椭圆 B．直线C．圆 D．线段解析：因为|MF1｜＋|MF2｜＝8＝|F1F2｜，所以点M的轨迹是线段F1F2，故选D.答案：D2．椭圆eq\f(x2，25)＋eq\f（y2，169)＝1的焦点坐标是()A．（±5，0） B．（0，±5）C．（0，±12) D．（±12,0)解析:因为c2＝a2－b2＝169－25＝122，所以c＝12.又焦点在y轴上,故焦点坐标为（0，±12），答案：C3．已知椭圆eq\f（x2，m)＋eq\f(y2，16）＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m＝(）A．10 B．5 C．15 D．25解析:设椭圆的焦点分别为F1，F2，则由椭圆的定义,知｜PF1｜＋｜PF2|＝2a＝10，所以a＝5，所以a2＝25，所以椭圆的焦点在x轴上，m＝25.答案：D4．已知椭圆过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3,5），－4)）和点Qeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(4，5),3）)，则此椭圆的标准方程是(）A.eq\f(y2，25)＋x2＝1 B.eq\f（x2，25)＋y2＝1或x2＋eq\f（y2,25）＝1C。eq\f（x2，25)＋y2＝1 D．以上都不对解析：设椭圆方程为：Ax2＋By2＝1(A≠B，A>0,B>0)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（\f(9，25)A＋16B＝1,，\f（16，25)A＋9B＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（A＝1，,B＝\f(1,25)。))答案:A5．若方程eq\f（x2,m＋9)＋eq\f（y2,25－m）＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）A．－9<m〈25 B．8〈m〈25C．16〈m〈25 D．m>8解析：依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（25－m〉0,,m＋9>0，，m＋9〉25－m，）)解得8〈m<25。答案：B二、填空题6．已知椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝________．解析：易知k≠0,椭圆方程可化为x2＋eq\f（y2,－\f(5，k））＝1，所以a2＝－eq\f(5,k)，b2＝1.又c＝2，所以－eq\f（5，k)－1＝4，所以k＝－1.答案：－17．已知椭圆的焦点是F1（－1，0)，F2（1，0），P是椭圆上的一点，则|F1F2｜是|PF1|和｜PF2｜的等差中项，则该椭圆的方程是___________．解析：由题意得2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，所以4c＝2a＝4,所以a＝2。又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1。答案：eq\f（x2,4)＋eq\f(y2，3)＝18．若椭圆eq\f(x2，49）＋eq\f(y2，24）＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为________．解析：设｜PF1|＝x,则|PF2｜＝14－x,又2c＝10，根据勾股定理，得x2＋（14－x)2＝100，解得x＝8或x＝6，所以S＝eq\f(1,2）×8×6＝24。答案:24三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1）两个焦点的坐标分别是（0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（3，2)，\f(5，2)）)；(2）焦点在y轴上，且经过两个点(0，2）和（1，0）；(3)经过点P（－2eq\r（3)，1）,Q（eq\r（3),－2）．解:（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为eq\f（y2，a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a〉b〉0)．由椭圆的定义知，2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(3，2）））\s\up12(2）＋\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5，2）＋2）)\s\up12(2）)＋eq\r（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(3，2)）)\s\up12(2）＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5,2）－2))\s\up12(2）)＝2eq\r(10)，即a＝eq\r（10).又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6.所以所求椭圆的标准方程为eq\f（y2,10）＋eq\f（x2，6）＝1。(2）因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f（x2,b2)＝1(a〉b>0）．又椭圆经过点（0，2）和（1,0），所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2）＋\f(0,b2）＝1，,\f(0,a2)＋\f（1，b2）＝1，)）所以eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1。）)所以所求椭圆的标准方程为eq\f（y2，4）＋x2＝1.（3）设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m〉0,n>0，且m≠n）,因为点P(－2eq\r(3)，1)，Q（eq\r（3)，－2）在椭圆上，代入椭圆方程得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，）)所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（m＝\f(1,15），，n＝\f(1，5）.）)所以所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2，5)＝1。10．一动圆与已知圆O1:（x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2:(x－3）2＋y2＝81内切,试求动圆圆心的轨迹方程．解：由题意知两定圆的圆心与半径分别为O1(－3，0），r1＝1；O2(3,0），r2＝9.设动圆圆心为M(x，y),半径为R,则由题设条件可得|MO1|＝1＋R,｜MO2|＝9－R，所以|MO1｜＋｜MO2｜＝10.由椭圆的定义知，点M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a＝5,c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16。故动圆圆心的轨迹方程为eq\f(x2，25）＋eq\f(y2，16）＝1。B级能力提升1．平面内有两个定点A，B及动点P，设甲：|PA｜＋|PB｜是定值，乙:点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆,则甲是乙的（)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，则|PA｜＋|PB|是定值，由椭圆的定义，知反之不一定成立．答案：B2．（2014·安徽卷）设F1，F2分别是椭圆E:x2＋eq\f（y2，b2）＝1(0〈b〈1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A,B两点．若|AF1｜＝3｜F1B｜,AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．解析：过B作x轴的垂线,垂足为M.因为AF2⊥x轴,所以｜AF2|＝｜yA｜＝b2.因为｜AF1|＝3|BF1|，所以|BM｜＝eq\f（b2，3）,｜MF1|＝eq\f（2c,3），所以｜MO｜＝eq\f（5c，3），所以Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（5c，3)，－\f（b2,3）)）或eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（5c,3)，\f(b2,3)))，则eq\f（25（1－b2）,9)＋eq\f（b2，9)＝1，故b2＝eq\f（2，3)，则椭圆E的方程为x2＋eq\f（3y2，2)＝1.答案：x2＋eq\f(3y2,2）＝13．已知P是椭圆eq\f(x2，4）＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋｜PF2｜＝4，①且F1(－eq\r(3)，0),F2（eq\r(3）。0)．在△F1PF2中，由余弦定理得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2|2－2|PF1|·｜PF2|cos60°。②由①②得｜PF1｜·｜PF2|＝eq\f（4,3）.所以S△F1PF2＝eq\f（1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq\f(\r（3),3).(2)设点P（x，y)，由已知∠F1PF2为钝角,得eq\o（F1P，\s\up10（→））·eq\o(F2P，\s\up10(→））＜0，即(x＋eq\r（3），y)·（x－eq\r(3)，y）＜0，又y2＝1