真题及讲解数学二89年1391j

12（4）质点以速度tsin(t)米每秒作直线运动，则从时刻t1 秒到t2 ＿＿12 秒到t2st2tsin(t2tsin(t2)dt

sin(t2)dt

2 cos(t2 (coscos) (10)

lim1

x【解析】这是一个 lim1exlimex x

1

xex1为简化计算，令t ，则x xexe

et 0lim lim xex

t t

0（A）a0,b （B）a1,b（C）a3,b （D）a1,b对两函数分别对x求导，得y2xa，则该曲线在点(1,1)处的导数为 232y3 2 3xyy，即

2

y

23·1·(1)2两导数相等，有2a1ayx2axb过点(1,1)，所以有11ab11bbb1，x2,0x f(x2x,1x2F(x3,0x

f(t)dt0x23,0x

（B）F(x)

2x ,1x3

2x

,1x2 3,0x 3,0x（C）F(x) （D）F(x) 2x

,1x2

2x ,1x 当0x1时，f(x)x2所 F(x)xf(t)dtxt2dt1t3x1

当1x2f(x)2

所 F(x)xf(t)dt1t2dtx(2 t32t t2 (2x x2)(2 72x1

3

,0x所 F(x)27

，应选 2x

,1x2f(x在(x00f(xx0f(xx0必是f(xx0必是f(xxf(x

f(x0f(xx1x01x01f(xx1f(x|x1|x01处取极大值，但x01并非是f(x)|x1|的极小值点，所以（C）也不成立；f(x0)f(x0x)yf(xyf(x关于原点对称，所以必有f(x0f(x0x，即在x0f(x0为极小值，故（B）y

11yf(xxx0limf(xxx0xlimf(xa,(a为常数）ya11 exlimy x01ex

1x0ex2

ex2limy x1ex

xex2所以选数为k，则质点和细杆之间引力的大小为 （A）l(ax)2 （B）0(ax)22（C）2 22(a

2 0(adF

(a

F dx，故选l(ax)若以l的中点为原点，则质点的坐标为(al0)，2lF

dx；l2(a l2若以l的左端点为原点，则质点的坐标为(al,0)F dx0(alx)xtcos d2设ytsint如 x(t)，则dyy (所 dydy/dtsinttcos dx/ costtsind2yd(dy)·1d(sinttcost dt dtcosttsin costtsin(2costtsint)(costtsint)(2sinttcost)(sintcos(costtsin

costtsin2(cos2tsin2t)t2(sin2tcos2t)3tsintcost3tsintcos(costtsin 2t(costtsin44 x1x令t ，则xt2,dx2tdt，x 2tdt22(111 x 1t2(1 1 1 1t 2lnt

ln2)2

xsin求lim x0x2(exx0时，有sinx∼xex1x，所

2sin2 x 1coslim lim 洛

2(2 x0x2(ex

求xsin2 xsin2xdxx·1cos2xdx1(xxcos xdx xcos2xdx1x2 xd(sin 1x21xsin2x1sin 1x21xsin2x1cos2x y1yexx这是一阶线性非齐次微分方程，即yp(x)yq(x)，其通解有如yep(x)dx(q(x)ep(x)dxdxC)，其中C为常数。 p(x)1，q(x)exx y

1x(

1xdx

(xexdx1x1 1(xdexC)1(xexexdxC)1(xexexC) y(1)1得C1y1x1 ln 1x1时，原不等式即(1xln(1xxlnx，即(1xln(1xxlnxf(x1xln(1xxlnxx1f(x0即可，可利用函数的单调性证明，对于f(x)有，f(x)ln(1x)1lnx1ln(x1)xx1x11f(x0，所以在(1f(xxf(x)f(1)2ln2 (1x)ln(1x)xlnx0ln(1 1 1lnx1时，原不等式即(1xln(1xxlnxf(x)xlnxf(x)lnx10(x1)f(xxlnxx1f(x1)f (1x)ln(1x)xlnln(1x)ln

1xr210特征根为r1,2i，故对应齐次通解为C1cosxC2sinx，f(xPm(x)exyp(xyq(xyf(xy*xkQm程的重根依次取为0、12。 f(x)ex[P(xcosxP(xsinx]yp(xyq(xyf(x

y*xkex[R(1)(x)cosxR(2)(x)sin R(1x)R(2x)是m次多项式mmaxln，而ki（i）不是特征方程的根、或是 方程的单根依次取为0或1。yyxyyycosxy1xsinx211 4xx11,x22，顶点坐标为24dV(x

yx2y2xydxy 故yy即dV2xydx2x(x1)(x V22x(1x)(x2)dx22(3x2x3 2x31x4x222(0 ) 1dVx22dyx1把Yyyx1)(x2，解得x314y,x314 V0(x2x2 4把x1,x2的值代入V

3314ydy

03(14y)2 3•23 4 4

4 B和C的横坐标，使梯形ABCD的面积最大yyye2B、Cx1x，因为|AB|1x10,x0，依题设|AB||DC|2:1，所以有ex12e2xx1ln2 BCxx1x(ln22x)3xln2,(x所以梯ABCD的面1S1(exe2x)(3xln2)1(2e2xe2x)(3xln1 3(3xln2)e2x2S3(36x2ln2)e2x022 1 1所以x

x11ln20S3(3xln2)e2x x11ln2

1ln21时，梯ABCD面积最

故B点的坐标为(ln21,0)，C点的坐标为 f(x在(f(x

ln2,0)【解析】这是个抽象函数求定积分，由题知f(xsinxf(xxx[0,，计算

ff(x)f(x)sin(x)xsinx,x[0,f(x2)f(x)sin(x2)xsinxsinxx,x[0, f(x)dx f(x)dx2f对于 f(x)dx，令t