高等数学上考试试题及答案

四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期）

课程名称：高等数学（上）（A卷）

命题教师：杨勇

适用班级：理工科本科

考试（考查）：考试2008年1月10日共6页

题评阅（统分）

—•二三四五八七八九十十一总分

号教师

得

分

0

注意事项：

1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否

登

则视为废卷。

3,考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

太

4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷

叩

分别一同交回，否则不给分。

菽试题

忠得分评阅教师

一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）

sin(x2-1)

1.hm---------=(C)

Ix-1

指1

(A)1；(B)0；(C)2；(D)-

2.若/(x)的一个原函数为尸(x),贝IJ卜7/金7)公为(B)

(A)/(e')+c；(B)—F(ex)4-c；

F(e-x)

(C)F(e')+c；(D)—~~-+c

x

版

3.下列广义积分中（D）是收敛的.

(A)「sinxdx；(B)f—dx；(C)「一；

J-lXl+X

4./（x）为定义在［a,”上的函数，则下列结论错误的是（B)

(A)/(x)可导，则/(x)一定连续；(B)/(x)可微，则/(x)不一定可导;

(C)/(x)可积(常义)，则/(x)一定有界；

(D)函数/(x)连续，则，/⑴力在以上一定可导。

1+X

5.设函数/(x)=lim——-,则下列结论正确的为(D)

1+x

(A)不存在间断点；(B)存在间断点x=1；

(C)存在间断点x=0；(D)存在间断点x=-l

得分评阅教师

二、填空题(请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分)

1.极限lim"=_0—.

X

X=]+f2

2.曲线一,在f=2处的切线方程为.

I三

3.已知方程/-5/+6y=xe?x的一个特解为一；(r+2x)e2t,则该方程的通解

为;

4.设/(X)在x=2处连续，且lim1^=2,贝i」/'(2)=

x-2

5.由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力尸(牛顿)与伸长量s成正比，即尸=船(k

为比例系数)，当把弹簧由原长拉伸6c加时，所作的功为焦耳。

2-

6.曲线y=§工2上相应于x从3到8的一段弧长为,

得分评阅教师

三、设X70时，一(。/+法+,)是比/高阶的无穷小，求常数a,b,c的值(6分)

得分评阅教师

四、已知函数旷=arcsinx+e-*cos（3-2x）,求dy.（6分）

太得分评阅教师

n|p

、d2y

五、设函数y=/(x)由方程孙+e=e确定，求一-.（8分）

dxx=0

去

4^

得分评阅教师

六、若有界可积函数/(X)满足关系式/(x)=j/(3力+3x-3,求/(x).(8

分)

得分评阅教师

七、求下列各不定积分(每题6分，共12分)

(1)j(1-sin30)d0.

(2)jjarctanxdx.

X<1

求定积分17(x)dx.(6分)

X>1

得分评阅教师

九、讨论函数/（x）=x-3x§的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10分）

太

n|p

得分评阅教师

去

十、求方程生=—^的通解（6分）

dxx+y

加r

得分评阅教师

2

H—、求证：sinx>—x,XG(0,.（5分）

7t

07-08学年第一学期高等数学(上)理工科(冷卷

参考答案及评分标准

一、选择题(每题3分，共15分)

1.C2.B3.D4.B5.D

二、填空(每题3分，共18分)

x3A22A

1.0,2.y=3x—7,3.y—c}e~4-C2^——(x4-2x)e(qQ为任意常数4.2,

OQ

5.0.18Z:6.—o

3

三、解：limb"—(ax?+bx+c)]=o/.c=i.....2分

XTO

ex~-(ax2-hbx-Fc)八」,/b、八/八

vrlim----------------=0....\lim(e-a----)=0....4分

.1)x21。2x

..a=1b=0.............................6分

xx

四、解：y=1-e"cos(3-2x)+2e~sin(3-2x).....4分

Vl-x2

r.dy—[j育—c~xcos(3—2x)+2^'sin(3—2x)dx.....6分

「丘刀dyydy„dyy「八

五、解：y+x—+ey-=O.\—=...3分

dxdxdxx+e)

X=O,y=l=-l

dxx=0e

J.X=0时=0-28分

dx2

六、两边求导/'(x)=3/(x)+33分

/(x)=ce3x_1(c为任意常数).......6分

•••x=0,/(0)=-3/.f(x)=—2e”-1......8分

七、解：(1)J(l-sin3ewe.=Jde+J(l-cos2e)dcos。....3分

=e+coso-'cos'e+c

...............6分

3

r12

(2)xarctanxdx=—xarctanx3分

J2

111

=­x~2arctanx——x+—arctanx+c6分

222

八、解：=j：(x+l)dx+jgx2dx.......2分

_8

6分

~3

二2二

九、解丁/'(幻=l-x3/"(x)3由广⑺=0得1=±1,/(/)不存在x=0(3分)

X-1(-1,0)0(0,1)1

(-8,-1)(1,+8)

+0—不存在—0+

/'(x)

——————不存在+++

/"(X)

v/(0)=0/(-1)=2川)=27分

・・・/(x)在(-8,-1均［1,+8)上单增,在［-1,1］上单减x=-l时有极大值2,

x=l,有极小值一2。在(—8,0］上是凸的，在［0,+8)是凹的，拐点为(0,0)10

分

dx13

—=—x+y.........(1)

dyy

十、解；))3分

对应齐次方程」=‘X的通解为x=cy>

dyy

设方程的解为代入(得〃(>)=；；/+］

(1)x=1)C5分

1

-y4+C|/6分

兀

H—、证明：令/(x)=sinx----x,xe0,—1分

兀2

:/"(x)=cos尤,/7x)=-sinx又xwrw<o••…3分

兀

：.f(x)的图形是凸的，由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。

兀

・・・/(0)=0,所以xe(0,5),/(x)>05分。

四川理工学院试卷

(2005至2006学年第一学期)

课程名称：高等数学

出题教师：岳健民

适用班级：本科多学时(不含职教)

题一Z二1六-t八九总

号分

得

分

一、单项选择题(15分，每小题3分)

1、当％―8时，下列函数为无穷小量的是()

(A)x—Cosx⑻的(C)(D)(1+-)x

x%2X-1x

2.函数/(%)在点％0处连续是函数在该点可导的)

(A)必要条件(B)充分条件

(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件

3.设/(x)在(。⑼内单增，则/⑶在①力)内()

(A)无驻点(B)无拐点

(C)无极值点(D)/(%)>0

4.设/(%)在出,b］内连续,且则至少存在一点

Je(a,b)使()成立。

(A)f(J)=0(B)，(2=0

(C)，学)=0(D)/⑹-/(Q)=r(J)O-a)

Ax

5.广义积分1不3>0)当(人)时收敛。

(A)p>l(B)p<l(C)>1(D)/?<1

二、填空题(15分，每小题3分)

1、若当X70时，1-Jl-ax?~%2,贝Ua=2；

2、设由方程孙2=/所确定的隐函数y=y(%),则

dy=；

Q

3、函数y=2x+—(x〉0)在区间单减；

x

在区间单增；

4、若/(1)=%0一""在％=2处取得极值，则♦=1/2；

5、若a］：4(%?Mx=£f(x)dx，贝I」a=2；

三、计算下列极限。(12分，每小题6分)

.xJo©—1)力

1、lim(-------)2、lim----------------

51+x1。£

四、求下列函数的导数(12分，每小题6分)

rn2

1、尸丁1——,求y'2、卜=ln(l+/),求学

“-Jy=?-arctanrdx1

五、计算下列积分(18分，每小题6分)

乃/---------------------------------------

■1+x+arctanx.3

1、--dx2、Jcosx-cosxdx

1+%*~2

3、设/(%)=「^4//,计算£40岫

71

---X

2x>——71

六、讨论函数/(%)=cos%2的连续性，若有间断点,

2,兀

一%,x<—

2

指出其类型。(7分)

七、证明不等式：当x>0时,ln(l+x)>x——(7分)

2

八、求由曲线盯=2,y=1,y=2x(x21)所围图形的面积。

(7分)

九、设八］)在［0』上连续,在(0,1)内可导且/⑴=/(0)=0.

证明：至少存在一点Je(0,1)使/(J)=/'(J)

四川理工学院试题(A)

参考答案及评分标准

(2005至2006学年第一学期)

课程名称：高等数学

一、单项选择题（15分，每小题3分）

l.B2.A3.C4.A5.A

二、填空题（15分，每小题3分）

l.a=22.dy=--dx3.（0,2）单减，（2,+8）单增。

2x

4.A=—5.a=2

2

三、计算下列极限。（12分，每小题6分

1.解。原式=lim二=liml+-=e"（6分）

X7XJ

X-1V1

1.解。原式=liem^——=lim—=-（6分）

2x2x2

四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）

/

y'=（4-x2）2=-—（4-x2）2（-2%）4分

［解。L」一

J1------

曳3分

dx2t2

2.解。\+t2

d2y_d（t}dt_111+r2

萨-帚⑸区-2,区-4r

dt

五、计算下列积分（18分，每小题6分）

rarctanx

f3分

J--1-+-x2

1解。原式二

=arctanx+~ln(l+x2)+^arctan2x+c

6分

7C____________[____

2R-Jcosx(l-cos2x)dx=-2pVcosxdcosx3分

2.解。原式=£

=——(cosx)2=—6分

3o3

3.解显然有："1)=0,/(%)="二2》=3"二2分

XX

=^-x2f(x\卜行(x)4分

，Io，

2

1p22sinx,1。..2

=——Ix'---------ax-——Isinx2ax'

2x2

=gcos/[=；(cos1-1)6分

兀

——X

兀

2X>—

六、讨论函数f(x)=<cosx2的连续性，若有间断点，指出其类型。

2

-x,x<-

〔不2

(7分)

7C

----X

解：flim----=1

仔。卜3。COSX

2

3分

TT

所以当X='时，函数连续。

2

JTTT

当x=k兀+—k>2kwz时，cosx=0,所以x=&乃+—k>2kez

22

是函数的间断点。5分

7T

----X

且lim/(x)=lim—....=8,所以1=攵4+'k>2Zwz是函数的无穷问

兀十三兀丁COS

xTk2xTk2X2

断点。7分

七、证明不等式：当尤>0时，ln(l+^)>x--(7分)

乙

丫2

证明：设/(x)=ln(l+x)-x+—2分

=T+x=且/(o)=o

1+x1+x

当x>0时/'(x)>0,所以/(x)单增。5分

当x>0时/(x)>/(O)=O,即：

ln(l+x)>x-—证毕。7分

八、求由曲线％)=2,y=丁，y=2%(x21)所围图形的面积。

4

N(7分)

技解：如图所示：(略)

所求面积A=f(2x-2)dx+f(2x-?)dx3分

鬟

/3\8

(x2-21nx)+x26分

人IJ

叩l22

都=21-21n27分

九、设/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导且/(D=/(0)=0.

籥・(

忠证明：至少存在一点Je(0,1)使/(4)=/'(J)(7分)

证明：设b(x)=f(x)e-r,显然/(x)在在［0,1］上连续，在(0,1)内可导(3分)

Si

并且以0)=/⑴=0,由罗尔定理：至少存在一点Je(0,1)使〃仁)=0

而尸(x)=er［T(x)—/(x)］(6分)

/6)=0即：/(4)=/"C)证毕。

四川理工学院试卷(2006至2007学年第一学期)

课程名称：高等数学(上)(A卷)

命题教师：杜道渊

适用班级：理工科本科

考试(考查)：考试200年月II共6页

题->-评阅(统分)

—•二三四五八七八九十十一总分

号教师

得

分

0分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

6、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废

卷。

7、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

8、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同

交回，否则不给分。

试题

得分评阅教师

一、单选题(请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共18分)

(A)e；(B)e-1；(C)1；(D)8

f.1

xsin—x<n0

2,x=0是函数/(x)=<x的()

l+exx>0

(A)连续点；(B)可去间断点；(C)跳跃间断点；(D)无穷间断点

3.设/⑴、g(x)在x=0的某邻域内连续，且当x-»0时/(x)是较g(x)高阶的无穷小,

则当X70时J(J(f)sinr或是较⑴力()无穷小.

(A)低阶；(B)高阶；(C)同阶非等价;(D)等价。

4.下列求导正确的是()

(A)(sinx2)=2xcosx；

(B)[f(x0)]=/'(%)

/,J

/厂\(^COSX]-COSX

(C)\e)=e；(D)(ln5x)=—

X

111、

5.极限lim——+——+•••+)

11x22x3(«-1)«J

四、已知y=xarctanx-ln求dy.（6分）

得分评阅教师

d2y

五、设函数y=/（x）由方程y—x"'=1确定，求一（6分）

得分评阅教师

六、已知函数y=/（x）由参数方程（一.确定，求°.（6分）

y=sin-tdx

得分评阅教师

七、求下列各不定积分（每题8分，共16分）

1

(1)dx.

1+/

(2)jsin4xdx.

收

4

□|r,

8、评阅教师

八、求定积分|（）x|x-l|dx.（6分）

国

7

案

得分评阅教师

幅

九、求函数＞=/一x2-》+1的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（8分）

得分评阅教师

十、求位于曲线y=e''的下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图

形的面积.(6分)

得分评阅教师

十一、设/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且3&/(x)4x=/(0),求证：存在

3

S(0,1),使得/'C)=0.(6分)

2006-2007(1)高等数学(上)理科本科A卷参考答案

单选题

题号123456

答案BCBDAC

二,填空题

1、a=-7；b=6

2、-?><I<-^

3、m=2

4、y2+z2-5x=0

SinX

三.解：lim(l--L)==lim-=0

—oxsinxI。xsinx”一。2cosx一冗sinx

四.解：dy=yfdx=(arctanxH-------------)dx=arctanxdx

1+x-1+x

五.方程两边关于X求导：=0

两边再求一次导：y"-e'y'-xe'y'2-xey-eyyf-0

电

±山

-苏_2sinrcos/_sin2t

A.ft?:公

一

-2rsinr22,sinJ

山

1rl+ex-ex

七.(1)解：r[----dx=f---------dx—x-ln(l+ev)+C

Jl+e*J1+/

(2)解：令工二产(t>0),dx=2tdt

jsin4xdx=2|rsintdt=-2tcosz+2sinr+C=2(sin\[x-y[xcosy[x)+C

八.解：£%|x-l|i/x=£x(l-x)dx+Jx{x-X)dx=1

九.解：函数y的单调增区间为1—8,—g)u(l,+8),单调减区间为

曲线的凹区间为(；，+8),曲线的凸区间为1—8，g]

116

=0,拐点坐标为

3527

I'.解：所求面积5=f-。冗）公=g

-f^一。证明：•.•/（X）在［0,I］上连续

使得£/(x)dx=；/(Xo)

/.存在xe

033

又3(/(x)dx=/(o)n£/(x)dx=；/(O)

333

”（尤0）=/（0）

又/（x）在（0,1）内可导，所以/（x）在（0,%）内可导

由罗尔定理得：存在（O,Xo）u（O,l）使得

四川理工学院试卷（2007至2008学年第1学期）

课程名称：高等数学（上）A卷

命题教师：谢巍

适用班级：文科本科

考试2007年月日共页

题号—二三四五六总分评阅（统分）

1-67-1011-1415-1819202122教师

得分

注意事项：

9、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

10、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视

为废卷。

11、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

12、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别

一同交回，否则不给分。

试题

得分评阅教师

一、填空题（每空3分，共18分）

1..sinx

1、lim----=__________;

XTOOX

2、lim—；------

I002x"-x-l

3>函数/（x）=e2,贝二.

4、曲线y=一在点处的切线方程为：.

5、函数y=FCOS（『+1M，，贝lj也=______________________o

力dx

6、微分方程y〃-2y'_3y=0的通解为.

得分评阅教师

二、选择题（每题3分，共12分）

7、/（x）的导函数是sinx,则/（x）的一个原函数为（）.

A:1+sinxB:1-sinxC:1+cosxD:1-cosx

r2_1

8、x=l是函数/（x）=----的（）.

x-l

A:可去间断点B：跳跃间断点C:无穷间断点D:连续点

9、函数/（x）=%3-3x在区间［0,2］上的最小值是（）.

A:0B:-2C:-4D:2

10、下列错误的是).

A:[J/(x)dx]=fWB:J广(x)dx=/(x)+c

C：J4(x)=/(x)+cD：J/(x)dx]=/"(x)dx

得分评阅教师

三、计算下列极限与导数（每题5分，共20分）

e'—e~x

叔11、lim------

1。sinx

>1-

口r

£

三12、y=Vcosx2,求：y

Jx-2(x-l)4

13、

-(x+1)5-求：）/

帐

14、方程盯=e'+>'确定y是x的函数，求：了

得分评阅教师

四、计算下列不定积分与定积分（每题5分，共20分）

15>[cos3xdx

16、lx2Inxdx

x+2,

17、,dx

+1

2+sinx

18、dx

1+x2

莪得分评阅教师

五、综合题(每题8分，共24分)

⑼讨论函数y=f的单调性、极值.

n|r>

忠

0

20、求曲线V=4(x+1)及y2=4(l—x)所围成图形的面积

21、求微分方程生+y=e-*的通解.

dx

得分评阅教师

六、证明题（6分）

22、试证：当x>0时有「一vln（x+l）<x（6分）

X+1

四川理工学院试卷（2007至2008学年第1学期）

参考答案及评分标准

课程名称：高等数学（上）A卷

命题教师：谢巍

适用班级：文科本科

一、填空题（每空3分，共18分）

sinx

1、lim----0

18X

lim]£

2、

2x—x—12

3、函数/(x)=e2,则r(x)=。

4、曲线y=’在点处的切线方程为:y=-4x+4

X

5、函数y=「cos（产+l>/r,则虫=8s（•二「）

」由dx2G

3xx

6、微分方程y"-2y'-3y=0的通解为：c1e+c2e~

二、选择题（每题3分，共12分）

7、/（幻的导函数是sinx,则/。）的一个原函数为（D）.

A:l+sinxB:1-sinxC:1+cosxD:1-cosx

r2_1

8、x=l是函数/(x)=L^的(A).

x-1

A:可去间断点B：跳跃间断点C:无穷间断点D:连续点

9、函数f(x)=x3-3x在区间[0,2]上的最小值是(B).

A:0B:-2C:-4D:2

10、下列错误的是(D).

A：[=/(x)B:J/'(x)dx=/(x)+c

C：^df(x)=f(x)+cD:J7(x)dx]=/'(x)dx

三、计算下列极限与导数(每题5分，共20分)

e"一c~x

11、lim------

kt。sinx

X-X/X-X\/

HJJ..e—c(e—e)八

解：hm------=lim--------...1.分

XT。sinxx-o(sinx)

ex+e~x

=lim-—―……4分

COSX

25分

12>y=Vcosx2,求：y

1

解：y=(Vcosx2/==.(cosx2y2分

2vcosx,2

(―sinx2).2x

♦♦♦♦♦.4J分

2\/cosx2

-xsinx2-xsinx2

5分

22

VcosxCOSX

Jx—2(x—I)4

13、y=---------------求：）「

(x+1)5

Jx—2(x—I)4

解:Iny=In1分

(x+1)5

=Iny[x^2+ln(x-1)4+ln(x+1)5=-ln(x-2)+41n(x-l)+51n(x+l)2分

2

(InyY=ln(x-2)+4ln(x-1)4-5ln(x+])J3分

1,1145

-y~一­+---+一4分

y2x-2x-lx+1

45)7^2(%-I)4

+---+5分

x—2x—lx+1(x+l)5

14、方程q=e"，确定y是尤的函数，求：y

解：(孙),'=("+)1分盯'+y=”(l+y')4分

,x+y

，e-y

y=-5分

四、计算下列不定积分与定积分（每题5分，共20分）

15、|cos3xdx

解：jcos3xdx=jcos2xdsinx2分

=j（l-sin2x）Jxsinx3分

=s.mx——1si.n*3x+c5分

3

16>Jx2Inxdx

解：Jx2Inxdx=jlnxrf—1分

二—Inx—f—dIn%3分

3」3

4分

5分

解：设J2x+1=t,则x=----,dx=tdt1分

2

于是［芸十八4分

「尸22

—+3tT5分

2T

区「白叫x

L1+/

F2+sinx,pi2,risinx,H2,

解：----—dx=------dx+-----