高等数学课后习题答案习题八

习题八

1.判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点

集和边界：

(I){(xMlxHO}；

⑵{(X,y)|lWx2+y2<4}；

⑶{(XJ)…2}；

(4){(x,j)|(x-l)2+y2^l}U{(x^)|(x+l)W^l}-

解：⑴开集、无界集，聚点集：R2,边界：{(X,训|X=O}.

(2)既非开集又非闭集，有界集，

聚点集：{(x,y)|lW/+y2W4},

边界：{(x,y)FBl}U{(x,y)|x+y=4}.

(3)开集、区域、无界集，

聚点集：{(x,y)|yWd},

边界：{(x,y)|y=/}.

(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，

边界：他历|(41)2铲=1}U{(X,^)|(X+1)V=1}.

2.已知,试求f(tx^ty).

y

解：f(tx.ty)=(tx)2+(ty)2-tx-tytan一=t2f(x,y),

ty

3.已知匕w)=〃''+,试求f(xy,x-y,xy).

解：火J+乂x-y,xy)=(x+y)*+(xyf+y+x'y=(%+y)"'+(xy)lx,

4.求下列各函数的定义域：

(l)z=ln(y2-2x4-1);

网-丫2“、111

G)z=(4)〃=—/=+-/=+—/=；

ln(l-x2-/)vxy]y7z

(5)z=(6)z=ln(y—x)+/；)

Vl-x2-/

(7)w=arccos—；=2

7^7

解：(l)D={(x,^)|/-2x+l>0}.

(2)£>={(x,_y)|x+y>O,x-y>0}.

(3)D={(x,^)|4x-y2>0,l-x2-y2>0,x2+/^0}.

(4)£>={(x,y,z)|x>0,y>0,z>0}.

(5)D={(x,y)|x>0,^>0,x22训.

(6)D={(x,y)|y-x>0,x>0,x2+y2<1}.

(7)。={(x,y,z)|/+y2±QX2+y2_z2>0}

5.求下列各极限:

“、i.ln(x+e-)1

(l)hmT;⑵1*2，

x-^l+y

JTOx+y

2-g+4

砂

(3)lim----------;(4)lim/一——;

y->0)

.sin孙(41.1—cos(x2+y2)

ZCA1(6)lim--——--J

x->0x(x-+y)eA

JTO

“ln(l+e0).3

解：(1)原式=—.~—In2.

Vi2+o2

(2)原式=+8.

h卜i.4—xy—41

(3)原式=hm--------/=—

^xy(2+4xy+4)4

(4)原式=同个(而+1)=2.

y^)孙+1T

⑸原式=limg

•y=1x0=0.

xf0

y->0xy

-(x+y)2,2

2z+y

(6)原式=lim—-------；-r=lrim----；~—=0.

Xf0(x2+y2)ex+y?2e(…)

y->0

6.判断卜.列函数在原点0(0,0)处是否连续:

sin(x3+y3)

x2+y20,

(l)z=,x2+y2

0,x2+y2=0；

sin，+炉)

x3+y30,

(2)z=<x3+y3

0,/+K=0；

Ix2y2

x2+y2o,

⑶(2)z=<x2y2+(x—y)2

0,》2+y2=0；

333

解：⑴由于0W型工2=Esin(x+y3)sin(x+y)

W(|x|+3)

x-byx+yX3+/x3+y3

„.i..sin(x+y)sinw,

又hm(|x|+|引K)=0A，且ahm—\———=lim----=1,

113

SOXf0X+y3„->Ou

y-»0yrO

故limz=0=z(0,0).

XTO

,y->0

故函数在0(0,0)处连续.

(2)limz=lim包巴=1*z(0,0)=0

x->0〃一>0if

y—0

故。(0,0)是Z的间断点.

(3)若尸a,y)沿直线产x趋于(0,0)点，贝IJ

limz=limjj-=1,

10.20x.x+0

y=XT0

若点P(xj)沿直线y=-x趋于(0,0)点，则

x2(-x)2X2

limz=lim—=lim-....=0

x->0x2-(-x)2+4x2i。x+4

y=-x->0

故limz不存在.故函数z在0(0,0)处不连续.

x->0

)，一>0

7.指出下列函数在向外间断：

x—//+2x

(1)/(x,y)==---j-；(2)/(X，7)=4_—；

x+yy-2x

X

x-7

⑶/(x))=ln(l—¥->2)；(4V(X,JO=<J?e'V”’

0,y=0.

解：(1)因为当产-x时，函数无定义，所以函数在直线产-x上的所有点处间断，而在其余

点处均连续.

(2)因为当产=2%时，函数无定义，所以函数在抛物线丁=入上的所有点处间断.而在其余各点

处均连续.

(3)因为当x2+j?=l时，函数无定义，所以函数在圆周乂2+产=1上所有点处间断.而在其余各点

处均连续.

(4)因为点P(x,y)沿直线尸趋于0(0,0)时.

lim/(x,y)=lim^-e-1=oo.

Z

.v-»0x->0x

y=x->Q

故(0,0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续.

8.求下列函数的偏导数：

22

,xIT4-V

(l)z=x>—;Q)s=

yuv

,x

(3)z=xlnyjx2+；(z4)z=Intan—;

y

(5)z=(”y；(6)〃=产'；

y

(7)w=arctan(x-j/)z;⑻〃=xz.

.„fiz_12x

解：⑴zk=2孙+r,

oxy5y

UVds1vdsu1

(2)5=-+-——---—=--1—

22

Vuduvudvvu

12

]以时…娟+干r,

2旧+)2

—=x,———•2y=———

2

如+.22M+y2X2+y

dz12x122x

(4)一=------sec-----=—esc—,

dxtan-歹>VV

y

dz12x/x、2x2x

「一--sec---(一一-)=--7cse

办tan-yryy

y

(5)两边取对数得Inz=yln(l+中)

2

故萨(1+..(1+孙)，=(1+..言51+旷.

，X

-^=(l+xy)'-[^ln(l+xy)]=(1+xy)yln(l+j^)+^

KSiy，J1+xy

=(1+町)，ln(l+中)+

,八du.du.du_

(6)—=lnz'xZvy-y—=Inz•zr)v•x—=xy-zxyv}

dxdydz

(7)—=---------,z(x-y\=----------

Sxl+[(x-y):]2"l+(x—歹产

du__z(x-y)z~]-(-1)_z(x-y)z~l

l+[(X—/了二-1+。一历“

du_(x-y)zln(x-y)_(x-y)=ln(x-y)

忌=1+©7月2=l+(x-y产

duy--1

包=x>nx，4]=-41nx.

&Iz2)z2

x2y2q、十dudu

9.已知〃=--一，求证：x—+j^—=3u.

x+ydxdy

2222

证明：du=2xy\x+y)-xy_xy+2xy

dx(x+y)2(x+»

…但人加x2y2+2yx3

由对称性知——=———A.

为(x+y)-

工且dudu3x2y2(x+y)

于是x—+v—=———~==3w.

dxdy(x+y；

、n-l7+v)、-2dz9d

10.设2=0'求证：X2---1-K—-=2z.

dxdy

证明：—=e^i-fM

=3/y),

dx,IXX2

由z关于xy的对称性得

包=J_et用

勿y2

：/二1用+广4/冲=2「⑶)=2z.

,,23z23z

故x---Ky---=

dxdyxy

11设./(xy)=x+(y-l)arcsin—,求Z(x,l).

\y

III

解：<(》/)=1+3-1)7=

J"第耳

则〃x」)=l+O=l.

x2+y2

12.求曲线彳4在点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成的倾角.

［尸4

A773z1az1

解：—=-X,--=I,

2x2dx(2,4,5)

设切线与正向X轴的倾角为a,

兀

则tana=l.故0=一.

4

13.求下列函数的二阶偏导数：

V

(l)z=x4+/-©2)?；(2)z=arctan—;

X

(3)^=7;(4)z=ex~+y.

解：(I)返=4/-892,022y

-=I2x-Syf=-\6xy

dxdx'dxdy

由X0的对称性知

d2zo2

-12/-8%2.£—=—169.

如2dydx

J

x2+y2'

d2z_(x2+y2)-0-y-2x_2xy

旅二(f+/)2—=,+/)2,

dz_11_x

Sy]+(可x/+尸

d2z_2xy

歹一西万

d2z_(x2+y2)-y-2y__y2-x2

Sxdy(x2+/)2，+/)2,

d2z_x2+y2-x-2x_y2-x2

dydx(X2+y2)2(x2+y2)2,

dzx[32zx[

(3)—=^Iny,-y=yIn?^,

oxox

dz_d2z.1、_

~^~=xyx{，—y=x(x-1)^x2,

dydy

然i

T-T-=V-+xyx~llny=婷(1+xIny\

oxoyy

=尸+x\ny-y'T=/-l(l+xIny).

dydx

Hz2&_x2+y

⑷瓦=,…外

少一'

=ex2+y-2x-2x+e/+>-2=2ex2+v(2x2+1),

dz2xe",dz=2xe2+y.

dxdydydx

14.设/(x,y,z)=xy+*+zV求/式0,0,1),乙(0,-1,0),工具2,0,1).

解：<(x,y,z)=y2+2zx

/£x/,z)=2z,，4，(0,0,l)=2,

2

fy(x,y,z)=2xy+z

一(x,y,z)=2z,Z2(0,-l,0)=0,

2

fz(x,y,z)^2yz+x

fzz(x,y,z)=2y

,忆(x,y,z)=0,二(2,0,1)=0.

15.设z=xIn(xy),求一--及---

dx2dydxdy2

解：—=%­—+In(盯)=1+In(中)，

dxxy

d2zy1d3z

---———,------.—。,

dx2xyxdx2dy

d~z_x_1d3z_1

dxdyxyy，dxdy2y2

16.求下列函数的全微分：

⑴z=e”"；(2)2=

M+y

y

(3)u=xy;(4)u=xz.

解:(1)V—=e?+J,2-2x,—=e?+?-2y

dxdy

dz=2xev+vdr+2ye'+y2dy=2ex+y(xdx+ydy)

.dz(112xxy

&,IX+yJ24+y2(x2+r)

办f+y2(f+V严

X

dz23/-(ydx-xdy).

(x+/)

,c、.〃2加vzz-\

(3)..一3=yzZx-V-l\一=xvl1nx-zyz

dxdy

du.2

—=Inx-x-y•Iny•y

dz

二d〃=y2xy~[dx+/Inx•zyz~[dy+Inx・£•Iny・必dz.

(4)・・d・u丁=y42--i

dxz

dyz

duy3

\nx-xz-

dz

yJ一2

du=—x2dx+lnx-x2­—dy+lnx-x2•ydz.

zz

17.求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分:

(l)z=x2-xy+2y2,x=2,y=-1,Ar=0.2,Ay=-0.1;

(2)z=e"=1/=1,Ax=0.15,Ay=0.1.

解：⑴Az=(x+Ax)?-(x+Ax)(y4-Ay)+2(y+Ay)2-z=9.68-8=1.68

dz-(2x-y)Ax+(-x+4y)Ay=1.6

(2)Az=e-…型)一炉'二e(e°-265-l)=0.30e.

dz=yexyAx+xevrAy=户(yAx+xAy)=0.25e

18.利用全微分代替全增量，近似计算：

(1)(1.02)3•(0.97)2;⑵[(4.05)2+(2.93)2；

(3)(197产.

解：⑴设yCx,y)=f•/,则

23

fx{x,y)=3x/,fy(x,y)=2xy,

故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx^2x2dy)

取x=l,^=l,dx=:0.02,dy=-0.03,则

(1.02)3•(0.97)2=/(1.02,0.97)为(1,1)+/1,1)仁瑞3

=13X12+1x1[3X1X1X0.02+2X12X(-0.03)]=1.

(2)设火卬)=+产，则

2xX

工(x,y)

2y/x2+y2^77

Z，(x,y)=-r^=^

故4<(xj)=/,,(xdx+ydy)

Jx+y

取x=4,y=3,dr=0.05,dy=-0.07，则

7(4.05)2+(2.93)2=/(4.05,2.93)«,/-(4,3)+d/(4,3)|j：X

="2+32+-.1-[4X0.05+3x(-0.07)]

V42+32

=5+1x(-0.01)

=4.998

(3)设/(x,y)=必，贝lardy,

取x=2,y=l,dx=-0.03,dy=0.05,则

(1.97)105=7(1.97,1.05)«/(2,1)+4/'(2,1)惇二溜

=2+0.0393=2.0393.

19.矩型一边长i/=10cm,另一■边长6=24cm,当a边增加4mm,而b边缩小1mm时，求对角

线长的变化.

解：设矩形对角线长为/,则

I=ylx2+y2,dZ=•/J,(xdx+ydy).

5+y

x=l0,^=24,dx=0.4,dy=-0.1时，

dl=\1.(lOx0.4-24x0.1)=0.062(cm)

V102+242

故矩形的对角线长约增加0.062cm.

20.解：因为圆锥体的体积为V=工乃户-h.

3

/Q=30,尸=0.1,%=60,h=—0.5

而T/乂r/avdv212J

而Vav=---rd-----h=—7ryh・〃+一乃尸•h.

drdh33

%=30,r=O.l,//o=60,0=—0.5时，

K«-x3.14x30x60x0.1+-^-X302X(-0.5)

33

=-30(cw2)

21.解:设水池的长宽深分别为xz

则有:P=xyz

精确值为：

V=5x0.2x4+2x2.8x5x0.2+2x3.6x2.8x0.2

=13.632(加3)

近似值为:

VxdV=zxy-^xyz

x=0.4,y—0.4,z=0.2

=4x3x0.4+5x3x0.44-5x4x0.2

=14.8(2

22.求下列复合函数的偏导数或全导数：

小22Szdz

[I)z=xy-xy,x=〃cos%y=〃sinv,求一,一；

dudv

x

/仆/&dz

(2)z=arctan—,x=u+v,y=u—v,求——,一；

ydudv

(3)u=ln(eA+e，),y=x;求—；

dr

(4)〃=—+“+/,工=e'cosf,y=e'sinf,z=e,求上.

dt

解：⑴

dzdzdxdzdy_?、/2c、•

—=-----+-----=(z2xy-y)•cosv+(x-2xy)sinv

dudxdudydu

=3〃2sinvcosv(cosv-sinv)

生=@.史+生.空=~(2xy-y2).〃siny+(%2_2xy)-ucosv

dv8xdvdydv

=-2/sinvcosv(sinv+cosv)+u3(sin3v+cos3v).

(2)包=包.包+包.@=1,，+1,x)_y-x-v

dudxdudyduYy(xYy2)x2+y2u2+v2

1+wI+U

x

dzdzdxdzdy111(~y/1X

dvdxdvdydvfxYy(xYly'J

1+—1+—

y+x_u

x2+y~w2+v2

(3)

dwdudxdudy11-2ex+3x2ev_ev+3x2e

—=---------+--------=----------e+-----------e--3x

Jyvyxv；

dxdxdxdydxe'+ee'+ee+ee+e

,d〃dudxdudydudz

(4)—=—•"-|-------1-—•—

d/dxdtdyd/dzd/

=2x(ezcosZ-e'sin/)+2y(ersin/+e'cosf)+2z•e'=4e2/.

23.设/具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数：

(l)w=/(x2-/,e'：r);(2)u=

㈠z)

⑶〃=肛，砂z).

解：⑴纵=+-y=2xf；+ye"'.

OX

学2y)+月.铲.x=-2yf；+xe%.

du〃11「，

⑵「，一=一/

oxyy

du~(x1X,1

—=./l---r+/1_=-frx+-h-

砂I"2zyz

(3察+力》

.yz"'+那+闻］，

OX

浮=，.0+4.x+力*xz=xf；+xzf；,

^=f3'-xy=xyf3'.

24.设2=中+工尸(〃),〃=-二斤(“)为可导函数，证明：

X

dzdz

x—+y—=z+xy.

dxdy

证明:程=y+xF(〃)•(一4)+F(w)=F(w)+^-—F(〃)

dzl,/、1

—=x+xF(〃)•一=x+F(u).

dyx

故

dzdz

x—4-y—=xF(u)+y-y[x+F'(u)]

dxdy

=xF(u)-^-xy-yF'(〃)+盯+yF\u)

=xy+xF(u)-\rxy

=z+xy.

25.设2=—其中火")为可导函数，验证:

1dz1dzz

------1-------=—.

xdxydyy2

部明・・dzW,2x2xyf'

证明：.苍=—二=一『

2

dz=f-y-f'\-2y)f+2yf

力—f—f2

.1dzIdz2yf,f+2y2f1y1z

,xdxydyfyfyffy2y2

26z=/(x2+/),其中/具有二阶导数，求至，要，二•

oxoxoydy

解：券=2步，£=2城,

oxdy

尸=2/'+2工・2犷〃=2广+4”,

dx2

-^=2xfn-2y=4xyf,

oxoy

由对称性知,—=2/,+4//ff.

27.设/具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数：

⑴z=/(x,j);(2)z=/(xy2,x2y)；

(3)z=/(sinx,cosy,ex+y).

解：⑴袅工，.1+t,=小",

oxyy

0Z"rft111rn/"I=.4+_L"

A=+f\2—+-以+九一丁〃2—2，22，

fixy八y)yy

d2z„(x)1,1,「%)14t"11r1

■=/2V7j"/^+/2V__1=__7J\2+-./227人，

y)y\y)y

dzrt(x)x

3yIJy

2

dz2xtx(x2xfX„n

.2二一rJ12，22~~~2=-r42+—hl-

yy\y)yy

⑵I1=工,•K•29=y2f^+2xyf：,

dx

2

.=『(fn-y+fn•2孙)+2M+2xy(22x

f2"-y+fi2-y)

=2力2,+»"；+4孙九"+4。2/2”，

募=24+/(4.2孙+九3)+2也2

'+^xy(f2'-2xy+f22-x)

=2yf；+2xf；+2xy\f；+2d加"+5"J,

^=f^2xy+f^-x2=2xyf^+x2f^,

Sy

2

TT=2xf：+2xy(fi{",2xy+九".F)+/J2"-2xy+f22"-x)

=lxf[+4。2工i"+4/班"+X%”.

(3)£=，',cosX+$ex+y=cosM+e'+"',

OX

x+y

--sinxf[+cosx(/；；.cosx+九”-e)+e""'+e-(7;；cosx+r.e-)

[x+y)/1n

=e""'-sinxfy+cos2切；+2ex+ycosxf/+e2'J33，

露叩[九".(-sin)+九"-e叼+十"'•"。(-si")+&.*[

=e"J1'-cosxsinyfi；+e"，cosxR-ex+ysinj

自"'(-Si")+/S=-sinm+W，

Sy

步—cosyf；-siny[%〃(—sin历+£•e^]+e”

Si")+媪5

“x+y)f"

=<'-cos班'+sin?见-2e”sin班3"+e：J33•

28.试证：利用变量替换J=x-；y,〃=x-y,可将方程

d2u.d2u_d2u

—7+4-----+3--

dx-dxdydy~

化筒为

d^drj

证明：设“==

du_dududr]_dudu

———.——f-—-—-----,—————

dx/dxdr/dx试drj

d2ud2u忧d2udr/d2ud2u3〃d2ud2ud2u

---7=---7------111------------=----r+217

dx---瑟--dx---d^dr/dx--为瑟&所dx-------------d^dr1--所

d2u_d2u(I、d2ud2u(d2u1d2u4d2ud2u

dxdy瑟2137d^dr/drjd^13)dr/23娉3d^dr/dr/2

udu(1dudu

—=---------H--------z1A)=--------------

yI3)di13两助

-U_1a2w(n1d2u...d2u(1)d2u_1d2u2d2ud2u

广§寿匕厂诲陪匕厂彳(-z1)n='浮+§砺+而

2ud2u52W

-r+4-----+3—

i-dxdydy17

d2ucd2ud2u(1d2u4d2ud2uJ1d2u2d2ud2u

为2进的助213瑟23。鲂〃d?]2)(9"23"劭dr/2)

/皿=0.

33剑

29.求卜.列隐函数的导数或偏导数：

⑴siny+e，-盯2=o,求包；

dx

(2)InJi+,2_arctan—,求电；

xdx

(3)x+2y+z-2dxyz=0,求必，包;

dxdy

/,、3c3-Szd2Z

(4)z'—3xyz=a，求—,——

解：（1）［解法1］用隐函数求导公式，设尸siny+e'-xj,

则x2

Fx=e-y9FY=cosy-2xy,

故.=_2=_=/—e'

drFvCQsy-2xycosy-2xy

［解法2］方程两边对x求导，得

cos^-y+ev-(y2+x-2yy')=0

/一炉

故

cosy-2盯

(2)设F(x,y)=Iny/x2+y2-arctan-=—ln(%2+y2)-arctan—,

x2'''x

x+y

x?+y2

F=12y_______1___1y-x

y2222

~2x+y~l+^l~x+y

・dy_F_x+y

••一x—•

dxFvx-y

(3)方程两边求全微分，得

口+2dy+心-迎生噜*k0,

2yjxyz

4xyz-xyyz-y/xyzxz-2yfxyz

-----i——dz=1——dxH,——dy,

yjxyzyjxyzyjxyz

yz-Jxyz।xz-2dxyz,

则dz-=/、.dx+/v，♦dy,

y/xyz-xyyjxyz-xy

dz_yz-yjxyzdzxz-2yfxyz

故

dxy［xyz-xy"Sy'xyz-xy

33

(4)设F(x9y9z)=z-3xyz-a,

>3z2-：

工=-3尸，Fy=-3xz,F

dz_R=-3yzyz

则-)，

dxF二3z2-3xy2-xy

dz_Fy=-3xzxz

办F「3z2-3xyz2-xy

dxadz

30.设F(x,y,z)=0可以确定函数x=x(y,z),y=»(工,2)/=2(%)),证明：.

dydzdx

dzF

证明：•.&________X,

瓦一瓦'dx~F；

.dxdydz(g,'

..—,—,—二——

办dzdxyFJ

、(13zQz

31.设/y+—,z+—0确定了函数z=z(x,y),其中P可微，求一，一.

Vxy)dxdy

解：FT：.+g•0=--F\

7x

乙=4'.0+£、1=用'

K，=或」+可.—4

\yj

力=F一一一F：

2

&F:F；XF'

FF

8z__Fy_'~y^F；-y^F；

办£F；y2F^

32.求山下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:

"22

“、z=x+y,+dydz

(1)<求：---，--；

x2+2/+3z2=20,dxdr

xw4-yv=1,〜dudvdudv

(2)〈求：---9999

yu-xv=0,dxdxdydy

u-f(wx,v+y),Q加

(3)；其中工g具有连续偏导数函数，求空u,仪;

v=g(w-x,vy),dxdx

x=e"+〃sinv,dududvdv

(4)〈求一，一，一，一.

y=eli-ucosv,dxdydxdy

解：（1）原方程组变为

y2-z=-x2

2y2+3z2=20-x2

方程两边对x求导，得

2dz

4V=—2x

<drdx

24)

ch=-x

.dx

2y-1

当J==6yz+2yw0

2y3z

dy1-Lx-1-6xz-xx(6z+l)

dx'J-X3z6yz+2y2y(3z4-1)

dz_12y-2x2xyX

dx-J2y一X6yz+2y-3z+f

(2)设F(x,y,u,v)=xu+yv-1,G(x,y9w,v)=yu-xv,

EiFy=v,F”x,Fv=y,

"

G*=v,Gy—u,Gu=y,Gv=­x.

F.Xy22

j==-x-y

—x

GuG.y

F『E，uy

du_GG-v-x_-ux+yv

故xv

dxJJx1+y2

F.GXu

G

dvG,x-J-vx-uy

dx~x2+y2~

F,工

du%G

办J

F"FyXV

dvG.G,yuxu-vy

T——22-,

8Jx+K

(3)设F(u,v,x,y)=f(ux,v+y)-u,

G(u,v,x,y)=g(u-x,v2y)-v,

则J=)1)-力

GGv

"gi2vyg2-1