三角形的三种重要线段的应用

关于三角形的三种重要线段的应用第一页，共二十二页，编辑于2023年，星期六三角形的角平分线、中线和高是三角形中三种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到了很大的作用，因此我们需要从不同的角度认识这三种线段．第二页，共二十二页，编辑于2023年，星期六1应用三角形的角平分线的应用类型1三角形角平分线定义的直接应用1.

(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有________________；(2)如图，已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．△ABC和△ADF第三页，共二十二页，编辑于2023年，星期六解：(2)因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE.又因为∠1＝∠2＝15°，所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.所以∠CAE＝∠BAE＝30°.所以∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.又因为∠4＝15°，所以∠3＝15°.所以∠2＝∠3＝15°.所以AE是△DAF的角平分线．第四页，共二十二页，编辑于2023年，星期六2.

如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；(3)当∠A＝α时，求∠BOC的度数．类型2求三角形两内角平分线的夹角度数第五页，共二十二页，编辑于2023年，星期六解：(1)因为∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°.因为BE，CD为△ABC的角平分线，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝×120°＝60°.所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－60°＝120°.第六页，共二十二页，编辑于2023年，星期六(2)因为∠A＝100°，所以∠ABC＋∠ACB＝80°.因为BE，CD为△ABC的角平分线，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝×80°＝40°.所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.第七页，共二十二页，编辑于2023年，星期六(3)因为∠A＝α，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.因为BE，CD为△ABC的角平分线，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝90°－α.所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－＝90°＋α.第八页，共二十二页，编辑于2023年，星期六第(1)(2)问很容易解决，第(3)问就是类比前面解决问题的方法用含α的式子表示．第九页，共二十二页，编辑于2023年，星期六2应用三角形的中线的应用类型1求与中线相关线段长的问题3.如图，已知AE是△ABC的中线，EC＝4，DE＝2，则BD的长为(

)A．2B．3C．4D．6A第十页，共二十二页，编辑于2023年，星期六4.如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为(

)A．40

B．46

C．50

D．56A同类变式第十一页，共二十二页，编辑于2023年，星期六因为△AEC的周长为24，所以AE＋CE＋AC＝24.又因为BE＝CE，所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.又因为ED为△EBC的中线，所以BC＝2BD＝2×8＝16.所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.故选A.第十二页，共二十二页，编辑于2023年，星期六6.如图，在△ABC中，D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且S△ABC＝8cm2，则图中阴影部分的面积是________．类型2求与中线相关的面积问题2cm2第十三页，共二十二页，编辑于2023年，星期六3应用三角形的高的应用8.如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E.△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________．AB类型1找三角形的高DC第十四页，共二十二页，编辑于2023年，星期六9.【动手操作题】画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)类型2作三角形的高解：如图．第十五页，共二十二页，编辑于2023年，星期六10.如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.求：(1)△ABC的面积及AC边上的高BE的长；(2)AD∶BE的值．类型3求与高相关线段的问题第十六页，共二十二页，编辑于2023年，星期六解：(1)S△ABC＝

BC·AD＝×4×4＝8.因为S△ABC＝

AC·BE＝×5×BE＝8，所以BE＝.(2)AD∶BE＝4∶＝.第十七页，共二十二页，编辑于2023年，星期六11.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.试说明：DE＋DF＝BG.类型4证与高相关线段和的问题第十八页，共二十二页，编辑于2023年，星期六解：如图，连接AD，因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以

AC·BG＝

AB·DE＋

AC·DF.又因为AB＝AC，所以BG＝DE＋DF.“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决．第十九页，共二十二页，编辑于2023年，星期六思考题1.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．2.如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝BC，点G是AB边上一点，点H在△ABC内部，BD∥GH，且BD＝GH.则图中阴影部分的面积是(

)A．3B．4C．5D．6B第二十页，共二十二页，编辑于2023年，星期六1解：设AD＝CD＝xcm，则AB＝2xcm，BC＝(15＋6－4x)cm.依题意，有AB＋AD＝15cm或AB＋AD＝6cm，则有2x＋x＝15或2x＋x＝6，解得x＝5或x＝2.当x