2022届高考数学一轮复习《两个基本计数原理排列组合》课时作业

A级课时对点练(时间：40分钟满分：70分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．(2022·四川改编)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是________．解析：第一步将2,4,6全排，有Aeq\o\al(3,3)种；第二步分1,3相邻不与5相邻，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)种，1,3,5均不相邻，有Aeq\o\al(3,3)种．故总的排法为Aeq\o\al(3,3)(Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(3,3))＝108.答案：1082．(2022·湖南改编)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为________．解析：用间接法．四个数字的所有排列有24个，3个位置对应相同的有Ceq\o\al(3,4)＝4个，4个位置对应相同的有1个，∴至多有2个位置对应数字相同的有24－4－1＝11个．答案：113．(2022·全国Ⅰ改编)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种(用数字作答)．解析：解法一：分两种情况：(1)2门A,1门B有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝12种选法；(2)1门A,2门B有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝3×6＝18种，∴N＝12＋18＝30.解法二：排除法：A类3门，B类4门，共7门，选3门，A、B各至少选1门，有Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(3,4)＝35－1－4＝30种选法．答案：304．(2022·天津改编)如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有________种(用数字作答)．解析：按所用颜色分两类．第一类：三色涂完．必然两两同色，即AC，BE，DF或AF，BD，CE，有2Aeq\o\al(3,4)＝48种．第二类：四色涂完．A、D、E肯定不同色，有Aeq\o\al(3,4)种涂法，再从B、F、C中选一位置涂第四色有三种．若所选是B，则F、C共三种涂法，所以Aeq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,3)·3＝216种．故共有48＋216＝264种．答案：2645．(2022·山东改编)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有________种(用数字作答)．解析：因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有Aeq\o\al(4,4)＝24种排法，当甲排在第二位时，有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18种排法，所以共有方案24＋18＝42种．答案：426．(2022·广东改编)为了迎接2022年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是________秒．解析：由题意知，共有Aeq\o\al(5,5)＝120个不同的闪烁，而每一个闪烁要完成5个闪亮需用时5秒钟，共用120×5＝600秒，每两个闪烁之间需间隔5秒钟，共有120－1＝119个闪烁间隔，用时119×5＝595秒，故总用时600＋595＝1195秒．答案：11957．(2022·浙江)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．解析：上午测试安排有Aeq\o\al(4,4)种方法，下午测试分为：(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则有Ceq\o\al(1,3)种方法选择，其余三位同学选1人测试“握力”有Ceq\o\al(1,3)种方法，其余两位只有一种方法，则共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)＝9种，因此测试方法共有Aeq\o\al(4,4)·(2＋9)＝264种．答案：2648．(2022·重庆改编)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)解析：①甲、乙排在相邻两天的情况有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)种；②甲、乙排在相邻两天，且丙排在10月1日的情况有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)种；③甲、乙排在相邻两天，且丁排在10月7日的情况有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)种；④甲、乙排在相邻两天，且丙排在10月1日，丁排在10月7日的情况有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)种；所以甲、乙排在相邻两天，且丙不排在10月1日，丁不排在10月7日的情况有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝1008种．故选C.答案：1008二、解答题(共30分)9．(本小题满分14分)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．解：(1)从7个人中选5个人来排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520种．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有Aeq\o\al(3,7)种方法，余下4人排在后排，有Aeq\o\al(4,4)种方法，故共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040种．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)(优先法)甲为特殊元素，先排甲，有5种方法；其余6人有Aeq\o\al(6,6)种方法，故共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600种．(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再将4名女生进行全排列，也有Aeq\o\al(4,4)种方法，故共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(4,4)＝576种．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有Aeq\o\al(3,5)种方法，故共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,5)＝1440种．(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有Aeq\o\al(2,2)种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有Aeq\o\al(3,5)种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有Aeq\o\al(3,3)种方法，故共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)＝720种．10．(本小题满分16分)课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．解：(1)一名女生，四名男生，故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＝350种．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝165种．(3)至少有一名队长含有两类:只有一名队长和两名队长.故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825种．或采用排除法：Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825种．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966种．(5)分两类：第一类女队长当选：Ceq\o\al(4,12)；第二类女队长不当选：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4).故选法共有Ceq\o\al(4,12)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(4,4)＝790种．B级素能提升练(时间：30分钟满分：50分)一、填空题(每小题5分，共20分)1．(2022·江西)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：6位志愿者分成四组有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2)·A\o\al(2,2))＝45种方法，四组分赴四个不同场馆有Aeq\o\al(4,4)＝24种方法，因此不同的分配方案有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2)·A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝1080种方法．答案：10802．(2022·上海)从集合U＝{a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)∅，U都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或A⊇B.那么，共有________种不同的选法．解析：将选法分成两类．第一类：其中一个是单元素集合，则另一集合为两个或三个元素且含有单元素集合中的元素，有Ceq\o\al(1,4)×6＝24种．第二类：其中一个是两个元素集合，则另一个是含有这两个元素的三元素集合，有Ceq\o\al(2,4)×2＝12种．综上共有24＋12＝36种．答案：363．有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：中间行两张卡片为1,4或2,3，且另两行不可同时出现这两组数字．用间接法，①先写出中间行为(1,4)或(2,3)，Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,6)；②去掉两行同时出现1,4或2,3，(Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2))2Aeq\o\al(2,4)，所以Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,6)－(Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2))2Aeq\o\al(2,4)＝1440－192＝1248.答案：12484．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是________(用数字作答)．解析：解法一：由题意得，奇数位上全为奇数或全为偶数．若全为奇数，方法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝20.若全为偶数，方法有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝20.故共有20＋20＝40(种)．解法二：可分三步：第一步：先将3、5排列，共有Aeq\o\al(2,2)种排法；第二步，再将4、6插空排列，共有2Aeq\o\al(2,2)种排法；第三步：将1、2放到3、4、5、6形成的空中，共有Ceq\o\al(1,5)种排法；由分步计数原理得共有Aeq\o\al(2,2)·2Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,5)＝40种．答案：40二、解答题(共30分)5．(本小题满分14分)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有多少个？解：分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位的任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1