三角形的五心一次看个够

三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O，则有AOABC心．设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，Op=(a+b+c)/2．BC1：(1)锐角三角形的外心在三角形内；(2)直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；(3)钝角三角形的外心在三角形外.2：∠BGC=2∠A，(或∠BGC=2(180°-∠A).3：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：GABCPABCG是⊿ABC外心的充要条件是：PG=((tanB+tanC)PA+(tanC+tanA)PB+(tanA+tanB)PC)/2(tanA+tanB+tanC).或PG=(cosA/2sinBsinC)PA+(cosB/2sinCsinA)PB+(cosC/2sinAsinB)PC.5：R=abc/4S⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC。给定A(x,y),B(x,y),C(x,y)求外接圆心坐标O(x，y)112233，列出以下方程：(xx)2(yy)2=(xx)2(yy)21122(xx)2(yy)2=(xx)2(yy)232221212211xxxyyyxyxy22323223312112112211xyxy22322322233即即11Ax+By=C;222③.最后根据克拉默法则：CBCBACACx=1221,y=1221ABABABAB221BOCCOAAOBBOCnrEOFAOCmrDOFAOBmnDOEBOCCOAAOB二、三角形的内心心定理的证明：如图，设∠A、∠C的平分线相交于I、过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IFA⊥AB则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三AM内角平分线交于一点．上述定理的证法完全适用于旁心定理，MFEKI设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、CEKIBDHBDH2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。BSOACSOBCcrbrarrp5、∠BOC=90°+∠A/2。AP2AP2PG2=7.在三角形112233证明：由正弦定理得inCdRsinBRsinC∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.CADBAD∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC三、三角形的重心AA4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即EFEGBCDGBCD5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。39ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=3为P，则P均在以重心G为圆心，r=为半径的圆周上ii18四、三角形的垂心证明垂心定理分析我们可以利用构造外心来进行证明。A'C'、A'B'的中垂线，由外心定理，它们交于一FBA'AECD1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且一—垂心组)。7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则BCO=∠HCA。10、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短(施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发11、西姆松定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。必有平行四边形)三角形ABC的垂心为H，则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R(可引入有向距，推广到任意三角形)16、等边三角形的垂心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分17、垂心的重心坐标反而比外心简单一点。先计算下列临时变量(与外心一样)：ddd另外两个顶点向量的点乘。112233分别做高线:AH⊥BC;BH⊥AC; 123213解得:ym=211322133131122233122331211332132132122331xyy+xyy+xyy一xyy一xyy一xyy+x2x+x2x+x2x一x2x一x2x一x2xn=112223331113221332122331211332122331132132五、三角形的旁心与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2：旁心到三角形三边的距离3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。4：直角三角形斜边上的旁切半径等于三角形周长的一半。I3KAI2FEIDNCDNMI1123AD,BE,CF分别是三条内角平分线，AI交三角形外接圆于M，II交外接圆于K，AI232A2222ABBDBNACDCNC123AIIM=1；(称为对称比定理)．IDMD1ABC221227：旁心与内心的关系如图，I为△ABC的内心，I,I,I是△ABC的三个旁心。注意：II,II,II的中ABCABC121又因为I、C、I、B四点共圆，故三BIC=(几三BAC)AA21B21三AIB=(几三ACB)这便是旁心张角公式C28：旁心于半周长(p)形影不离AAA9：旁心与三角形三个顶点构成三组三点共线ABC旁心，由于AI,AI是对顶角的平分线亦BC为反向延长线，故I,A,I三点共线。BC向量与面积关系BOCCOAAOB111BOCnrEOFAOCmrDOFAOBmnDOEBOCCOAAOB说明:此结论说明当点O在ABC内部时，点O把ABC所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关之比。BOCCOAAOBABCOBC当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统把编ABC的面积三等分.分析：内心在三角形的内部，且易证S：S：S=a:b:c△BOC△COA△AOB分析：易证S：S：S=sin2A：sin2B：sin2C.△BOC△COA△AOB证明：∵对任意编ABC有OH=OA+OB+OC，其中O为外心，H为垂心，(y+z=sin2A(x=sin2B+sin2C-sin2A所以可得：应用举例：1515315sin2A=-,sin2B=,sin2C=，73分析：由结论4可得：323232通过这样的思考、探究，不仅得到了与三角形的“四心”相关的有用结论，更为重要(psinb(p=xqcosa+yrcosb|x=qsin(a+b)必要性得证．同时还可得到以下结论1OABCBOC编AOC编AOB3编ABCAAFOCOC