人教版八年级数学下册 特殊平行四边形 解答题训练(word版含解析)

人教版八年级数学下册《18-2特殊平行四边形》

解答题优生辅导训练(附答案).如图，在四边形ABCD中,AD〃BC,对角线BD的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点M、N．(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD=24，菱形BNDM的面积为120,求菱形BNDM的周长..如图，在四边形ABCD中,/BAC=90°,E是BC的中点,AD//BC,AE//DC.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)过点E作EF±CD于点F,若AB=3,BC=5,求EF的长..如图，在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点0,过点A作AE±BC于点E,延长BC到点F,使CF=BE，连接DF.(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若AD=10,EC=4,求AC的长度..如图，在菱形ABCD中AB=4,ZDAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.(1)求证：△NED/△MEA.(2)当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？并说明理由.n 「.如图，在矩形ABCD中,/BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点E点G为EF中点，连接BD、DG.(1)试判断△ECF的形状，并说明理由；(2)求NBDG的度数..如图，在四边形ABCD中,AB//DC,AB=AD，对角线AC、BD交于点O,AC平分NBAD，过点C作CE±AB交AB的延长线于点E.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=6,BD=8,求CE的长..如图，在正方形ABCD中,E,F分别在边AB,BC上,△DEF是等边三角形，连接BD交EF于点G.(1)求证：BE=BF；于F点，连接AD、CF,过点D作DG±CF于点G.(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；(2)当4ABC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形？为什么？(3)在(2)的条件下，若AB=6,BC=10,求DG的长..如图，在正方形ABCD中,AB=/5,E为正方形ABCD内一点,DE=AB,/EDC=a(0°<a<90°)，连结CEAE,过点D作DF±AE，垂足为点F交CE的延长线于点G,连结AG.(1)当a=20°时，则/AEC=；(2)判断△AEG的形状，并说明理由；(3)当GF=1时，求CE的长..已知正方形ABCD,点F是射线DC上一动点(不与C、D重合)，连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG±HC交AE于点G.(1)若点F在边CD上，如图1.①证明：/DAH=/DCH；②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；(2)取DF中点M连结MG,若MG=4,正方形边长为6,求BE的长.图1 备用图.在^ABC中，过A作BC的平行线，交/ACB的平分线于点D,点E是BC上一点，连接DE,交AB于点F,/CAD+/BED=180°.(1)如图1,求证：四边形ACED是菱形;(2)如图2,若/ACB=90°,BC=2AC,点G、H分别是AD、AC边中点，连接CG、EG、EH,不添加字母和辅助线，直接写出图中与ACEH所有的全等的三角形..如图，四边形ABCD为正方形,E为AD上一点，连接BE，/AEB=60°,M为BE的中点，过点M的直线交点M的直线交AB、CD于P、Q.(1)如图1,当PQ±BE时,求证：BP=2AP；(2)如图2,若NAPQ为锐角，且PQ=BE,延长BE、CD交于点N,请你猜想QM与QN的数量关系,并说明理由．.如图，点G在正方形ABCD的边CD上，且四边形CEFG也是正方形，连接BG,DE,AF,取AF的中点M,连接CM.求证：(1)BG求证：(1)BG=DE；(2)CM.如图，在正方形ABCD中,点E是BC上一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF,连接AE、AF、EF.(1)求证：AE=AF；(2)已知/AEB=75°,若点P是EF的中点，连接CP,DP,求NCPD的度数.

.如图，点O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE±AC于点E，过点B作BF〃AC,交DE的延长线于F,在BF的延长线上取FG=OD，连接AG,OF.(1)求证：四边形AOFG为菱形；(2)若AD=5,DF=8,求BG的长.D 「.已知：在Rt△ABC中,/BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AF〃BC交BE的延长线于点F.(1)求证：△AEF/△DEB；(2)当4ABC满足什么条件时,四边形ADCF是正方形？请说明理由..如图,。ABCD,BE±AD于E，交AC于M,DF±BC于F,交AC于N,连接DM、BN.(1)求证：△ABM/△CDN；(2)当。ABCD是菱形时，判断四边形MBND的形状，并说明理由..如图，矩形ABCD中,对角线AC.BD相交于点O,BD的垂直平分线分别交边AD、BC于点E、f连接BE、DF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若NBOC=120°,AB=6,求FC的长..如图，在△ABC中,/ABC=90°,点O是斜边AC的中点，过点O作OE±AC,交AB于点E，过点A作AD//BC,与BO的延长线交于点D，连接CD、DE.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若BC=3,NBAC=30°,求DE的长..如图，四边形ABCD为正方形,E为线段AC上一点，连接DE,过点E作EF±DE，交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)若AB=2,CE='.•''2求CG的长度.备用图参考答案(1)证明：•「A。〃BC,AZDMO=ZBNO,「MN是对角线BD的垂直平分线,AOB=OD,MN±BD,在^MOD和^NOB中，rZDMO=ZBNO*ZMOD=ZNOB,,00=06・•・△MODSNOB(AAS),AOM=ON,「OB=OD,A四边形BNDM是平行四边形,A四边形BNDM是菱形；（2）解：二,菱形BNDM的面积为120=^XBDXMN,AMN=10,二•四边形BNDM是菱形,BD=24,MN=10,ABM=BN=DM=DN,OB=Ld=12,OM=—MN=5,在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM=<口况2sB2=-25+144=13,A菱形BNDM的周长=4BM=4X13=52.2.证明：（1）;ZBAC=90°,E是BC的中点,AE=BeBC=CE.又「AD//BCA//DC,A四边形AECD是平行四边形.・•・四边形AECD是菱形.(2)过点A作AG±BC于点G,,?AB=3,BC=5,•••AC=.-'52-32=4,•专取代李C,《X3M4=4父5・总又•:S菱形ECD=CD-EF=CE-AG,VCD=CE,•EF=AG=-y-.(1)证明：V四边形ABCD是菱形,AD//BC且AD=BC,VBE=CF,BC=EF,AD=EF,VAD/EF,四边形AEFD是平行四边形，VAE±BC,ZAEF=90°,四边形AEFD是矩形；(2)V四边形ABCD是菱形,AD=10,AD=AB=BC=10,EC=4,BE=10-4=6,在RtAABE中,AE=；■'搦2-BE2=/102-62=S,在RtAAEC中,AC=-,AE2+EC2=/82+42=4；;5(1)证明：V四边形ABCD为菱形,・•・CD〃AB,AZDNE=ZAME,:E为AD的中点，ADE=AE,在^NED和^MEA中,/DEN=/AEN,iDE=AE•・△NDESMAE(AAS)；(2)当AM=2时,四边形AMDN是矩形.理由如下:由(1)知4NED/△MEA,ANE=ME,又：DE=AE,A四边形AMDN是平行四边形，・•菱形ABCD,AB=4,E为AD中点，AAE=2=AM,又•・•/DAB=60°,•・△MEA为等边三角形，AAE=ME,AAD=MN,A平行四边形AMDN为矩形.(1)解：△ECF是等腰直角三角形；理由如下：•・•四边形ABCD是矩形，AAD//BC,ZDAB=ZABC=ZBCD=90°,AZDAE=ZBEA,,?AE平分ZBAD,AZDAE=ZBAE=45°,AZBEA=ZBAE=45°,AZCEF=45°AB=BE,AZF=90°-45°=45°,AEC=FC,

又•・•/ECF=90°,・•.△ECF是等腰直角三角形；(2)二•四边形ABCD是矩形,・•・AB=CD,・•・BE=CD,•・•EC=FC,/ECF=90°,・.CG--EF=EG,ZECG=§ZECF=45°AZDCG=90°+45°=135°VZBEG=180°-45°=135°AZDCG=/BEG,在^DCG和^BEG中,rCD=EE*ZDCG=ZBEG,、CG二EG:.△DCGSBEG(SAS),ADG=BG,ZDGC=ZBGE,AZBGD=ZEGC=90°又：DG=BG,AZBDG=45°(1)证明：VAB〃CD,AZOAB=ZDCA,VAC为ZDAB的平分线，AZOAB=ZDAC,AZDCA=ZDAC,ACD=AD,VAB〃CD,A四边形ABCD是平行四边形,VAD=AB,AABCD是菱形；(2)解：二•四边形ABCD是菱形,BD=8,•・OA=OC,BD±AC,OB=OD=/BD=4,AZAOB=90°,••OA=,-1AB2-OB2=:飞2_心=2；豆AAC=2OA=4''5,，菱形ABCD的面积=%CXBD=&X4，J5X8=161:5,CE±AB,A菱形ABCD的面积=ABXCE=6CE=16\；5,ACE=等(1)证明：V四边形ABCD为正方形，AAD=CD=AB=BC,ZA=ZC=90°,「△DEF为等边三角形，ADE=DF,在母△ADE和及△CDF中，/AD=CD.DE=DF,ARt△ADE/及△CDF(HL),AAE=CF.XVAB=BC,AAB-AE=BC-CF,ABE=BF；(2)解：由(1)可知BE=BF,•.△BEF为等腰直角三角形，四边形ABCD为正方形，ABD平分/ABC,A点G为EF的中点,BD±EF,/△DEF为等边三角形,DE=2,AEF=DE=2,BG=EG=1,在Rt△EDG中，由勾股定理得,DG=.-'ED2-EG2，・BD=BG+DG=1+1.;3..证明：(1)二•点D、E分别是边BC、AC的中点，•・DE〃AB,AF//BC,•・四边形ABDF是平行四边形，•・AF=BD，贝UAF=DC,AF/BC,•・四边形ADCF是平行四边形；(2)当4ABC是直角三角形时,四边形ADCF是菱形,理由：V点D是边BC的中点,△ABC是直角三角形，•・AD=DC,•・平行四边形ADCF是菱形；(3)•・•△ABC是直角三角形,AB=6,BC=10,BD=DC,•・AD=DC=5AC=1.1BC2-AB2=/102-62=8,四边形ADCF是菱形，•・AC±DF,••DE=,-1AD2-AE2=J52-42=3,•・S菱形皿AC・DF=FC叩G,吟XIX6=5叩G,解得：DG=建..解：（1）V四边形ABCD是正方形,AZADC=90°,AB=AD=DC,VZCDE=20AZADE=70°・•・DC=DE,DA=DE,AZDEC=ZDCE=《X(180°-20°)=80°，/DAE=ZDEA=-i-X(180°-70°)2 2=55°,AZAEC=ZAED+ZDEC=80°+55°=135°,故答案为：135°；(2)结论：△AEG是等腰直角三角形.理由：•・•AD=DE,DF±AE,ADG是AE的垂直平分线，AAG=GE,AZGAE=ZGEA,「DE=DC=AD,AZDAE=ZDEA,ZDEC=ZDCE,ZDAE+ZDEA+ZDEC+ZDCE+ZADC=360°,AZDEA+ZDEC=135°,AZGEA=45°,AZGAE=ZGEA=45°,AZAGE=90°,•.△AEG为等腰直角三角形.(3)如图，连接AC,•四边形ABCD是正方形，AAC=\;2AB=10,「△AEG为等腰直角三角形,GF±AE,・•・GF=AF=EF=1,AG=GE=■/2,VAC2=AG2+GC2,A10=2+(EC+/2)2,・•・EC=云(负根已经舍弃)..证明：(1)①V四边形ABCD是正方形，AZADB=ZCDB=45°,AD=DC,在^ADH和^CDH中，rAD=CDZAEH=ZCDH,:DH=EH•・△ADHSCDH(^AS),AZDAH=ZDCH；②结论：EF=2CG,理由如下：,/△DAHSDCH,AZDAF=ZDCH,CG±HC,AZFCG+ZDCH=90°,AZFCG+ZDAF=90°,ZDFA+ZDAF=90°,ZDFA=ZCFG,AZCFG=ZFCG,AGF=GC,ZGCE+ZGCF=90°,ZCFG+ZE=90°,AZGCE=ZGCF,ACG=GE,•・EF=2CG；(2)①如图，当点F在线段CD上时，连接DE.A D图1VZGFC=ZGCF,ZGEC+/GFC=90°，/GCF+ZGCE=90°,AZGCE=ZGEC,•・EG=GC=FG,VFG=GE,FM=MD,ADE=2MG=8,在RtADCE中,CE=:口E2-口C?=二泌-6"=2V工ABE=BC+CE=6+2'.''7；②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE.国a同法可知GM是^DEC的中位线，ADE=2GM=6,在RtADCE中,CE=2'.''7,ABE=BC-CE=6-2；7综上所述,BE的长为6+2V〒或6-21丹.图1 书■月医.(1)证明：VAD〃BC,AZADC=ZBCD,VCD平分ZACB,AZACD=ZBCD,AZADC=ZACD,AAD=AC,*/AD//BC,AZADE=ZDEB,VZDEB+ZDEC=180°,ZDEB+ZCAD=180°,AZDEC=ZDAC,AZADE+ZDAC=180°,ADE/AC,A四边形ACED是菱形；(2)解：VZACB=90°,A菱形ACED是正方形，AZD=ZCAG=ZDEC=90°,AC=AD=CE,G是AD的中点,H是AC边中点，AAG=DG=CE,•・△EDGSCAGSECH(^AS),BC=2AC,ABE=CE=AD,AD/BE,AZB=ZDAF,VZAFE=ZBFE,•・△BFESAFD(AAS),AD=CE=BE,•・△BEF04ECH,A图中与△CEH全等的三角形有"Df^EDG,△CAG,△EBF.12.(1)证明：连接PE，如图1,ED匡1,・,点M是BE的中点『。±BE,PQ垂直平分BE,・•・PB=PE,AZPEB=ZPBE=90°-ZAEB=90°-60°=30°,AZAPE=ZPBE+ZPEB=60°,AZAEP=90°-ZAPE=90°-60°=30°,VZA=90°,ABP=EP=2AP；(2)解：NQ=2MQ或NQ=MQ.理由如下：分两种情况：如图3所示，过点Q作QF±AB于点F,交BN于点G,则FQ=CB,V正方形ABCD中,AB=BC,AFQ=AB.在RtAABE和RtAFQP中，[BE=PQ.AB=RQ，ARtAABE^RtAFQP(HL),AZFQP=ZABE=30°,又VZMGQ=ZBGF=ZAEB=60°,AZGMQ=90°,VCD〃AB.AZN=ZABE=30°・•・NQ=2MQ；如图2所示，过点Q作QF±AB于点F,则QF=CB,02同理可证：△ABE/△FQP,此时ZFPQ=ZAEB=60°,又•・•/FPQ=ZABE+ZPMB=60°,ZN=ZABE=30°,AZEMQ=ZPMB=30°,AZN=ZEMQ,ANQ=MQ.(1)证明二•四边形ABCD，四边形CEFG都是正方形，ABC=CD,CG=CE,在母△BGC和及△DEC中，fBC=CD(CG=CEARt△BGC0Rt^DEC(HL),ABG=DE,(2)连接AC,FC,AZACD=ZFCD=45°,ZACF=90°,・•・△ACF为直角三角形，又：M是AF的中点，ACM==^AF.(1)证明：二•四边形ABCD是正方形，•・AB=AD，/ABC=ZADC=ZADF=90°,在^ABE和^ADF中，rAB=AD，ZABE=ZABF网力F:、△ABESADF(SAS)；•・AE=AF,(2)连接AP,:△ABESADF,AZBAE=ZDAF,ZFAE=90°,在RtAEAF和RtAECF中,P是EF中点,APA=PC=PE=PF=EFEF,又：AE=AF,ZAEB=75°,AZAEP=45°,ZCEP=ZECP=60°,AZDCP=30°,在^APD和^CPD中，"AP=CP，止CD,DP=DP•・△APD^ACPD(SSS),AZCDP=45°,AZCPD=180°-30°-45°=105°.证明：(1)二•四边形ABCD是矩形，AOA=OB=OC=OD,・•DE±AC,BF〃AC,AOF=OD=OA,・•FG=OD,AFG=OA,・•FG〃OA,A四边形AOFG为菱形;(2)VAD=5,DF=8,•・DE=EF=4,AE=3,在RtADEO中，设OE=x，由勾股定理得：(x+3)2-42=x2,解得：x=春OD=符,OE=r,•・BF=2OE=-|-,FG=OD="y-,•一「斤十^斤=25・・BG=GF+BF=6 2-16.(1)证明：•「AF〃BC,•ZAFE=ZDBE,:E是AD的中点，•AE=DE,在^AEF和^DEB中，rZAFE=ZDBE*ZFEA=ZBED,iAE=EE•△AEFSDEB(AAS)；(2)解：当AB=AC时,四边形ADCF是正方形，理由：由(1)知,△AEF/△DEB,AF=DB,:D是BC的中点，DB=DC,AF=DC,VAF//BC,二四边形ADCF是平行四边形，ZBAC=90°,D是BC的中点，AD=DCgBC,，四边形ADCF是菱形，AB=AC,D是BC的中点，二AD±BC,二四边形ADCF是正方形.(1)证明：二•四边形ABCD是平行四边形,•・AB//CD,AB=CD，/DAB=ZDCB,AZBAC=ZDCA,;BE±AD,DF±BC,AZDAB+ZABM=90°,ZDCB+ZCDN=90°,又•：ZDAB=ZDCB,AZABM=ZCDN,在^ABM和^CDN中，Vbam=ZdcitAB=CD ,/AM二NCDN•・△ABMSCDN(ASA)；(2)解：四边形MBND是菱形，理由如下：;BE±AD,DF±BC,AD/BC,ABE/DF,由(1)知4ABM^△CDN,ABM=DN,A四边形MBND是平行四边形，连接BD，如图所示：・•四边形ABCD是菱形，AAC±BD,即MN±BD,A平行四边形MBND是菱形.(1)证明：：EF垂直平分BD,AEB=ED,FB=FD