函数的性质的高考试题汇编

函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期

性

一、选择题

1.(2013•福建高考文科・T5)函数/(x)=ln(/+i)的图像大致是()

【解题指南】f(x)的定义域为R,通过奇偶性，单调性进行筛选或带特殊

点计算.

【解析】选A./(-X)=+1)=In，+1)=/(x),所以/(x)的图象关

于y轴对称，又x£(0,+8)时，“X)是增函数.且过点(0,0).

2.(2013・辽宁高考理科・TU)【备注：(2013・辽宁高考文科・T

12)与此题干相同，选项顺序不同】

已知函数/(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8,

设〃i(x)=max{/(x),g(x)},〃2(x)=min{/(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的

较大值，min{p,q}表示中的较小值)记”](x)的最小值为A,名⑺的

最大值为8,则4-8=()

416B.-16

C.1—2a—16D.+2〃—16

【解题指南】搞清楚H|(x)=max{/(x),g(x)},H2(x)=min{/(x),g(x)}的确

切含义。数形结合解决问题。

【解析】选B.

f(x),f(x)>g(x),

〃](x)=max{/(x),g(x)}=

g(x)J(x)<g(x).

f(x),f(x)<g(x),

H式x)=min{/(x),g(x)}=<

g(x),/(x)>g(x)-

由/(x)=g(x)=>x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,

解得％=a-2,X2=a+2.

而函数/(x)=/_2(a+2)x+/,g(x)=-x2+2(a-2)x-/+8,的图像的对称

轴恰好分别为x=a+2,x=a-2.

可见二者图像的交点正好在它们的顶点处。如图1所示,

/(x),/(x)>g(x),

结合〃i(尤)=max{/(x),g(x)}=<

g(x),f(x)<g(x).

/(x)J(x)«g(x),

〃2(1)-min{f(x),g(x)}=

g(x)J(x)>g(x).可知

d(x),%(x)的图像分别如图2,图3所示(图中实线部分)

可见，A=而n=/(a+2)=—4a—4,B^H2(x)max=g(a-2)-12-4«.Affij

A-B=-16.

3.(2013・湖南高考文科・T4)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶

函数，且f(―1)+g(1)=2,f(1)+g(—1)=4,则g(1)等于

()

A.4B.3C.2D.l

［解题指南］结合函数的奇偶性定义/(-X)=-/(X),g(-x)=g(x)即可。

【解析】选B,因为=-/(l),g(-l)=g⑴，代入条件等式再相加，

得g⑴=3

4.(2013•北京高考文科-T3)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+

00)上单调递减的是()

A.y=-B.y=exC.y-x2+1D.y=lgIxI

X

【解析】选c.根据在区间(0,+8)上单调递减排除D,根据奇偶性排除

A,B.

5.(2013•广东高考理科・T2)

定义域为R的四个函数y=x3,y=2',y=x2+］,y=2sinx中，奇函数的个数

是()

A.4B.3C.2D.1

【解题指南】四个函数的定义域R关于原点对称，因此按照定义逐一

验证奇偶性即可.

【解析】选C.y==2sinx是奇函数,y=f+l是偶函数，y=2,是

非奇非偶函数.

6.(2013•湖北高考文科-T8)x为实数，H表示不超过x的最大

整数，则函数〃x)=x-［x］在R上为()

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期

函数

【解题指南】画出图象求解.

【解析】选D.由图象可知选D.

y

4OI123x

7.(2013•湖北高考文科・T10)已知函数”x)=x(lnx-ax)有两个极

值点，则实数a的取值范围是()

A.(-00,0)B.(0,1)C.(0,1)

D.(0,+oo)

【解题指南】利用导数求极值，转化为两个函数交点的问题.

【解析】选B.令r(x)=lnx-2ax+l=0,则lnx=2ax-l有两解，即函数y=lnx

与y=2ax-l有两个交点，直线是曲线y=lnx的割线;y=2ax-l恒过点

A(0,-l),设过A(0,-l)点的直线与y=lnx的切点为M错误！未找到引用

源。，则k=Ly-lnx0=错误!未找到引用源。，-Mnxo=错误！未找到引

用源。，所以x()=l,k=l,所以0<2a<l,0<a<；,

8.(2013・山东高考文科・T3)与(2013•山东高考理科*T3)相

同

已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时,f(x)=x2+L，则f(-D=()

X

A.-2B.OC.lD.2

【解题指南】本题可利用函数为奇函数f(-l)=-f(l),再利用当x>0时,

f(x)f2+J.即可求得结果.

X

【解析】选A.因为函数f(x)为奇函数，所以f(-l)=-f(l),又因为当

x>0时,f(x)=x?+L所以/⑴=F+』=2,f(-l)=-f(l)=-2.

x1

9.(2013•天津高考文科・T7)已知函数是定义在K上的偶函

数，且在区间[0,+8)单调递增.若实数a满足川og?a)+/(logM42/(1),则

2

Q的取值范围是()

A.[1,2]B.fo,-lC.[-,2]D.(0,2]

I2」\_2J

【解题指南】根据对数的运算性质和函数的奇偶性，将条件

/(log2a)+/(logla)42/⑴化为/(log2a)</(I)，再结合单调性转化为|log2a区1

2

求解.

【解析】选C.根据对数的运算性质和函数的奇偶性可知

/(log,a)=/(-log2a)=/(log2a)，因此/(log2a)+/(log।a)<2/(1)可化为

22

/(k>gM4/(i),又因为函数/*)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,”)

单调递增，故岷2441,解得;4a42.

10.(2013•重庆高考文科•T9)已知函数/(0=0?+公足》+4(凡/?€/?),

/(lg(log210))=5,贝lj/(lg(lg2))=

A.-5B.-lC.3D.4

【解题指南1根据函数的奇偶性求解.

【解析】选C.因为lg(log,10)=lg-^-]=-lg(lg2)

Ug2j

3

/(lg(log210))=/(-lg(lg2))=«(-lg(lg2))+bsin(—lg(lg2))+4=5

所以研-lg(lg2))3+&sin(-lg(lg2))=l

所以/(lg(lg2))=a(lg(lg2))3+bsin(lg(lg2))+4=-1+4=3.

二、填空题

11.(2013•大纲版全国卷高考文科・T13)

/(X)是以2为周期的函数，且当无«1,3)时，〃x)=X-2,则

/(-1)=.

【解题指南】根据函数周期为7=2,得〃x)=/(x+2),从而将47)的

函数值转化为求/⑴的值.

【解析】因为7=2,则/(x)=/(x+2),又/(-1)=/(-1+2)=〃1),因为

xe[l,3)时，/(x)=x-2,所以/(_1)=1-2=_1.

【答案】-1

flog,x,x>\

12.(2013・北京高考文科・T13)函数f(x)=3的值域为

【解题指南】分别求出每段的值域，再取并集。

【解析】当xNl时，log|x40;当x<l时，2、<2.因此，值域为(-00,2)。

2

【答案】(-00,2)

13.(2013•四川高考理科・T14)已知/*)是定义域为R的偶函数,

当x20时，/(x)=x2-4x,那么，不等式/(x+2)<5的解集是

【解析】依据已知条件求出y=f(x),x£R的解析式,再借助y=f(x)的图

象求解.设x<0jllJ-x>0.

当x20时,f(x)=x?-4x,

所以f(-x)=(-x)2-4(-X).

因为f(x)是定义在R上的偶函数，

得f(-x)=f(x),

所以f(x)=x2+4x(x<0),

故错误！未找到引用源。/(x)=r；—4x,x»o

[x+4x,x<0

由f(x)=5得错误！未找到引用源。5或,

得x=5或x=-5.

观察图象可知由f(x)<5,得-5<x<5.

所以由f(x+2)<5,得-5<x+2<5,所以-7<x<3.

故不等式f(x+2)<5的解集是凶-7<x<3}.

【答案】{x卜7<x<3}

14.(2013•上海高考理科・T12)设。为实常数，y=/(x)是定义在R

2

上的奇函数，当x<0时，f(x)=9x+—+7,若*x)Na+l对一切xiO成

X

立，则。的取值范围为

【解析】"0)=0,故02。+1=。4-1;当x〉0时，f(x)=9x+--7>a+l

X

o

即61oa+8,1,ci^――•

【答案】«<--

7

三、解答题

15.(2013•江西高考理科・T21)已知函数f(x)=a(l-2|x-；|),a为

常数且a>0.

(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x=L对称；

2

(2)若xo满足f(f(x()))=x(),但f(X。)Wx(),则x()称为函数f(x)

的二阶周期点，如果f(x)有两个二阶周期点x”X2,试确定a的取

值范围；

(3)对于(2)中的Xi，X2,和a,设X3为函数f(f(x))的最大值

点，A(xi，f(f(x])))，B(x2,f(f(X2))),C(x3,0),记4ABC

的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.

【解题指南】(1)要证函数f(x)的图像关于直线*=!对•称，只需

2

证明f(Lx)=fd-x)即可.(2)分0<a<La=」、a>^三种情况求

22222

f(f(x))的解析式，根据函数f(x)的二阶周期点的定义求解；(3)求

X3,由(2)求出的X],X2可得S(a),借助导数研究函数的单调性.

【解析】(1)因为f(g+x)=a(l-2|x|),f(1-x)=a(l-2|x|),即

fg+x)=f(；-x).

所以函数f(x)的图像关于直线x=；对称.

4a~x,x<—,

(2)当0<a<，时，有f(f(x))=<’2，

4a2(l-x),x>；.

所以f(f(x))=x只有一个解x=0,又f(0)=0,故0不是二阶周期点.

x,x<—,

当2=5时，有f(f(x))=<2

1—X,X〉一.

2

所以f(f(x))=x有解集卜又当XV；时，f(x)=x,故卜

中的所有点都不是二阶周期点.

,1

4ax.x<—,

4a

c,211

2a—4ax,—<x«一.

当a>；时，有f(f(x))=«4a2

2a(l-2a)+4a2x,-<x<

24a

4a2-4a2x,x>~~~

4a

2a2a小又

所以f(f(x))=x有四个解0,

l+4a2，l+2a

f(0)=0,f(上一)=*—,

l+2al+2a

,,2a、2a4a-、©，篇是f(x)的二阶

f(----)*-----，f(-----)