二年级思维拓展-简单数列求和

简单数列求和知识要点本讲的主要内容：1.数列的概念。 2.数列求和公式。基本方法与要求：世界著名的德国数学家高斯（1777年〜1855年），幼年时代，曾很快算出1+2+3+4+……+99+100的结果，高斯的算法是：1+100=101,2+99=101，……，50+51=101。把1〜100采用上述方式两两配对相加，共配对50对，它们的和都等于101，因而1+2+3+4+……+99+100=101x50=505001，2，3，4， ，99，100这列数中的规律是相邻两数的差相等。按照一定的次序排列的一列数叫数列。排在数列最前面的一项称为首项，最后一项称为末项，从第二项起，任一项与前一项的差称为公差。高斯的解法表明：数列和二（首项+末项）x项数+2项数二（末项-首项）+公差+1末项二首项+公差X（项数-1）学习数列要注意经常观察、分析和推敲推敲，这些都有助于学生数学能力的提高和实践创新能力的培养。b精选例题b精选例题c【例1】：计算:1+2+3+4+5+6+7+82+4+6+8+10+123+6+9+12+15林思路点拨：（1）先根据数的规律，看相邻两个数的差是否相等，从第二项起，任意一项与前一项的差是1，即公差为1，首项为1，末项为8,项数为8,根据数列和公式可以求得它们的和。（2）根据这一数列的变化规律，可以发现后一项总比前一项多2,即公差是2,首项是2,末项是12,项数是6,根据数列求和公式可以求得它们的和。（3）根据这一数列的变化规律，可以发现后一项总比前一项多3,即公差是3,首项是3,末项是15,项数是5,根据数列求和公式可以求得它们的和。出已标准答案：（1）原式=（1+8）X8+2=36(2)原式=(2+12)X6+2=42(3)原式=(3+15)X5+2=45国活学巧用1.计算：(1)1+2+3+4+5+6+7+8+9(2)0+2+4+6+8+10+12(3)2+4+6+8+10+12+14+162.计算：(1)0+3+6+9+12+15+18(2)3+5+7+9+11+13+15+17(3)0+5+10+15+20【例2】：（1）求首项是2,末项是14,公差是2的这个数列的和是多少？（2）求首项是2,公差是3的数列的前8项的和是多少？思路点拨：（1）根据题意可寻址它们排列的变化规律及项数，2，4，6，8，10，12,14,即项数是7,再根据数列求和公式求解。（2）根据题意可寻址它们排列的变化规律，2,5,8,11,14,17,20,23,……可得出末项是23,再根据数列求和公式求解。出一八已标准答案：（1）数列和二（2+14）X4+2=50(2)数列和二(2+23)X8+2=100国活学巧用1、求首项是0,末项是20,公差是5的这个数列的和是多少?2、求首项是2,公差是4的等差数列的前5项和是多少?【例3】：计算：2+4+6+8+……+18Memi思路点拨：这串加数组成的数是按照一定的规律排列的，任意一项都比前一项多2,首项为2,末项为18,为了利用求和公式，我们必须先找到项数是多少，我们可以把数列完整的写出来，或者利用项数公式。数列为：2,4,6,8,10,12,14,16,18项数二（末项-首项）+公差+1,求出项数，再根据求和公式求和。域标准答案：项数二（末项-首项）+公差+1=（18-2）+2+1=9所以项数为9。数列和二（首项+末项）x项数彳2=（2+18）X9・2=90揖活学巧用.计算：2+3+4+5+……+10.计算：4+6+8+10+……+16【例4】：计算3+4+5+6+7+8+……的前15项和。赫……思路点拨：这列数的首项为3,公差为1,项数是15,为了利用求和公式，我们必须先找到末项是多少，我们可以把数列完整的写出来，或者利用末项公式。数列为：3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,……末项二首项+公差X（项数-1）,求出末项，再根据求和公式求和。域标准答案：末项二首项+公差X(项数-1)=3+1X(15-1)=17数列和二(首项+末项)X项数+2=(3+17)X15H-2=150的舌学巧用.计算4+5+6+7+8+……的前10项和。.计算3+6+9+12+15+18+……的前7项和。【例5】：一次有10个朋友聚会，见面时，每人和其余的每个人只握一次手，那么这10个人共握多少次?思路点拨：设握9次；由于②已和①握过手，所以②只能和③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩这8个朋友每个人握手一次，共握8次；由于③已经和①②握过手，所以③只能和④⑤⑥⑦⑧⑨⑩这7个朋友握手1次，共握7次。以此类推……域标准答案：这10个人总共握手的次数为：1