大一上微积分课件3-1导数定义

1引例导数的定义可微与可导的关系可导与连续的关系微分的定义第一节导数与微分的概念导数与微分的几何意义求导数与微分举例1、直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动,已知路程s与时间t的试确定t0时的瞬时速度v(t0).

这段时间内的平均速度在每个时刻的速度.解若运动是匀速的,平均速度就等于质点一、问题的提出关系质点走过的路程,00tttD+®从时刻此式既是它的定义式,又指明了它的计算它越近似的定义为并称之为t0时的瞬时速度v(t0).瞬时速度是路程对时间的变化率.若运动是非匀速的,平均速度是这段时间内运动快慢的平均值,

越小,表明t0时运动的快慢.因此,人们把t0时的速度注方法,0lim®Dt2.割线的极限位置——对于一般曲线如何定义其切线呢?曲线的切线斜率问题若已知平面曲线如何作过的切线呢.

初等数学中并没有给出曲线切线的定义.过该点的切线.我们知道与圆周有唯一交点的直线即为圆周但此定义不适应其它曲线.如与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线.切线位置.?曲线上点法国数学家费马在1629年提出了如下的定义和求法,P.deFermat1601-1665从而圆满地解决了这个问题.2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放如图,

如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即二、导数的定义定义其它形式即处不可导或导数不存在.特别当(1)式的极限为有时也说在x0处导数是正(负)无当极限(1)式不存在时,就说函数f(x)在x0正(负)无穷时,穷大,但这时导数不存在.★★关于导数的说明：注意:★播放2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.35例用导数表示下列极限解练习解★2.右导数:单侧导数1.左导数:定理1★★三、微分的定义实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?微分的定义定义(微分的实质)由定义知:四、可微与可导的关系定理2证(1)必要性(2)充分性五、求导数与求微分举例求导步骤:例解例解例解更一般地例如,例解例解例解六、导数与微分的几何意义1.导数几何意义切线方程为法线方程为MNT）2.微分几何意义:(如图)P

例解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为3.导数物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.七、可导与连续的关系凡可导函数都是连续函数.证连续函数不存在导数举例0例如1注意:该定理的逆定理不成立.★01例如,例如,011/π－1/π例解练习为了使f(x)在x0处可导,

解首先函数必须在x0处连续.由于故应有又因应如何选取a,b?从而,当

f(x)在x0处可导.应如何选取a,b?为了使f(x)在x0处可导,

小结1.导数:增量比的极限;4.导数的几何意义:切线的斜率;5.函数可导一定连续，但连续不一定可导;6.求导数最基本的方法:由定义求导数.7.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.微分：函数的增量问题3.导数与微分的联系:

微分的几何意义:切线纵坐标对应的增量.导数与微分的区别:★思考题1思考题1解答思考题2(是非题)非可导;但不可导.非但不可导.解思考题3作业习题3-1(58页)

2(5).5(3).8.11.13.14.练习题答案2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.