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正定矩阵及其应用毕业名师资料合集（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）Makingmatrixanditsapplication专业:作者:指导老师:二○一二年五月岳阳摘要本文给出了若干充要条件；正定矩阵是一类特殊的矩阵,固然有它与其它矩阵不同的性质,所以给出了一些重要结论；本文还介绍了正定矩阵在分析中的应用；最后,还讨论了正定矩阵与柯西不等式、函数极值的关系.关键词:正定矩阵；充要条件；柯西不等式；函数极值AbstractThispaperprovidedseveralsufficientrequirements.Makingmatrixisakindofspecialmatrix,thereisnodoubtthatithassomepropertiesdifferentfromothermatrix,soIhavegivesomeimportantconclusionswhichprovidedmyconclusion.Inpartfour,itintroducedtheanalysisoftheapplicationofmakingmatrix.AtlastthisthesisalsodiscussedtherelationbetweenMakingmatrix,Cauchyinequalityandfunctionextremum.Keywords:Makingmatrix;Sufficientrequirement;Cauchyinequality;Functionextremum 目录TOC\o"1-3"\u摘要 IABSTRACT II0引言 11正定矩阵的等价定理 12关于实对称正定矩阵的一些重要结论 43正定矩阵与柯西不等式 64在函数极值问题中的应用 95小结 116致谢 11参考文献 120引言矩阵的思想很早就已经有了,至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程组时的应用上.矩阵理论是数学的一个重要的分支,它不仅是一门基础学科,也是最具实用价值、应用广泛的数学理论.特别是正定矩阵部分的应用很广泛[1-6],本文提供解决正定矩阵问题的方法并阐明它在实际中的应用.1正定矩阵的等价定理判定一个矩阵是正定的,除了用定义外还可以运用一些与定义等价定理,以下给出了一些判定矩阵正定的充要条件.(1)正定矩阵的充要条件是的正惯性指数等于的维数.证明设二次型经过非退化实线性替换变成标准型(1.1)因为非退化实线性替换保持正定性不变,正定当且仅当(1.1)是正定的,而我们知道,二次型(1.1)是正定的当且仅当,即正惯性指数为.(2)是正定矩阵的充要条件是合同于单位矩阵.证明由正定矩阵的充要条件是：的正惯性指数等于的维数可知,正定二次型的规范性为（1.2）因为二次型（1.2）的矩阵是单位矩阵,所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.(3)阶实对称阵为正定的充要条件是存在可逆矩阵,使成立.证明必要性：若是正定矩阵,则与单位矩阵合同.即存在实可逆矩阵,使,即,记,即有,且是可逆矩阵.充分性：若,是实可逆矩阵,对,,则,所以,是正定的.(4)阶实对称阵为正定的充要条件是个特征值全为正值.证明因为对任意的一个级实对称矩阵,都存在一个阶正交矩阵,使得成为对角矩阵.若为正定矩阵,一定为对称矩阵,故存在阶正交矩阵,使得,为正定矩阵当且仅当合同于单位矩阵,由矩阵合同的传递性可知,,得证.(5)是正定矩阵的充要条件是的所有顺序主子式大于零.证明先证必要性.设二次型是正定的.对于每个,,令.我们来证是一个元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数,有.因此是正定的.由上面的推论,的矩阵的行列式,.这就证明了矩阵时,,由条件显然有是正定的.假设充分性的论断对于元二次型已经成立,现在来证明元的情形.令,于是矩阵可以分块写成.既然的顺序主子式全大于零,当然的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定,是正定矩阵,换句话说,有可逆的级矩阵使,这里代表级单位矩阵.令,于是.再令,有,令,就有.两边取行列式,.有条件,.显然.这就是说,矩阵与单位矩阵合同,因之,是正定矩阵,或者说,二次型是正定的.根据归纳法原理,充分性得证.(6)阶实对称阵为正定的充要条件是存在对称正定矩阵,使.证明必要性：存在正交阵,使其中记以及.(为的特征值).充分性：对任给,,(因为正定),所以正定.(7)是正定矩阵的充要条件是存在非退化的上(下)三角矩阵,使.证明不妨以下三角矩阵为例来证明,上三角矩阵的情况同理可证.必要性若是阶正定矩阵,则的任意阶主子式大于零.特别的,有.将的第列乘适当的倍数,分别加到第列上,再施同样的行变化,可使变成为的形式.即：存在非退化的下三角矩阵,使,再令,则,因为正定则作为的阶顺序主子式,也是正定的.对做同样处理,最终可得到令则Q是非退化的下三角矩阵,且使充分性是显然的.(8)是正定矩阵的充要条件是是正定矩阵.证明必要性若是正定的,则存在实可逆矩阵使.则因为可逆,所以也是实可逆矩阵.所以有也是正定矩阵.充分性若是正定矩阵,则.因为,是正定的.(9)是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组使.证明必要性：是正定矩阵,因此存在正定矩阵,使,令,其中为正交向量组,即得.充分性：(U为正交矩阵),显然是正定矩阵.2关于实对称正定矩阵的一些重要结论对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外,还有很多重要结论,下面给出.(1)已知是阶正定矩阵,则(是正整数)也是正定矩阵.证明与的特征值有熟知的关系,故从特征值角度人手考虑.根据正定,即知其特征值全正,由于的全部特征值就是,也都为正.这就知是正定矩阵.(2)若都是阶实对称矩阵,且是正定矩阵,证明存在阶实可逆矩阵使与同时为对角形.证明因为是正定的,所以合同于,即存在可逆阵U使；且是阶实对称矩阵,则,存在正交矩阵使,则,取,则为所求.(3)若都是阶正定矩阵,证明:.证明存在实可逆矩阵使,其中.取行列式得.故,即.(4)若是正定矩阵,则也是正定的(其中表示的伴随矩阵).证明因为正定,所以正定；又因为,,所以也正定.(5)若A是实对称的正定矩阵,则存在使,,均是正定矩阵.证明它的k级顺序主子式为当充分大时,为严格主对角占优的行列式,且故从而是正定的,其余同理可证.这些结论如果能熟练掌握,并且可以巧妙运用有些题就可迎刃而解了.例1若是阶正定矩阵,则.证明法一与都是阶实对称正定矩阵,因此存在阶实可逆矩阵使,其中为的特征值且大于零.所以为的特征值,也是大于零的.所以(见结论五).法二因为与都是阶实对称正定矩阵,所以(见结论一).(6)若是阶实对称正定矩阵,则必有.证明根据定义,对一切皆有,故依次令,就有,即,以此内推,即.3正定矩阵与柯西不等式如果有一个正定的矩阵,我们通常可以设计出一个柯西不等式.进而我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系.(1)柯西不等式在中学里,我们就系统地学习了如下的一个不等式：(3.1)这就是著名的柯西不等式.若我们将不等式(3.1)用内积的形式来表示,则可易将它改写成.(2)正定矩阵与柯西不等式的关系如果有一个正定的矩阵,我们经过变换,通常可以设计出一个柯西不等式.然则我们就有必要知道正定矩阵与柯西不等式的关系.正定矩阵与柯西不等式之间有什么关系呢?设是一个阶正定矩阵,则对任何向量与,定义(3.2)则可以证明由(3.2)式定义的一定是维向量间的内积.反之,对于维向量间的任意一种内积,一定存在一个阶正定矩阵,使得对任何向量和,可由(3.2)式来定义.因此,给定了一个阶正定矩阵,在维向量间就可由该矩阵定义一个内积,从而可得到相应的柯西不等式：.例2证明不等式对所有实数和均成立.证明观察不等式形式与结构,可知它相当于其中,是由矩阵所定义的.但如果要证明是内积,还需证明是个正定矩阵.经验证该矩阵为正定矩阵.从而可看出该不等式就是由所确定的内积所产生的柯西不等式,因此可知不等式成立.注意：上述不等式可以推广为,其中为大于1的正整数,而是任意实数.例3（不等式）设为任意实数,则.证明记因为对于任意,都有,故关于的二次型是半正定的.易知,该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即.故得.例4证明证明记,其中将矩阵的第列分别加到第一列,再将第行减去第1行,得,于是的特征值为由定理可知,为半正定矩阵,即二次型是半正定的,从而得,即结论得证.例5设是一个三角形的三个内角,证明对任意实数,都有.证明记,其中对做初等行变换得:,于是的特征值为从而得二次型是半正定的,即对于任意实数,,得证.例6设为阶正定矩阵,且,证明.证明设的全部特征值为,则的全部特征值为.因为为实对称矩阵,所以存在正交矩阵,使得由于为正定矩阵,且,则是正定的,且其中至少有一个,同时至少有一个等于零.故,结论得证.4在函数极值问题中的应用定理设元实函数在点的一个邻域中连续,且有足够高阶的连续偏导数,则函数在点近旁有性质：1）若正定,则为极小点；2）若负定,则为极大点；3）若不定,则非极大点或极小点；4）其余情形时,在点性质有待研究余项R的性质来确定.特别当是二次函数时,,只要半正（负）定,则为极小（大）点.例7求函数的极值解：解方程组,易得,于是,,经计算得正定；负定；不定.故在点,点,不取极值；在点,取极小值,；在点,取极大值,.例8已知实数满足,求的最大值和最小值.解的矩阵为.,因此,特征值.于是,由定理可知,在下的最大值为,最小值为.5小结本文主要介绍了正定矩阵的一些证明和一些应用,同时将正定矩阵的些特有性质加以论述,这就为我们理解应用正定矩阵提供了丰富的资料,文章的重点还是在正定矩阵的应用上,至于是否还有其他方面的应用,现存的应用是否能够得到进一步的推广优化,条件能否减弱,都有待研究.参考文献[1]岳贵鑫.正定矩阵及其应用[J].辽宁省交通高等专科学校学报,2021,5:031-059.[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京：高等教育出版社,1988：232-236.[3]华东师范大学数学系.数学分析(第二版)[M].北京：高等教育出版社,1991：176一l79.[4]姚慕生.高等代数[M].上海：复旦大学出版社,2002：230.[5]盂道骥.高等代数与解析几何(第二版)[M].北京：科学出版社,2004：370.[6]丘维声.高等代数[M].北京：高等教育出版社,1996：334—335.[7]王萼芳,石生明.高等代数[M].高等教育出版社,2003:205-231.[8]蒋尔雄等.线性代数[M].人民教育出版社,1989.[9]吕风等编.高等数学在中学数学中的应用1000例[M].东北大学出版社.[10]孙学波.基于正定二次型的一个不等式及其证明[J].鞍山科技大学学报,2004.[11]安德森,莫尔.线性最优控制[M].北京：科学出版社,1971：24—25.[12]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].3版.北京:高等教育出版社,1983.[13]Kdman.R.E.,“ContributionstotheTheoryofOptimalcontrol,”Bo1[g].Soc.Matem.Mex.,196O,PP.102—119.网站的设计与应用摘要汽车网站是一个结合了汽车销售等多功能浏览的汽车网站，我所使用的软件是Macromedia公司推出的一款用于网页设计的软件——dreamweaver8。在网页的制作与链接中，我学到了很多，然后补充一些比较热门的技巧。网站具有快捷。无距离更新的特性，同时提供进入日常业务处理平台的“入口”，具有较强的实用价值。这样的网站被广大消费者普遍使用，随着现在网络的普及和高效性的不断提高，它的展示作用和实用性已经使它的应用地位越来越高，越来越广泛。本文对网站设计作了介绍，进行了需求分析、模块划分、框架和CSS的介绍。由于制作经验不足，作品和论文中存在问题之处，请老师指导完善。关键词：超链接，外观，性能，框架，CSS目录第一章前言1.1课题来源1.2网站开发项目需求分析1.3软件1.4软件运行环境第二章网站制作2.1做网页的步骤2.2做网页的要素2.3系统各模块功能实现第三章网站的设计3.1主页的要求3.2子页的要求3.3网页设计技巧第四章网站的应用结束语参考文献第一章前言1、1课题来源随着二十一世纪新兴科技的飞速发展，如今的电子信息产业正在经受着一个巨大的挑战，同时也面临着一个重大的机遇。就目前的科技发展水平而言，电子信息产业的发展已经不能够满足社会化大生产的要求，因此，各个国家集中人力、财力加大对信息技术产业的投入，以适应目前需要。可喜的是在这几十年的发展中我们有了互联网。互联网加大了我们了解世界的眼界，缩紧了人与人之间的距离，这就更容易的使我们走上信息化的道路。以往，人们出行都以自行车居多，后来公交事业发展壮大，人们便乘坐公交汽车，现如今，随着人们生活水平的提高，越来越多的家庭已经拥有或者想拥有自己的私家车。正是因为人们的这些需求，越来越多的汽车网站出现在网络上，使人们可以随时了解自己想知道的汽车方面的新闻，真正的做到足不出户，便知天下事。把汽车销售与网络连接起来，是今后汽车销售发展的必然方向之一。1．2网站开发项目需求分析一个网站项目的确立是建立在各种各样的需求上面的，这种需求往往来自于客户的实际需求或者是出于公司自身发展的需要，其中客户的实际需求也就是说这种交易性质的需求占了绝大部分。面对对网站开发拥有不同知识层面的客户，项目的负责人对用户需求的理解程度，在很大程度上决定了此类网站开发项目的成败。因此如何更好地的了解、分析、明确用户需求，并且能够准确、清晰以文档的形式表达给参与项目开发的每个成员，保证开发过程按照满足用户需求为目的正确项目开发方向进行，是每个网站开发项目管理者需要面对的问题。据专家预计，2021年我国汽车需求量将超过850万辆。所以，做好汽车网站就是为了使广大的消费者提供及时和有效的信息，为其选择适合自己的产品提供良好的参考。1．3使用软件dreamwraver软件由美国著名的网站应用开发工具生产厂商AdobeMacromedia于2005年6月推出并正式投入市场以来，已经发展得相当成熟。关于dreamwraver的技术介绍的相关书籍与网络信息相当丰富。通过大学中软件开发环境课程的学习，对dreamwraver有了比较深刻的认识，并比较轻松的掌握了dreamwraver的操作。因此，软件技术可以完成任务的要求。1．4软件运行环境Dreamweaver是一款简体中文软件，可以在Win2003/WinXP中安全运行网站制作2．1制作网页的步骤在做网页之前，我确定了做网页的五个步骤。一、确定网站主题：网站主题就是要建立的网站所要包含的主要内容，一个网站必须要有一个明确的主题。二、搜集材料：明确了网站的主题以后，你就要围绕主题开始搜集材料了。材料既可以从图书、报纸、光盘、多媒体上得来，也可以从互联网上搜集，然后把搜集的材料去粗取精，去伪存真，作为自己制作网页的素材。三、规划网站：一个网站设计得成功与否，很大程度上决定于设计者的规划水平，规划网站就像设计师设计大楼一样，图纸设计好了，才能建成一座漂亮的楼房。网站规划包含的内容很多，如网站的结构、栏目的设置、网站的风格、颜色搭配、版面布局、文字图片的运用等，你只有在制作网页之前把这些方面都考虑到了，才能在制作时驾轻就熟，胸有成竹。也只有如此制作出来的网页才能有个性、有特色，具有吸引力。四、选择合适的制作工具：尽管选择什么样的工具并不会影响你设计网页的好坏，但是一款功能强大、使用简单的软件往往可以起到事半功倍的效果。五、制作网页：材料有了，工具也选好了，下面就需要按照规划一步步地把自己的想法变成现实了，这是一个复杂而细致的过程，一定要按照先大后小、先简单后复杂来进行制作。所谓先大后小，就是说在制作网页时，先把大的结构设计好，然后再逐步完善小的结构设计。所谓先简单后复杂，就是先设计出简单的内容，然后再设计复杂的内容，以便出现问题时好修改。在制作网页时要多灵活运用模板，这样可以大大提高制作效率。此外，整体设计完成后我们还要将网页上传测试，使其和其他版本浏览器能够兼容，再者对网站推广宣传，及时的维护更新。2.2制作网页的要素2.2.1网页的整体布局设计

网页设计作为一种视觉语言，要讲究编排和布局，虽然主页的设计不等同于平面设计，但它们有许多相近之处，应充分加以利用和借鉴。版式设计通过文字图形的空间组合，表达出和谐与美。一个优秀的网页设计者也应该知道哪一段文字图形该落于何处，才能使整个网页生辉。多页面站点页面的编排设计要求把页面之间的有机联系反映出来，特别要处理好页面之间和页面内的秩序与内容的关系。尤其是我们在利用网页效果体现在线营销的意图时，更要注意为了达到最佳的视觉表现效果，而讲究整体布局的合理性，比如一家生产型的企业，它所提供产品的名称、类别、型号、价格、功能介绍应怎样编排才能使浏览者有一个流畅的视觉体验，从而方便他对产品的了解，促成最后的购买。

网页设计中色彩的运用

色彩是艺术表现的要素之一，在网页设计中，根据和谐、均衡和重点突出的原则，将不同的色彩进行组合、搭配来构成美丽的页面。根据色彩对人们心理的影响，合理地加以运用，按照色彩的记忆性原则，一般暖色较冷色的记忆性更强一些。色彩还具有联想与象征的特质，如红色象征血、太阳；蓝色象征大海、天空和水面等。所以如果我们在对一家出售冷食的商店进行虚拟店面的页面设计时，应使用淡雅而沉静的颜色，使人心理上感觉凉爽一些，增强人们的购买心理，使得在线营销得到很好的实践效果。另要注意的是网页的颜色应用虽没有限制，但不能毫无节制地运用多种颜色，一般情况下，先根据总体风格的要求定出一至二种主色调，在已经有了完备的CIS（企业形象识别系统）的企业进行网页设计时，更应该按照其中的VI进行色彩运用。在色彩的运用过程中，还应注意的一个问题是：由于国家和种族、宗教和信仰的不同，以及生活的地理位置、文化修养的差异等，不同的人群对色彩的喜恶程度有着很大的差异。如：儿童喜欢对比强烈、个性鲜明的纯颜色；生活在草原上的人喜欢红色；生活在闹市中的人喜欢淡雅的颜色；生活在“沙漠”中的人喜欢绿色。在设计中要考虑众多因素。网页形式与内容相统一

要将丰富的意义和多样的形式组织成统一的页面结构，形式语言必须符合页面的内容，体现内容的丰富含义。运用对比与调和、对称与平衡、节奏与韵律以及留白等手段，通过空间、文字、图形之间的相互关系建立整体的均衡状态，产生和谐的美感。如对称原则在页面设计中，它的均衡有时会使页面显得呆板，但如果加入一些富有动感的文字、图案，或采用夸张的手法来表现内容往往会达到比较好的效果。点、线、面作为视觉语言中的基本元素，要使用点、线、面的互相穿插、互相衬托、互相补充构成最佳的页面效果。网页设计中点、线、面的运用并不是孤立的，很多时候都需要将它们结合起来，表达完美的设计意境。2．3系统各模块功能实现系统登录模块1、该功能模块可以记录客户的邮箱地址，交易时还可以向客户发送交易信息，到帐确认等等。2、登陆后系统会调出客户的记录，按照交易量的不同客户享受的折扣也不同，系统主界面车辆展示模块1、该功能模块主要实现对车辆的展示。2、该功能模块图片、文字介绍，360度flash对各种车辆的展示。账号管理模块1、挂失业务在正常工作中肯定会遇到挂失的业务，确定挂失后，数据库会将该账号挂起，等待客户做进一步操作。2、冻结业务，客户对账号有冻结的权利，在客户没有输入解冻密码之前，任何人都无法动用帐上的资金。3、流水查询客户可以查询曾经交易过的记录。4、客户可以自行对其账号密码进行修改，网站管理人员也可以添加或删除账号。第三章网站的设计3.1主页的要求对于销售业务系统要求运行的工作环境稳定，易于操作，界面美观大方，对于前台展示界面要求系统便于维护，安全可靠，对于广大客户所要执行的操作简单易懂，远程访问速度较快，界面友好美观，有基本的错误提醒功能，远程操作数据库正确，要求和客户有一定的互动性，在主页上直观的就可以查看浏览者所想要了解的东西。3.2子页的要求后面的工作就是子页的选择与链接，子页应该丰富多彩，内容充实，浏览性强，比如说，想要销售一辆汽车，应该有它的全部资料，包括外观、内饰、性能指标、出产地、价格等诸多方面，鉴于以上方面，我开始了子页的选择与链接。3.3网页设计技巧一张完美的主页设计需要积累丰富的知识以及掌握大量的技巧。在这里从框架和CSS样式的运用两方面来介绍网页设计的技巧。3.3.1框架的使用FRAME（框架）是Web上经常会看到的页面结构。框架的最常见用途就是导航。一组框架通常包括一个含有导航条的框架和另一个要显示主要内容页面的框架。使用框架具有以下优点：访问者的浏览器不需要为每个页面重新加载与导航相关的图形；每个框架都具有自己的滚动条(如果内容太大，在窗口中显示不下)，因此访问者可以独立滚动这些框架。例如，当框架中的内容页面较长时，如果导航条位于不同的框架中，那么向下滚动到页面底部的访问者就不需要再滚动回顶部来使用导航条。使用框架具有以下缺点：可能难以实现不同框架中各元素的精确图形对齐；对导航进行测试可能很耗时间。许多专业Web设计人员不喜欢使用框架，并且许多浏览Web的人也不喜欢框架。在大多数情况下，这种反感是因为遇到了那些使用框架效果不佳或不必要地使用框架的站点(例如，每当访问者单击导航按钮时就重新加载导航框架内容的框架集)。如果框架使用得法(例如，在允许其他框架的内容发生更改的同时，使一个框架中的导航控件保持静态)，则这些框架对于某些站点可能非常有用。CSS样式的使用CSS(层叠样式表)是一种制作网页的新技术,它的全称是级联样式表,即CascadingStyleSheets的缩写，又称之为风格样式表单。CSS是在网页制作过程中普遍用到的技术。采用了CSS技术控制的网页，设计者会更轻松、有效地对页面的整体布局、颜色、字体、链接、背景以及同一页面的不同部分、不同页面的外观和格式等效果实现更加精确地控制。第四章网页的应用4.1网页分为静态网页和动态网页。优点：静态网页：静态网页的内容相对稳定，因此容易被搜索引擎检索；动态网页：动态网页以数据库技术为基础，可以大大减少降低网站维护的工作量；采用动态网页技术的网站可以实现更多的功能，如用户注册、用户登录、在线调查、用户管理、顶订单管理等等；缺点：静态网页：静态网页没有数据库的支持，在网站能制作和维护方面工作量较大，因此当网站信息量很大时完全依靠静态网页制作方式比较困难；静态网页的交互性交叉，在功能方面有较大的限制。动态网页：动态网页中的“？”对搜索引擎检索存在一定的问题，搜索引擎一般不可能从一个网站的数据库中访问全部网页，或者处于技术方面的考虑，搜索蜘蛛不去抓取网址中“？”后面的内容，因此采用动态网页的网站在进行搜索引擎推广时需要做一定的技术处理才能适应搜索引擎的要求。4.2我的认识网页应用很广泛，当我们打开IE浏览器的时候，出现在屏幕上的就是一个网页，随着社会的进步，生活节奏地加快，各行各业都开始使用互联网来宣传自己的产品，或者进行其他的活动。网站设计离不开网页，网页像书中的章页，由这些页面构成了整个网站。不管是大企业还是小公司，都有自己的网站，当然网站是离不开网页的。网页中的信息可以给我们带来很多帮助，可以用来学习或者做一些活动的参考。通过对这门课程的学习会收获很多。结束语在系统的需求分析过程中，由于不熟悉，产生了很大的困难，通过与指导老师的探讨与沟通，我渐渐地对系统有了一个大体的认识。虽然说在系统需求分析过程中花费了很多时间，但是我认为这是必要的也是必须的。这次毕业设计中我了解到了很多的知识，这对我今后的学习和生活都将会有很大的帮助。我明白了对于一个完整性的软件设计流程的主要性，在整个网站设计过程中前期需求分析，可行性分析是非常重要的环节，可以说是软件设计的核心，在过去我一直认为详细设计编码才是最重要的，因为再好的需求，编码不成功，软件就无法正常运行。锻炼了自己发现问题，解决问题的能力。开发过程中遇到一些需求的变化，通过修改设计思路，避免在后期产生更大的错误。再详细设计的每一步都有可能出错，所以会进行非常多的调试工作，只要发现问题就调试解决，这样不仅增强了信心，也很好的锻炼了自己遇到问题不急不躁，耐心解决的能力。参考文献〈1〉《信息技术》江苏科学技术出版社.〈2〉《网页制作》人民邮电出版社.<3>《dreamweaver8参考手册》2021年版.<4>柯林森、刘志忠，CSS基础教程，人民邮电出版社，2007.9.<5>苏昱，样式表中文手册，帮助文档。<6>韩国锋、柯华坤，ASP网站开发典型模块与实例精讲，电子工业出版社，2006.8.数学与计算机科学学院毕业论文题目：小概率事件原理及其应用专业：数学与应用数学学号：指导教师(职称)：2011小概率事件原理及其应用摘要:众所周知小概率事件原理是概率论的精髓，是实用价值较高、应用范围较广的基本理论。本文通过对小概率事件的概念、原理及其推断方法的分析、论证，在这一原理分析的基础上通过几个实例介绍了其在其它生活领域的应用，帮助人们正确认识小概率事件，正确对待小概率事件，在生活中趋利避害。关键词：小概率事件小概率事件原理应用PrincipleandapplicationofsmallprobabilityeventAbstractItisknownthattheprincipleofSmallProbablilityEventaccountsforthequintessenceofprobabilitytheory.Itishighlypracticalandwildlyapplied.ThispaperwillintroducethedefinitionofSmallProbablilityEvent,itsprincipleandthededucingmethods,alsowilldiscusstheapplicationinthedailylifebysomeexamples.HenceitcanhelppeopletounderstandfullySmallProbablilityEventanddealwithitincorrectway,avoidinganypossibledisadvantagesandgivingfullplaytotheadvantages.Keyword：Smallprobablilityevent,Principleofsmallprobablilityevent,Application目录TOC\o"1-2"\h\z\u摘要 1关键词 1目录 2第一章引言 1第二章小概率事件原理 12.1对小概率事件的认识 12.2小概率事件原理 12.3小概率原理的推断方法 22.4小概率事件与不可能事件的区别 2第三章小概率事件原理的应用 23.1小概率事件在彩票中的应用 33.2小概率事件在保险中的应用 53.3小概率原理在体育方面的应用 73.4小概率事件原理在医学上的应用 83.5小概率事件在假设检验中的应用 93.6小概率原理在商场管理中的应用 10第四章总结 11致谢语 12参考文献 12第一章引言提到小概率事件，大家并不陌生，在生活中有许多小概率事件，这些事件看起来一点都不起眼，但是很多情况下却起着非常重要的作用，有的可能发生大的事故，如某人因购买彩票而中了大奖，意外发现了金银财宝等那是“天上掉馅饼”；还有“说曹操曹操就到”；还有像雷电伤人，吃饭被鱼刺卡喉，某人因车祸而失去生命，等等，这些小概率事件我们认为几乎是不可能发生的，对有些人来说，或许一辈子也碰不到一次，但是也有一些人可能多次遇到，小概率事件虽然看上去一点也不起眼，但是有时可能带来欢乐和福音，有时也可能带来悲伤与灾难，甚至可能会发生大的事故，如5.12汶川大地震，长江流域百年一遇的洪水，等等，虽然这些事件本身发生的概率极小，但往往具有和大的破坏力，因此说有些小概率事件是不可忽视的，我们只有充分的认识和把握它，并加以很好的应用，小概率事件就会给我们的生活带来意想不到的收获。第二章小概率事件原理2.1对小概率事件的认识概率是刻画随机事件发生可能性大小的数量指标。一个随机事件发生的可能性大小是由它自身决定的，是它自身的一种属性，不受你是否认识到或者是否计算出来的影响，它是客观存在的。在概率论问题）时，那么小概率事件的阀值应选得比这两个值更小一些，否则可以选得大一些。2.2小概率事件原理小概率事件原理是概率论中具有实际应用意义的基本理论，又称为似然推理，根据大量重复试验中事件出现的频率接近于它们的概率，即指：若事件A为小概率事件，但在一次或少数次试验中小概率事件A居然发生了，就有理由认为情况不正常，事件A不应该发生。小概率事件原理又称为小概率事件不发生原理，但应该明确：若某试验中出现A的概率为，不管>0如何小，如果把试验不断独立地重复下去，那么A迟早必然会出现一次，从而也必然会出现任意多次，因为第一次试验中A不出现的概率为1-，前n次A都不出现的概率为，因此前n次试验中A至少出现一次的概率为1-。当n时概率趋于1，这表示A迟早会出现1次的概率为1。出现A以后，把下次试验当作第一次，重复上述推理，可见A必然再次出现。由以上分析可看出，小概率事件并不是不可能事件，所以我们在实际生活和工作中不能忽视小概率事件。小概率事件是否可以忽略，要具体问题具体分析，例如，任何小概率的事件对航天飞机来说都有可能是致命的，而一批皮鞋中有0.01的次品却无妨大碍。在较复杂的问题中，利用小概率事件原理可以帮助我们透析小概率事件发生现象的更深背景。2.3小概率原理的推断方法定理一（伯努利大数定律）在n次独立重复试验中，记事件A发生的次数是，p是A发生的概率，则对于任意>0，有或，根据伯努利大数定律，事件A发生的频率依概率收敛于事件A发生的概率，就是说，当n很大时，事件A发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小，假设某事件A发生的概率很小，由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件A的频率来代替概率。倘若某事件A出现的概率甚小，则它在大量重复试验中出现的频率应该很小。例如，若=0.001，则大体上在1000次试验中A才出现一次。因此，概率很小的事件在一次试验中实际上不大可能出现，在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件。实际不可能事件在一次试验中是不会出现的，这就是小概率原理。它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据，也是人们在实践中总结出来而被广泛应用的一个原理。小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是人们首先提出假设，继而根据一次试验的结果来进行计算，最后按照一定的概率标准作出鉴别。若导致不合理的现象出现，即小概率事件发生，则拒绝假设；若未导致不合理现象出现，即小概率事件未发生，则不拒绝假设。2.4小概率事件与不可能事件的区别对于小概率事件，我们通常认为它是不会发生的，人们出差，旅行可以放心地乘坐汽车或火车，原因是发生交通事故的概率都很小，在一次试验（乘坐汽车或火车）中，这个小概率事件实际上不会发生，是实际不可能事件。但是小概率事件不等于不可能事件，我们应知道，不管小概率事件A的概率如何小，如果将试验不断独立的重复下去，那么事件A迟早必然会出现一次，继续重复下去，于是也必然会出现任意多次，而不可能事件是指无论将试验做多少次，事件A都不会发生。这就表明了小概率事件与不可能事件之间的差别。所以我们不能因为发生交通事故是个小概率事件就认为它是不可能事件，就不注意交通安全。最后，我们应该注意的是小概率原理仅适用于个别的、单独的试验，当试验次数很多时就不适用了。例如，购买奖券时，当你很有钱，采取包号甚至全买下奖券等措施，那么小概率事件就变成了必然事件了，这时小概率事件就不适用了。第三章小概率事件原理的应用小概率原理不经意地指导人们的实际生活,目前，小概率原理在经济、医学、体育、交通、气象等各种与人们生活息息相关的领域中也有解释的空间。下面我将从彩票、保险、医学等方面谈谈小概率事件的应用。小概率事件在彩票中的应用生活中，很多人爱买彩票，也有人因此而一夜暴富。彩票已成为我国不少城市居民投资的一个渠道。如果运气好，少量的投资将换来惊人的收益。正因如此，彩票才有市场，吸引众多的投资者购买。我们都知道买彩票中奖是小概率事件，我们来看一个实例：一种福利彩票称为幸福35选7，即从01，02，…，35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码。其中各等奖的规则如下，试求各等奖的中奖概率。表1幸福35选7的中奖规则中奖级别中奖规则一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖7个基本号码全中中6个基本号码及特殊号码中6个基本号码中5个基本号码及特殊号码中5个基本号码中4个基本号码及特殊号码中4个基本号码，或中3个基本号码及特殊号码解：因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间含有个样本点。要中奖应把抽样看成是在三种类型中抽取：第一类号码：7个基本号码；第二类号码：1个特殊号码；第三类号码：27个无用号码。在三类号码中抽取，若记为第i等奖的概率（i=1，2，…，7），可得各等奖的中奖概率如下：=====================若记A为事件“中奖”，则为事件“不中奖”则由P(A)+P()=P()=1可得P（中奖）=P(A)=++++++==0.033485P（不中奖）=P()=1-P(A)=0.966515。这就说明：一百个人中约有3人中奖；而中头奖的概率只有，即二千人万个人中约有3人中奖。既然买彩票中最高奖的概率很小，为什么还会有人中奖呢？因为全国买彩票的人太多了，这就增大了中大奖的概率，产生最高奖就不足为奇了。那么，对彩票，我们应该持何种态度呢？我认为，作为普通老百姓，一方面，一次只应该花几块钱、几十元或几百元，用有限的钱买几注或几十注彩票，因为彩票的中奖率，尤其是中大奖的概率，实在是太小，好比大海捞针，是可遇而不可求的；另一方面，要有一颗平常心，空闲时买几张彩票碰碰运气，算算号码，娱乐一下。中彩固然值得庆贺，未中彩也不要垂头丧气。须知，买彩票中大奖是小概率事件，而小概率事件是很少发生的。为了发展公益事业，我国发行了多种彩票，有些彩票的最高奖高达数百万元，但是在有限的几次试验中中高奖这种事件几乎是不可能发生的，买一张彩票就能中高奖的概率近似为零。尽管中高奖的概率微乎其微，但毕竟是公益事业，我们买彩票的时候一定要怀着造福社会奉献爱心的态度，中奖当然是好事，不中也应该泰然处之。小概率事件在保险中的应用在现实生活中，消费者总是面临着风险下的选择。经验表明，在一般的情况下消费者都是风险回避者。因此作为风险回避的消费者便会采用购买保险的手段来回避或化解自己所面临的风险。下面我们讨论消费者和保险公司是如何在自愿互利的原则上展开保险活动的。首先，考察保险活动的需求方即消费者，假定某消费者拥有的一笔财产价值为W万元，他面临财产遭受失窃、火灾等风险。如果风险发生他将损失L万元，风险发生的概率为p。假设该消费者为回避此项财产风险愿意向保险公司支付的保险费为S元。我们知道，对于回避风险的消费者来说，他愿意付出一笔钱购买保险，使得无论风险是否发生都能稳妥地保持一笔财产W-S。现在的问题是，该消费者到底愿意支付多少保险金来回避自己的风险？也就是说，他愿意支付的保险金额S到底是多少？一般来说，其原则是消费者愿意支付的保险金额S应该等于他的财产的期望损失，即（1）或者说，消费者支付的保险金额S应该使得保险后的稳妥财产W-S等于在风险条件下的财产期望值，即（2）在此例中（2）式左边表示消费者购买保险以后的稳妥财产，右边表示消费者面临风险下的财产的期望值，因此消费者愿意购买保险，而且愿意支付的保险费S应该满足（1）或（2）式。下面我们具体应用一个例子来说明以上原则。假定某消费者的初始财产为50万元，他面临遭受失窃、火灾等风险，如果风险发生，他将损失20万元，风险发生的概率为0.1，财产损失的期望值为2万元（）。如果该消费者支付保险金等于财产损失的期望值，即2万元，则他的具体情况如下表2所示：表2风险发生风险不发生财产期望值不购买保险30万元50万元48万元购买保险48万元48万元48万元概率0.10.9由表可知，如果消费者购买保险，他支付的保险金S为2万元，那么不管风险是否发生，扣除保险金后他都持有稳定的收入48万元。也就是说，他刚好使得购买保险条件下的稳定的财产等于风险条件下的财产的期望值即48万元。总之，只要消费者购买保险的支出等于财产的期望值损失，消费者总是愿意购买保险，使自己在遭受损失时能够得到全部的补偿，从而消除了风险。最后，考察保险公司的供给方即保险公司。为方便分析，假定保险公司的经营成本为0，于是保险公司追求利润最大化的目标便可以改写成为追求收益最大化的目标。根据前面所表述的例题，如果损失不发生，保险公司不需要支付补偿费，则保险公司收益为S；如果损失发生，保险公司需支付补偿费，且补偿费等于消费者的损失L，则保险公司的收益为S-L，由此，我们可以得知，保险公司的期望收益为(3)因此，只要保险公司的期望收益（4）则保险公司接受这项投保业务。换言之，由（4）式可知，只要，即消费者支付的保险费S大于或等于财产的期望损失，则保险公司就接受这项业务。还可以说，由（4）式可知，只要，即损失发生的概率p小于或等于，则保险公司就接受这项业务。下面我们来看一个例子，某人寿保险公司有3000个统一年龄阶层的人参加保险，在一年内每个人的死亡概率为0.1%，参加保险的人在1月1日交10元保险费，而在他在这一年死亡时家属可从保险公司领取2000元。求保险公司亏本的概率。设一年中死亡人数为X，则保险公司每年收入为元=30000元，付出为2000X元，把“参加保险的每个人在该年是否死亡”看作一次随机试验，3000个人参加试验就相当于3000重贝努力试验，即X～B（3000，0.001），=np=设A=“保险公司亏本”，则：np=根据棣莫佛-拉普拉斯定理：=P(A)=1-0.9582=4.18%即，保险公司亏本的概率是4.18%。从以上分析可见，保险公司实际上也是应用了小概率事件的原理，知道亏本的概率极小，肯定在保险业中最大的受益者是保险公司。但不能因为收益的概率小就不去投保，因为小概率事件并不是不可能事件，不能掉以轻心，应该重视保险业，重视自身及家人的安全、财产、养老等等问题。小概率原理在体育方面的应用由于小概率原理常常在不知不觉中指导着人们的生活，它的存在、发展变化是不以人的意志为转移的，因此人们对它的研究也面临着机遇和挑战，它还有更多的运用有待我们进一步去深入地分析和研究。下面就谈谈小概率事件原理在体育方面的应用。问题1根据以往资料，篮球运动员张三投篮的命中率都为70%，他在一场比赛开始后连续投篮7次命中次数不超过2次，可否认为该运动员尚未进入状态，为教练提供理论依据。分析解答：假定7次投篮是相互独立的7次试验，用表示其投中的次数，则服从n=7，p=0.7的二项分布，其概率分布为(k=0，1，…，7)投篮7次命中0次、1次、2次的概率分别为：命中次数不超过2次的概率为：++=0.0002187+0.0035721+0.0250047=0.0287955<0.05问题2已知四川理工学院体育系四年级男生36人安静时心率均数为68.9次/分，由文献得知，正常男子安静时心率均数为72次/分。那么，体育系四年级男生的心率是否与一般正常成年男子不同？分析解答：针对36名经常参加锻炼的体院四年级男生同一般成年男子的安静时心率的差异，分析它是否是抽样误差引起的，就要确立一个小概率的显著性水平（如取=0.01），先假定其差异是仅源于抽样误差，则提出假设检验：。即体院的总体均数等于已知总体“一般”的总体均数，可理解为体院样本是从总体“一般”中随机抽样的。在此前提下，再计算因为抽样误差而取得这样的样本的可能性，若可能性很小，即小于显著性水平，有显著差异，就自然对原来的假设产生怀疑，从而拒绝原假设。假设：“经常参加锻炼的体院四年级男生同一般成年男子的安静时心率没有差异”，可用t检验法进行，由题意，选统计量：于是：，故在=0.01检验水平下拒绝假设。由上可判定与的差异具有高度显著性，可以基本认为安静时的心率“体院学生”不同于“一般”。根本原因可能是长期锻炼导致心肌增强，美搏输出量增加等原因，而不是小小的抽样误差所能影响的。上面只是列举了小概率事件原理在体育方面运用的几个例子，如果能进一步认识和重视小概率事件的发生、发展、转化，小概率原理的应用将会更加广泛。3.4小概率事件原理在医学上的应用（1）在疾病的变化方面：随着人类年龄的增长及生活无规律，人们身体各器官衰老或器质性的变化，导致疾病产生。如果加以及时治疗或改变饮食规律、生活习惯，提高生活质量，那么大多数人是可以延缓衰老，疾病也是可以治愈的。例如，一个人在没有临床症状，但他的肝内部发生疾变，认为小疾无大碍。如果不加重视，伴随着时间的积累发生大病的机会，并不像人们想像那样短时间内没事。如果发现后及时治疗，提高生活质量，大概率事件最多是发展成为慢性肝炎，而小概率事件则是发展为肝硬化或肝癌。（2）在用药方面：在许多药物经过临床试验，已经标明可能引起诸多不良反应的情形下，医生只顾眼前利益，让病人长期服用某种有效药物，并对病人说没事。当然短时期内治疗很有效果，病人也很满意，引发其它疾变的概率很小，殊不知长期服用就会出现相当严重的后果。据世界组织统计，各国住院病人发生药物不良反应的比率约在10-20%，其中5%患者因为严重的药物不良反应而死亡。（3）在治疗方面：一个病人患了某种疾病，看了很多医院，通过各种检测，许多专家都断言：治疗的希望很渺茫而拒绝进一步的治疗，因为这毕竟是小概率事件。当然也不排除因医术不高明，害怕治疗失败会影响自己声誉或医院声誉。另外现在社会，随着人们维权意识的增强，敢于拿起法律武器挑战医疗体制，也毕竟是好事。即使如此，我们认为在治疗病人疾病时，出于人道主义考虑，要坚持以人为本的理念，无论治好的可能性多么小，都不应放弃治疗。况且，法律也规定医生和医院不允许见死不救。事实上，我们也看到了许多专家大胆采用新疗法、新药物、辩证治疗等方法，出现了奇迹，使病人起死回生，受到病人欢迎。当然，我们也看到许多大概率事件变小概率事件的例子。如某专家在某治疗领域是权威，对治疗某病很拿手，可以说治好的概率很大，相对的治不好的概率很小，是小概率事件，但因某些特殊原因如怀侥幸心理或麻痹大意治疗失败了，导致医疗事故的发生，人为导致小概率事件发生了，这是大家不愿看到的，这也是我们应竭力避免的。3.5小概率事件在假设检验中的应用假设检验的思想和方法的根据是小概率原理，具体的说当对问题提出原假设和备选假设，并要检验是否可信时，可以先假定是正确的。在此假定下经过一次抽样，若发生了一个小概率事件，可以根据小概率原理，怀疑原假设不真，而作出拒绝的决定。反之，如果小概率事件没有发生，就没有理由拒绝，从而接受。下面我们看下两个例题：例1、已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.55,)。现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55？解：要检验现在生产的铁水平均含碳量是否仍为4.55，只需检验假设：；：。此检验问题为正态总体期望的双方检验问题，由于已知，选用统计量～N(0,1)（为真时），从而，即是一小概率事件。根据试验的结果，U的观察值的绝对值为，又查正态分布表得，比小，小概率事件没有发生，于是我们没有理由拒绝，即认为现在生产的铁水平均含碳仍为4.55。例2、某厂用自动包装机装箱，额定标准为每箱重100kg，设每箱重量服从正态分布，=1.15kg，某日开工后，随机抽取10箱，称得重量（kg）为：99.398.9101.5101.099.698.7102.2100.899.8100.9问：包装机工作是否正常（取=0.05）。分析：此问题实质