求和方法 新高考 数学 一轮复习专项提升精讲精练 （含答案解析）

6.4求和方法（精练）（提升版）题组一题组一公式法求和1．（2022·黑龙江）已知等差数列满足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为d，则∴，∴．（2），∴，∵，又，∴数列为等比数列，且首项为2，公比为4，∴．2．（2021·四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知得，则，将代入并化简得，解得或(舍去).所以.（2）由（1）知，所以，所以，即数列是首项为，公比为的等比数列.所以.3．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.(1)求；(2)若，求的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)设等差数列的公差为，由，且，，成等比数列可得，解得，，所以.(2)由可得，所以，所以.题组二题组二裂项相消求和1．（2022·江苏江苏·一模）已知数列，，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)解：因为，所有，当时，，，……，，相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式；(2)证明：由（1）得，所以，所以，．所以．2．（2022·浙江台州·二模）在数列中，，且对任意的正整数，都有.(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【解析】(1)解：（1）由，得.又因为，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列.故，即.(2)由，故，故．3．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)因为数列满足，所以，所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则有，.(2)，所以，因为，所以.4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列的前项和，且．(1)证明：数列为等差数列；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)当时，由，得或，∵，∴，由，得当时，由，得，整理得，∵，∴≠0，∴，∴数列是首项为，公差为的等差数列；(2)由（1）得，，∴．5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知正项等比数列的前n项和为，且，数列满足．(1)证明：数列为等差数列；(2)记为数列的前n项和，证明：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)设等比数列的公比为，因为，故，解得或（舍），故，，因为，故，又，故数列是公差为的等差数列.(2)因为，故，又是单调增函数，且，又当时，，故，即证.6．（2022·安徽安庆·二模）已知数列的前n项和为，且满足，.(1)求的通项公式；(2)若，求的前n项和.【答案】(1)，(2)【解析】(1)解：时，，解得.当时，，故，所以，故.符合上式故的通项公式为，.(2)解：结合（1）得，所以.题组三题组三错位相减求和1．（2022·广东·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知数列的前n和为，若，且，求数列的前n项和．【答案】选①，；选②，；选③，.【解析】选①：当n≥2时，因为，所以，上面两式相减得．当n＝1时，，满足上式，所以．因为，所以，上面两式相减，得：，所以．选②：当时，因为，所以，上面两式相减得，即，经检验，，所以是公比为－1的等比数列，．因为，所以．选③：由，得：，由累加法得：．又，所以．因为，所以，上面两式相减得，所以．2．（2022·广东肇庆·二模）已知数列满足，.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：由，得，又，所以，故，故是以为首项，以为公比的等比数列；(2)解：由（1）得，得，所以，设的前n项和为，则，①，②由①-②，得，则，故.3．（2022·广东韶关·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)选①：，；选②：，；选③：，(2)【解析】(1)解：若选①：由，则，可得将上述个式子相加，整理的又因为，所以.若选②：，当时，，当时，所以，所以.综上，若选③：，当时，，当时，由可得，所以，所以.经检验当时也成立，所以；设等差数列的公差为，由题有，即，解得从而(2)解：由（1）可得，令的前项和是，则，，两式相减得，，整理得；4．（2022·广东·模拟预测）已知数列满足，．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：由，得，又，所以，故，故是以为首项，以为公比的等比数列．(2)由（1）得，得，所以，设的前n项和为，则，①，②由①-②，得，则，故．5．（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，，且对任意，都有．(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；(2)求使得不等式成立的最大正整数m．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)由，得，所以是等比数列.所以从而所以，．(2)设即，所以，，于是，．因为，且，所以，使成立的最大正整数．题组四题组四分组求和1．（2022·甘肃·一模）已知数列满足，．数列满足，，，．(1)求数列及的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2)【解析】(1)由得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，由可知数列是等差数列，首项，公差，所以.(2)即2．（2022·江苏南京·高三开学考试）设数列是公差不为零的等差数列，，若成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和为.【答案】(1)；(2).【解析】(1)解：设数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，a1=1若a1，a2，a5成等比数列，可得a1a5=a22，即有，解得或d=0（舍去）

则.(2)解：可得前项和.3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列，满足，是与的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)当n为偶数时，；当n为奇数时，.【解析】(1是正项等比数列，故，所以，又，设公比为q（q>0），即，即，解得：，则数列的通项公式为(2)则当n为偶数时，；当n为奇数时，.4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式以及前n项和；(2)若，求数列的前2n－1项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)依题意，，则，故，解得d＝2，∴，故，.(2)依题意，得，故，故5．（2022·河南·模拟预测（理））在等比数列中，，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，证明：数列的前n项和.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)设数列的公比为q，由，得，所以.因为，，成等差数列，所以，即，解得.因此.(2)因为，所以.因为，，所以.6．（2022·云南·一模（理））已知数列的前项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)∵，∴.∴.∵数列的前项和为，∴.∴.所以数列是首项为，公比为的等比数列.∴.当时，由和得，解方程得.∴.∴数列的通项公式为.(2)由（1）知：.∴.∴.∴.7．（2022·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列中，，且、、成等比数列，数列中，，，.(1)求的通项公式及其前项和；(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；(3)设求数列的前项的和.【答案】(1)，(2)证明见解析，(3)【解析】(1)解：设等差数列的公差为，则，由已知可得，即，解得，故，.(2)证明：因为，，则，因为，故数列是以为首项和公比的等比数列，因此，，因此，.(3)解：设数列的前项和中，奇数项的和记为，偶数项的和记为.当，，则，，上式下式得，故.当时，，所以，，因此，.题组五题组五周期数列1．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列的通项公式为()，其前项和为，则_______.【答案】【解析】，∴.故答案为：2．（2020·河南郑州·三模）设数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n满足则______．【答案】【解析】由得.又因为,故.故.故,…，.累加可得.故,故故答案为：题组六题组六倒序相加法1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（

）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D【解析】因为函数满足，①，②，由①②可得，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知若等比数列满足则（

）A． B．1010 C．2019 D．2020【答案】D【解析】等比数列满足即2020故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则

A．2016 B．2017 C．2018 D．2019【答案】C【解析】函数，函数的导数，，由得，解得，而，故函数关于点对称，，故设，则，两式相加得，则，故选C.5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由，得，又也满足上式，所以，则为常数，所以数列为等差数列；所以，.则数列的前项和为，记，则，所