精选数列2.5.2等比数列前n项和的性质及应用练习新人教A版必修5

精选数列2.5.2等比数列前n项和的性质及应用练习新人教A版必修5PAGE第2课时等比数列前n项和的性质及应用课后篇稳固探究A组1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前3项和为21,那么a3+a4+a5等于()A.33 B.72 C.84 D.189解析由S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.答案C2.数列{an}的前n项和Sn=an-1(a是不为零且不等于1的常数),那么数列{an}()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列解析因为Sn=an-1符合Sn=-Aqn+A的形式,且a≠0,a≠1,所以数列{an}一定是等比数列.答案B3.{an}是等比数列,a1=1,a4=,那么a1a2+a2a3+…+anan+1等于(A.2(1-4-n) B.2(1-2-n)C.(1-4-n) D.(1-2-n)解析设公比为q,∵a4a1=q3=∵a1=1,∴anan+1=1×12n-1×1×12n=故a1a2+a2a3+a3a4+…+an=2-1+2-3+2-5+…+21-2n=1=(1-4-n).答案C4.我国古代数学名著?算法统宗?中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯〞.意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,那么塔的顶层共有灯()A.2盏 B.3盏 C.5盏 D.6盏解析设第七层有a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得a(1-27答案B5.一个等比数列共有3m项,假设前2m项之和为15,后2mA.63 B.72 C.75 D.87解析由S2m=15,S3m-Sm=60,又(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)=Sm(Sm+60-S2m),解得Sm=3,所以S3m答案A6.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,a2,a4+2,a5成等差数列,Sn是数列{an}的前n项和,那么S10-S4=.

解析依题意有2(a4+2)=a2+a5,设公比为q,那么有2(2q3+2)=2q+2q4,解得q=2.于是S10-S4=2(1-答案20167.数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),那么S2018=.解析∵an+1·an=2n(n∈N*),a1=1,∴a2=2,a3=2.又an+2·an+1=2n+1,∴an+2∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.∴S2018=(a1+a3+…+a2017)+(a2+a4+…+a2018)=2=3·21009-3.答案3·21009-38.一件家用电器的现价是2000元,如果实行分期付款,一年后还清,购置后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款元.(参考数据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252)

解析设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,那么A1=2000(1+0.007)-x=2000×1.007-x,A2=(2000×1.007-x)×1.007-x=2000×1.0072-1.007x-x,……A12=2000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x,因为A12=0,所以2000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x=0,解得x=2即每期应付款175元.答案1759.在等差数列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为|a2|的等比数列,求{bn}的前n项和Sn.解(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意得a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.所以a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1所以数列{an}的通项公式为an=-3n+2.(2)由(1)得a2=-4,所以|a2|=4.而数列{an+bn}是首项为1,公比为4的等比数列.所以an+bn=4n-1,即-3n+2+bn=4n-1,所以bn=3n-2+4n-1,于是Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+4+42+…+4n-1)=n(10.导学号04994050数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn,n∈N*,求:(1)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式;(2)a2+a4+a6+…+a2n的值.解(1)由a1=1,an+1=Sn,n=1,2,3,…,得a2=S1=a1=,a3=S2=(a1+a2)=,a4=S3=(a1+a2+a3)=1627由an+1-an=13(Sn-Sn-1)=an(n得an+1=an(n≥2),∵a2=,∴an=1343n∴数列{an}的通项公式为an=1(2)由(1)可知,a2,a4,…,a2n是首项为,公比为432,项数为∴a2+a4+a6+…+a2n=13B组1.在等比数列{an}中,a1+a2+a3+a4+a5=3,a12+a22+a32+a42+A.3 B.5 C.-5 D.5解析由题意可知等比数列{an}的公比q≠1,那么a1+a2+…+a5=a1(1-q5)1-∴a1(1+q5)1+q=5,∴a1-a2+a3-a答案D2.某公司今年获利5000万元,如果以后每年的利润都比上一年增加10%,那么总利润达3亿元大约还需要 ()(参考数据:lg1.01≈0.004,lg1.06≈0.025,lg1.1≈0.041,lg1.6≈0.204)A.4年 B.7年 C.12年 D.50年解析根据题意知每年的利润构成一个等比数列{an},其中首项a1=5000,公比q=1+10%=1.1,Sn=30000.于是得到5000(1-1.1n两边取对数,得nlg1.1=lg1.6,解得n=lg1.6答案A3.等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项之积为Tn,且满足a1>1,a2016a2017>1,a2016A.q<0B.a2016a2018-1>C.T2016是数列{Tn}中的最大数D.S2016>S2017解析由,得a2016>1,a2017<1,所以前2016项均大于1,0<q<1,S2016<S2017,T2016是数列{Tn}中的最大数,a2016a2018与1的大小关系无法确定.应选C答案C4.等比数列{an},其前n项和为Sn,假设S30=13S10,S10+S30=140,那么S20等于.

解析易知q≠1(否那么S30=3S10),由S所以q20+q10-12=0,所以q10=3(负值舍去),故S20=a1(1-q20)1-q=S10×(1+q10答案405.等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=bn+1-2(b>0,b≠1),那么a4=.

解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(b-1)·bn.因为a1=S1=b2-2,所以(b-1)b=b2-2,解得b=2,因此Sn=2n+1-2,于是a4=S4-S3=16.答案166.导学号04994051如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆,……如此下去,那么前n个内切圆的面积和为.

解析根据题意知第一个内切圆的半径为36×3=32,面积为π,第二个内切圆的半径为34,面积为316π,……这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为π,公比为,故前n答案1-7.正项等差数列{an}的公差不为0,a2,a5,a14恰好是等比数列{bn}的前三项,a2=3.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记数列{bn}的前n项和为Tn,假设对任意的n∈N*,kTn+32≥3n-解(1)设公差为d,根据题意知d≠0,a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d.∵(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3,∴3d2-6d=0,∴d=2(d=0舍去).又a2=3,d=2,∴a1=1,an=2n-1.∵b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,∴bn=3n.(2)由(1)知b1=3,q=3.∵Tn=b1∴3n+1-32+32k≥3n-∴Tn>0,∴k≥2n-43n对n令cn=2n-43n,cn-c当n≤3时,cn>cn-1,当n≥4时,cn<cn-1,∴(cn)max=c3=227故k≥2278.导学号04994052等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,n∈N*.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)