两个随机变量函数分布

两个随机变量函数分布第一页，共43页。第五节两个随机变量的函数的分布Z=X+Y的分布Z=Y\X及Z=XY的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布课堂练习第二页，共43页。

在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:当随机变量X,Y的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?第三页，共43页。例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解=a0br+a1br-1+…+arb0

由独立性r=0,1,2,…一、的分布第四页，共43页。解依题意

例2

若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为于是i=0,1,2,…j=0,1,2,…的泊松分布.第五页，共43页。r=0,1,…即Z服从参数为的泊松分布.第六页，共43页。例3

设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.

这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函数是:它是直线x+y=z及其左下方的半平面.第七页，共43页。化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序第八页，共43页。由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:

由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.第九页，共43页。

特别地，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:

下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.卷积公式第十页，共43页。为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例4若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式也即第十一页，共43页。暂时固定故当或时,当

时,当

时,于是第十二页，共43页。

例5

若X和Y是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.解由卷积公式第十三页，共43页。令得可见Z=X+Y服从正态分布N(0,2).第十四页，共43页。用类似的方法可以证明:

若X和Y独立,结论又如何呢?此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.

若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).第十五页，共43页。有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.即更一般地,可以证明:若相互独立，则第十六页，共43页。二、Z=Y\X,Z=XY的分布设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=Y\X的密度函数为当X,Y独立时,第十七页，共43页。解例6第十八页，共43页。第十九页，共43页。三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函数即有FM(z)=FX(z)FY(z)第二十页，共43页。即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]

=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)2.N=min(X,Y)的分布函数由于X和Y相互独立,于是得到N=min(X,Y)的分布函数为:=1-P(X>z)P(Y>z)FN(z)第二十一页，共43页。设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为

我们来求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数.(i=1,…,n)用与二维时完全类似的方法，可得N=min(X1,…,Xn)的分布函数是

M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:第二十二页，共43页。特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有第二十三页，共43页。

例7

设系统L由两个相互独立的子系统连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统损坏时,系统开始工作),如下图所示.设的寿命分别为已知它们的概率密度分别为其中且试分别就以上三种连接方式写出的寿命的概率密度.XYXYXY第二十四页，共43页。XY解(i)串联的情况由于当系统中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以此时L的寿命为因为X的概率密度为所以X的分布函数为第二十五页，共43页。当

x>0时,当

x0时,故类似地,可求得Y的分布函数为第二十六页，共43页。于是的分布函数为=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]的概率密度为第二十七页，共43页。XY(ii)并联的情况由于当且仅当系统都损坏时,系统L才停止工作,所以此时L的寿命为故的分布函数为第二十八页，共43页。XY于是的概率密度为(iii)备用的情况因此整个系统L的寿命为由于当系统损坏时,系统才开始工作,第二十九页，共43页。当

z0时,当

z>0时,当且仅当即时,上述积分的被积函数不等于零.故第三十页，共43页。于是的概率密度为第三十一页，共43页。例8设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为于是解第三十二页，共43页。第三十三页，共43页。需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.第三十四页，共43页。三、课堂练习设是相互独立的随机变量,它们都服从正态分布.试验证随机变量具有概率密度第三十五页，共43页。1,设随机变量且满足P{X1X2=0}=1，求（1）(X1,X2)的联合概率分布；（2）P{X1<X2}；（3）P{X1=X2}。第三十六页，共43页。2.设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).第三十七页，共43页。3.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为0100.4a1b0.1已知随机事件与相互独立，则有（B）(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4第三十八页，共43页。4.设随机变量X与Y独立分布,且X的概率分布为记求(U,V)的概率分布;解易知U,V的可能取值均为:1,2.且第三十九页，共43页。第四十页，共43页。5.设X1,X2独立同分布，且X1的分布律为X1123