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文档简介
根轨迹概念常规根轨迹:在负反馈系统,开环系统根轨增益K*由0变化到∞,闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹与系统性能(稳定性)密切相关。广义根轨迹:除根轨增益K*以外的其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。
参数根轨迹:在负反馈系统,以非根轨增益K*为可变参数绘制的根轨迹。
零度根轨迹:在正反馈系统,开环系统根轨增益K*由0变化到∞,闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹方程特征方程1+G(s)H(s)=01+K*=0j=1m∏spi(-)pi开环极点“×”,也是常数!开环零点“○”,是常数!Zji=1n∏根轨迹增益K*,不是定数,从0~∞变化这种形式的特征方程就是根轨迹方程szj(-)根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)-∑∠(s-pj)=(2k+1)π
k=0,±1,
±2,…j=1i=1mnj=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1相角条件:模值条件:绘制根轨迹的充要条件
确定根轨迹上某点对应的K*值根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同学们,头昏了吧?根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0n=1;d=conv([120],[122]);rlocus(n,d)n=[12];d=conv([125],[[1610]);rlocus(n,d)变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹解题关键:要将开环传函变形,将非开环增益的参数变换到开环增益的位置。参数根轨迹注意:该变形是在等效变换的基础上得来的“等效”仅在闭环极点相同这一点上成立。零度根轨迹的模值条件与相角条件K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1模值条件:∑∠(s-zj)-∑∠(s-pj)=(2k+1)π
k=0,±1,
±2,…j=1i=1mn相角条件:2kπ零度绘制零度根轨迹的基本法则1根轨迹的条数就是特征根的个数不变!不变!2根轨迹对称于轴实3根轨迹起始于,终止于开环极点开环零点()0()∞j=1mn=∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=11K*不变!4∣n-m∣条渐近线对称于实轴,起点∑pi-∑zj∣n-m∣i=1j=1nmσa=不变!渐近线方向:φa=(2k+1)πn-mk=0,1,2,…2kπ5实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数,则该段是根轨迹偶6根轨迹的分离点j=1m∑i=1n∑d-pi11d-zj=k=0,1,2,…λL=(2k+1)πL,不变!不变!7与虚轴的交点8起始角与终止角变了
举例说明利用根轨迹分析系统的性能解:(1)系统无开环零点,开环极点为:P1=P2=0,P3=–2,P4=–5实轴上根轨迹区间为:[–5,–2],[0,0]根轨迹渐近线条数为:4,且:由分离点方程:得:0–2–5无论K*取何值,闭环系统恒不稳定(2)当H(s)=1+2S时,系统开环传递函数为:其中K1*=2K*.H(s)的改变使系统增加了一个开环零点。
实轴上的根轨迹区间为:[–∞,–5],[–2,–0.5],[0,0]
根轨迹渐近线条数为:3且:解得根轨迹与虚轴的交点为:
S1,2=±j2.55.0–0.5–2–5由右图可知,当0<K*<22.75时,闭环系统稳定例二、已知系统开环传递函数,试应用根轨迹法
分析系统的稳定性,并计算闭环主导极点
具有阻尼比ζ=0.5时的性能指标。解:
1、作根轨迹图⑴有三条根轨迹⑵实轴上(0—–1),(–2—–∞)为根轨迹段⑶渐近线夹角与坐标:令S=jw得:0–1–2d11.414–1.4142、分析系统稳定性当系统开环增益K>3时,根轨迹将有两条分支伸向[S]平面的右半部,这时系统不稳定,所以系统稳定的开环增益范围为:0<K<33、根据对阻尼比的要求,确定闭环主导极点S1,S2的位置。下面确定除S1,S2极点以外的第三个极点的位置已知两个极点S1,2=–0.33±j0.58,用综合除法可求得第三个极点S3
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