自动控制原理第四章根轨迹小结课件

根轨迹概念常规根轨迹：在负反馈系统，开环系统根轨增益K*由0变化到∞，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹与系统性能（稳定性）密切相关。广义根轨迹：除根轨增益K*以外的其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。

参数根轨迹：在负反馈系统，以非根轨增益K*为可变参数绘制的根轨迹。

零度根轨迹：在正反馈系统，开环系统根轨增益K*由0变化到∞，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹方程特征方程1+G（s）H(s)=01+K*=0j=1m∏spi(-)pi开环极点“×”,也是常数！开环零点“○”,是常数！Zji=1n∏根轨迹增益K*，不是定数，从0~∞变化这种形式的特征方程就是根轨迹方程szj(-)根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*=0∏∏((ss--zjpi))i=1-1∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mnj=1mnK*=1∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1相角条件:模值条件:绘制根轨迹的充要条件

确定根轨迹上某点对应的K*值根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同学们，头昏了吧？根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0n=1;d=conv([120],[122]);rlocus(n,d)n=[12];d=conv([125],[[1610]);rlocus(n,d)变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹解题关键：要将开环传函变形，将非开环增益的参数变换到开环增益的位置。参数根轨迹注意：该变形是在等效变换的基础上得来的“等效”仅在闭环极点相同这一点上成立。零度根轨迹的模值条件与相角条件K*=mnj=1∏︱s-zj︱∏s-pi︱︱i=1模值条件:∑∠(s-zj)－∑∠(s-pj)=(2k+1)π

k=0,±1,

±2,…j=1i=1mn相角条件:2kπ零度绘制零度根轨迹的基本法则1根轨迹的条数就是特征根的个数不变！不变！2根轨迹对称于轴实3根轨迹起始于,终止于开环极点开环零点()0()∞j=1mn=∏∏︱ss--zjpi︱︱︱i=11K*不变！4∣n-m∣条渐近线对称于实轴,起点∑pi-∑zj∣n-m∣i=1j=1nmσa=不变！渐近线方向:φa=(2k+1)πn-mk=0,1,2,…2kπ5实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹偶6根轨迹的分离点j=1m∑i=1n∑d-pi11d-zj=k=0,1,2,…λL=(2k+1)πL,不变！不变！7与虚轴的交点8起始角与终止角变了

举例说明利用根轨迹分析系统的性能解：（1）系统无开环零点，开环极点为：P1=P2=0,P3=–2,P4=–5实轴上根轨迹区间为：[–5，–2]，[0，0]根轨迹渐近线条数为：4，且：由分离点方程：得：0–2–5无论K*取何值，闭环系统恒不稳定（2）当H(s)=1+2S时，系统开环传递函数为：其中K1*=2K*.H(s)的改变使系统增加了一个开环零点。

实轴上的根轨迹区间为：[–∞，–5]，[–2,–0.5],[0,0]

根轨迹渐近线条数为：3且：解得根轨迹与虚轴的交点为：

S1,2=±j2.55.0–0.5–2–5由右图可知，当0<K*<22.75时，闭环系统稳定例二、已知系统开环传递函数，试应用根轨迹法

分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点

具有阻尼比ζ=0.5时的性能指标。解：

1、作根轨迹图⑴有三条根轨迹⑵实轴上（0—–1），（–2—–∞）为根轨迹段⑶渐近线夹角与坐标：令S=jw得：0–1–2d11.414–1.4142、分析系统稳定性当系统开环增益K>3时，根轨迹将有两条分支伸向[S]平面的右半部，这时系统不稳定，所以系统稳定的开环增益范围为：0<K<33、根据对阻尼比的要求，确定闭环主导极点S1,S2的位置。下面确定除S1,S2极点以外的第三个极点的位置已知两个极点S1,2=–0.33±j0.58,用综合除法可求得第三个极点S3