材料力学 应力状态分析

材料力学应力状态分析1第一页，共八十七页，2022年，8月28日8应力状态分析8.1应力状态的概念8.2用解析法分析二向应力状态8.3用图解法分析二向应力状态8.4三向应力状态下的应力分析8.5广义胡克定律8.6三向应力状态下的比能2第二页，共八十七页，2022年，8月28日低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁8.1应力状态的概念1.问题的提出3第三页，共八十七页，2022年，8月28日脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁8.1应力状态的概念4第四页，共八十七页，2022年，8月28日 为了分析这些破环现象，为了建立组合变形构件的强度条件，我们必须分析通过危险点的斜截面上的应力情况，也就是说我们必须要研究一点处的应力状态。2.一点的应力状态 通过构件内某一点的各个不同方位的截面上的应力的大小和方向，通常称为点的应力状态。8.1应力状态的概念5第五页，共八十七页，2022年，8月28日 构件上同一点在各个不同方位的截面上，应力的大小和方向不尽相同——应力是截面方位的函数。8.1应力状态的概念6第六页，共八十七页，2022年，8月28日3.一点应力状态的表示方法

单元体法：围绕一点取微小的正六面体，这一无穷小的单元体就代表这个点。 当一个材料单元体的三个坐标平面上的应力都已知时，总可以用截面法求出任意方位截面上的应力，于是当单元体三个坐标平面的应力确定时，就称该单元体的应力状态已确定。8.1应力状态的概念7第七页，共八十七页，2022年，8月28日4.截取单元体的原则一般来说，三对平行面的应力是可求的或给定的；通常截取的一对平行平面是横截面。8.1应力状态的概念横截面8第八页，共八十七页，2022年，8月28日横截面8.1应力状态的概念横截面材料单元体上相对坐标面上的应力大小相等，方向相反。材料单元体上任意方向面上应力均匀分布。9第九页，共八十七页，2022年，8月28日yxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主应力单元。5.主平面、主应力8.1应力状态的概念10第十页，共八十七页，2022年，8月28日空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零6.应力状态的分类8.1应力状态的概念11第十一页，共八十七页，2022年，8月28日空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零应力状态的分类8.1应力状态的概念12第十二页，共八十七页，2022年，8月28日空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零应力状态的分类8.1应力状态的概念13第十三页，共八十七页，2022年，8月28日例1下图a所示钢轨的轨头受车轮的静荷作用时，其应力状态即为图b所示三向压应力状态。s1s1s3s3s2s2(b)(a)F8.1应力状态的概念14第十四页，共八十七页，2022年，8月28日1.决定一点的应力状态有哪些因素？讨论8.1应力状态的概念2.研究一点应力状态的意义是什么？15第十五页，共八十七页，2022年，8月28日8.2解析法分析二向应力状态应力状态分析：已知材料单元体的三对互相垂直的外表面上的应力，求任意方向面上的应力。

最一般的情况：九个应力分量，六个独立(切应力互等)

最常见的情况：有一对方向面上的应力为零，有一个主应力肯定为0，点处于平面应力状态。

yxz16第十六页，共八十七页，2022年，8月28日1.斜截面上的应力已知：x，y，x，y；求：任意斜截面的应力（面）

8.2解析法分析二向应力状态17第十七页，共八十七页，2022年，8月28日列平衡方程

8.2解析法分析二向应力状态18第十八页，共八十七页，2022年，8月28日利用三角函数公式并注意到化简得8.2解析法分析二向应力状态19第十九页，共八十七页，2022年，8月28日2.正负号规则正应力：拉为正；反之为负切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。a角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。

8.2解析法分析二向应力状态20第二十页，共八十七页，2022年，8月28日例2如图所示单元体，求指定截面上的正应力和切应力。

8.2解析法分析二向应力状态21第二十一页，共八十七页，2022年，8月28日解：由题示条件知：

8.2解析法分析二向应力状态22第二十二页，共八十七页，2022年，8月28日

8.2解析法分析二向应力状态23第二十三页，共八十七页，2022年，8月28日确定正应力极值设时，上式值为零，即3.

正应力极值和方向8.2解析法分析二向应力状态即时，切应力为零24第二十四页，共八十七页，2022年，8月28日由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：主应力按代数值排序：σ1σ2

σ3

8.2解析法分析二向应力状态25第二十五页，共八十七页，2022年，8月28日4.切应力极值和方向采用同样的方法：从中解出，进而可得到的极值。

8.2解析法分析二向应力状态26第二十六页，共八十七页，2022年，8月28日根据切应力成对性，可解出两个相差p/2的极值平面，一个面上为极大值，另一个面上为极小值。

8.2解析法分析二向应力状态27第二十七页，共八十七页，2022年，8月28日5.过一点所有方向面中的最大切应力即：xy平面内最大切应力为：单元体内的最大切应力为：8.2解析法分析二向应力状态28第二十八页，共八十七页，2022年，8月28日试求（1）斜面上的应力；

（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例3一点处的平面应力状态如图所示。已知

8.2解析法分析二向应力状态29第二十九页，共八十七页，2022年，8月28日解：（1）斜面上的应力8.2解析法分析二向应力状态30第三十页，共八十七页，2022年，8月28日（2）主应力、主平面

8.2解析法分析二向应力状态31第三十一页，共八十七页，2022年，8月28日主平面的方位：代入表达式可知主应力方向：主应力方向：

8.2解析法分析二向应力状态32第三十二页，共八十七页，2022年，8月28日（3）主应力单元体：

8.2解析法分析二向应力状态33第三十三页，共八十七页，2022年，8月28日1.最大正应力所在面上的切应力一定为零，最大切应力所在面上的正应力是否也一定为零？讨论8.2解析法分析二向应力状态34第三十四页，共八十七页，2022年，8月28日这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆8.3图解法分析二向应力状态35第三十五页，共八十七页，2022年，8月28日1.应力圆

tsOC单元体斜截面上应力（，）和应力圆上点的坐标（，）一一对应，因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求斜截面上应力（，）。因为圆心一定在轴上，只要知道应力圆上的两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。

8.3图解法分析二向应力状态36第三十六页，共八十七页，2022年，8月28日2.应力圆的画法D(sx,tx)D/(sy,ty)cRADxy

8.3图解法分析二向应力状态37第三十七页，共八十七页，2022年，8月28日已知x、y、x、y，如右图，假定x>y。

在、坐标系内按比例尺确定两点：dabcefatxtytxxnasxsxsysytyy(1）作图

8.3图解法分析二向应力状态38第三十八页，共八十七页，2022年，8月28日

以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应力圆。连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点。CC8.3图解法分析二向应力状态39第三十九页，共八十七页，2022年，8月28日(2）证明对下图所示应力圆可见C点的横坐标为：

从D1点按斜截面角的转向转动2得到E点，该点的坐标值即为斜截面上的应力分量值。C2sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a由于可得：

8.3图解法分析二向应力状态40第四十页，共八十七页，2022年，8月28日因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆确为应力圆。则：8.3图解法分析二向应力状态sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a41第四十一页，共八十七页，2022年，8月28日另外，E点横坐标为：

即：

8.3图解法分析二向应力状态sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a42第四十二页，共八十七页，2022年，8月28日可见，E点坐标值即为斜截面上的应力分量值。同理可得E点的纵坐标为：

8.3图解法分析二向应力状态sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a43第四十三页，共八十七页，2022年，8月28日由于应力圆上点的坐标与单元体面上的应力分量值一一对应，因此，按比例作图，可通过直接用尺子量出坐标值来求任意斜截面上的应力分量，此即称为图解法。解：按一定比例画出应力圆。

例4用图解法求图示=30°斜截面上的应力值。因为图示应力状态有：

8.3图解法分析二向应力状态x30°tx=35.7MPasx=63.7MPayn44第四十四页，共八十七页，2022年，8月28日按一定比例，作出应力圆，并找到斜截面对应的点，量取其坐标可得：则x、y截面在应力圆上两点为：EsDy(0,35.7)Dx(63.7,-35.7)60°-30°(s-30°，)20MPa8.3图解法分析二向应力状态45第四十五页，共八十七页，2022年，8月28日点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力3.几种对应关系D(sx,tx)D’(sy,ty)cxyHnH

8.3图解法分析二向应力状态46第四十六页，共八十七页，2022年，8月28日

两倍角对应——单元体某方向转过某个角度到另一个方向面时，应力圆上对应点的半径转过该角度的两倍达到另一个方向面对应的点。D(sx,tx)D’(sy,ty)cH8.3图解法分析二向应力状态xyHn47第四十七页，共八十七页，2022年，8月28日4.主应力与主平面对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）。s1a0s1s2s2

主平面：剪应力=0的平面；主应力：主平面上的正应力。可证明：并规定：可见：tsODyDxCA2A12a0(b)8.3图解法分析二向应力状态txsy(a)48第四十八页，共八十七页，2022年，8月28日具体值可在应力圆上量取，即：主平面位置：图a中1主平面的方位角0对应于应力圆（图b）上的圆心角20。

主应力值和主应力平面的计算：由图b可见，A1、A2两点的横坐标为：

8.3图解法分析二向应力状态tsODyDxCA2A12a0(b)49第四十九页，共八十七页，2022年，8月28日由此可得两个主应力值为：因为1主平面方位角的两倍对应于应力圆上20，而

8.3图解法分析二向应力状态50第五十页，共八十七页，2022年，8月28日IV象限。注意：20的值与其所在的象限有关，而其所在象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：I象限；II象限；III象限；所以，1主平面方位角0为：

8.3图解法分析二向应力状态51第五十一页，共八十七页，2022年，8月28日例5求图a所示应力状态的主应力及方向。

解：(1)应力圆图解法：因为：所以：按一定比例作出应力圆（图b）。ytx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A120(b)

8.3图解法分析二向应力状态52第五十二页，共八十七页，2022年，8月28日s1sa0s1yx(c)由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得：由此可得：主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：8.3图解法分析二向应力状态53第五十三页，共八十七页，2022年，8月28日(2)解析法所以：⇒

8.3图解法分析二向应力状态54第五十四页，共八十七页，2022年，8月28日

例6图(a)示为一单元体。试求：(1)主应力的值；(2)主应力作用面的位置；(3)τmax和τmin的值。

解：根据正、切应力的正负号规定，有

8.3图解法分析二向应力状态55第五十五页，共八十七页，2022年，8月28日(1)求σmax和σmin，确定主应力的值

8.3图解法分析二向应力状态56第五十六页，共八十七页，2022年，8月28日(2)求主应力作用面的方位角或

8.3图解法分析二向应力状态57第五十七页，共八十七页，2022年，8月28日(3)求主切应力

8.3图解法分析二向应力状态58第五十八页，共八十七页，2022年，8月28日1.试定性画出轴向拉伸、轴向压缩、扭转圆轴、一般受弯杆件危险点处的应力单元体及其对应的应力圆？讨论

8.3图解法分析二向应力状态59第五十九页，共八十七页，2022年，8月28日1.定义三个主应力都不为零的应力状态8.4三向应力状态下的应力分析60第六十页，共八十七页，2022年，8月28日考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力。对与3平行的斜截面：

同理：和2平行的斜截面上应力与2无关，由1、3的应力圆确定；和1平行的斜截面上应力与1无关，由2、3的应力圆确定。cabs1s3s3(b)s2s1s2s1s3s3s2(a)进一步研究表明，一般斜截面abc面上应力位于图c所示的阴影部分内。由图b可知，该面上应力、与3无关，由1、2的应力圆来确定。8.4三向应力状态下的应力分析61第六十一页，共八十七页，2022年，8月28日max作用面为与2平行，与1或3成45°角的斜截面。所以，由1、3构成的应力圆最大，max作用点位于该圆上，且有：因为：stOs3s2s1smaxBDAtmax(c)注意：max作用面上，0。

8.4三向应力状态下的应力分析62第六十二页，共八十七页，2022年，8月28日例7用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力max及作用面。解：由图示应力状态可知z=20MPa为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyz

8.4三向应力状态下的应力分析63第六十三页，共八十七页，2022年，8月28日图b所示平面应力状态对应的应力圆如图c。最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d。tsOs3s1ACD2D1(c)tsOtmaxs3s2s1BACD2D12a0(d)由此可得：

8.4三向应力状态下的应力分析64第六十四页，共八十七页，2022年，8月28日作用面与2平行而与1成45°角，如图e所示。最大切应力对应于B点的纵坐标，即x(e)s3s2s1tmax45°17°

8.4三向应力状态下的应力分析65第六十五页，共八十七页，2022年，8月28日1.试举出单向应力状态、二向应力状态、三向应力状态的工程实例。讨论8.4三向应力状态下的应力分析2.一个二向应力状态与另一个二向应力状态叠加的结果是什么应力状态？66第六十六页，共八十七页，2022年，8月28日1.基本变形时的胡克定律yx(1）轴向拉压胡克定律横向变形(2）纯剪切胡克定律8.5广义胡克定律67第六十七页，共八十七页，2022年，8月28日2.三向应力状态的广义胡克定律－叠加法

8.5广义胡克定律68第六十八页，共八十七页，2022年，8月28日

8.5广义胡克定律69第六十九页，共八十七页，2022年，8月28日3.广义胡克定律的一般形式8.5广义胡克定律yxz70第七十页，共八十七页，2022年，8月28日例8截面为20mm40mm的矩形截面拉杆受力如图所示。已知：E=200GPa，v=0.3，u=270106。求力F的大小。

8.5广义胡克定律71第七十一页，共八十七页，2022年，8月28日解：在A点取一单元体如图所示

对如图所示坐标系有

8.5广义胡克定律72第七十二页，共八十七页，2022年，8月28日

8.5广义胡克定律73第七十三页，共八十七页，2022年，8月28日

8.5广义胡克定律74第七十四页，共八十七页，2022年，8月28日讨论

8.5广义胡克定律1.二向应力状态单元体，已知主应变，材料泊松比为，其主应变是否是？75第七十五页，共八十七页，2022年，8月28日8.6三向应力状态下的比能在线弹性范围和小变形条件下，应变能与加载顺序无关，只取决于外力(变形)的最终值。单位体积的应变能，称为应变能密度，即：1.单向应力状态76第七十六页，共八十七页，2022年，8月28日2.三向应力状态

比例加载：图示主单元体中，各面上的应力按同一比例增加直至最终值。

此时，对每一主应力，其对应的应变能仅与对应的主应变有关，而与其它主应力在该主应变上不作功，同时考虑三个主应力，有：

8.6三向应力状态下的比能77第七十七页，共八十七页，2022年，8月28日由前述广义虎克定律有：则应变能密度为：而主单元体体积为：

8.6三向应力状态下的比能78第七十八页，共八十七页，2022年，8月28日3.形状改变比能一般情况，单元体有体积改变，也有形状改变。=+

主单元体分解为图示两