备战2019中考初中数学六大题型专项突破(三)创新画图型问题

备战2019中考初中数学六大题型专项突破专题三:创新画图型问题【方法指导】创新作（画）图题中的“创新”，不完全是指传统的尺规作图题,它既保留了尺规作图的严密的逻辑推理的要求，同时还需要结合几何推理，对所要作的图形进行作图原理的推究和作图方法的探索.创新画图主要涉及到的知识点有：线段的垂直平分线定理；三线合一的性质；垂径定理；圆周角定理。创新作图的解题策略是选定工具、循假求真、数形论证、变虚为实.【典例解析】类型一：找点问题【例1】（2018广西南宁）（8.00分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将厶ABC向下平移5个单位后得到AABC，请画出AABC；111111（2）将厶ABC绕原点O逆时针旋转90。后得到AABC，请画出AABC；222222（3）判断以0,A，B为顶点的三角形的形状.（无须说明理由）1【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A、B、C的坐标，然后描点即可得到111△ABC为所作；111（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A、B、C，从而得到AABC，222222（3）根据勾股定理逆定理解答即可．【解答】解：（1）如图所示，AABC即为所求：111（2）如图所示，AABC即为所求：222（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA「J6+1二'.•■T7,人』='.卫5+9二'.：阳,即0b2wa12=a1b2，所以三角形的形状为等腰直角三角形.【点评】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.类型二：画线问题【例2】（2018贵阳）（12.00分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD二巨，P是BC边上的一点，且BP=2CP.（1）用尺规在图①中作出CD边上的中点E,连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图②，在（1）的条体下，判断EB是否平分ZAEC，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，连接EP并廷长交AB的廷长线于点F，连接AP，不添加辅助线，APFB能否由都经过P点的两次变换与APAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）團（D團②E®【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的方法作图即可得出结论;先求出DE二CE=1,进而判断出△ADE竺ABCE,得出ZAED=ZBEC，再用锐角三角函数求出ZAED,即可得出结论；先判断出厶AEP^^FBP,即可得出结论.【解答】解：(1)依题意作出图形如图①所示，EB是平分ZAEC,理由：•・•四边形ABCD是矩形，AZC=ZD=90°,CD=AB=2,BC=AD^3,•点E是CD的中点，・・・DE二CE二寺CD=1,在BCE中，乂/C二ND二％",:DE=CE•••△ADE竺ABCE,AZAED=ZBEC,在RtAADE中，AD=；亏,DE=1,tanZAED二器■=i3，・・・ZAED=60°,ZBCE=ZAED=60°,ZAEB=180°-ZAED-ZBEC=60°=ZBEC,BE平分ZAEC；TBP=2CP,BC=i亏,CP二,BP二兰33在RtACEP中，tanZCEP==1,CE3・ZCEP=30°・ZBEP=30°・ZAEP=90°VCD#AB,・ZF=ZCEP=30°在RtAABP中，tanZBAP==艮,AB3・ZPAB=30°・ZEAP=30°=ZF=ZPABTCB丄AF,・・・AP=FP,/.△AEP^^FBP,•••△PFB能由都经过P点的两次变换与厶PAE组成一个等腰三角形，变换的方法为：将ARPF绕点B顺时针旋转120°和AEPA重合，①沿PF折叠,②沿AE折叠．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，图形的变换，判断出厶AEP竺△△FBP是解本题的关键.类型三：构造图形【例3】（2018东营）（10.00分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1,在厶ABC中，点O在线段BC上，ZBA0=30°,Z0AC=75°,AO=0込，BO：CO=1：3,求AB的长.经过社团成员讨论发现，过点B作BD〃AC，交AO的延长线于点D,通过构造厶ABD就可以解决问题（如图2）.请回答:ZADB二75°,AB二4竺.（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3,在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AC丄AD,AO=3'.W，ZABC=ZACB=75°,BO：OD=1：3,求DC的长.【分析】（1）根据平行线的性质可得出ZADB=ZOAC=75°，结合ZBOD=ZCOA可得出△BODs^coA,利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出ZABD=75°=ZADB,由等角对等边可得出AB二AD=4立,此题得解；(2)过点B作BE〃AD交AC于点已，同(1)可得出AE=4'.：2，在RtAAEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在RtACAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．【解答】解：(1)TBD〃AC,AZADB=ZOAC=75°.VZBOD=ZCOA，•••△BODsACOA，・二二OAOC3又"0=X3，OD二寺A0=叮3，AD二A0+0D=4•方.•・・ZBAD=30°，ZADB=75°，・・・ZABD=180°-ZBAD-ZADB=75°=ZADB，・・・AB=AD=4T^.故答案为：75；4立.(2)过点B作BE〃AD交AC于点E,如图所示.VACXAD，BE〃AD，ZDAC=ZBEA=90°.VZAOD=ZEOB，△AODs^EOB，二二••—.DOAODA•「BO：OD=1：3，•二二■•.AODA3•・・AO=3i0，EO=T3，•・AE=4Tg.VZABC=ZACB=75°，・・・ZBAC=30°,AB二AC,・・・AB=2BE.在RtAAEB中，BE2+AE2=AB2，即(4〕3)2+BE2二(2BE)2,解得：BE=4,・AB=AC=8，AD=12.在RtACAD中，AC2+AD2二CD2,即82+122二CD2,解得：CD=4「I^.【点评】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度.【真题热身】（2018湖南怀化）（12.00分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD〃BC.点E为CD边上一点，AE与BE分别为ZDAB和ZCBA的平分线.（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点0,并以AB为直径作©O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，①0交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,sinZAGF二空，求©0的半径.5（2018吉林）（7.00分）如图是由边长为1的小正方形组成的8X4网格，每

个小正方形的顶点叫做格点，点A,B,C,D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D；1第二步：点D绕点B顺时针旋转90°得到点D；12第三步：点D绕点C顺时针旋转90°回到点D．2请用圆规画出点D-D-D-D经过的路径；12所画图形是对称图形；求所画图形的周长(结果保留n).r—rlrlrl-rlr—厂—厂#迟lir—rlrlrl-rlr—厂—厂#迟li—71Ti「1「1「1_1(2018哈尔滨)(7.00分)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD(不是正方形)，且点C和点D均在小正方形的顶点上；在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2立的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE,请直接写出线段CE的长.(2018吉林)(7.00分)数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a，b，a的代数式表示旗杆AB的高度.数学活动方案活动时间：2018年4月2日活动地点：学校操场填表人：林平课题测量学校旗杆的高度活动目的运用所学数学知识及方法解决实际问题万案示意图月测量步/骤/1CS(1)用测角仪测得ZADE=a；(2)用皮尺测得BC=a米,CD=b米.计算过程（2018云南昆明）（4.00分）如图，点A在双曲线y=k（x>0）上，过点Ax作AB丄x轴，垂足为点B,分别以点O和点A为圆心，大于丄OA的长为半径作弧，2两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C,交y轴于点F（0,2），连接AC.若AC=1，则k的值为（）【参考答案】（2018湖南怀化）（12.00分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD〃BC.点E为CD边上一点，AE与BE分别为ZDAB和ZCBA的平分线.（1）请你添加一个适当的条件AD=BC，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点0,并以AB为直径作©0（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，①0交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,sinZAGF=2，求©0的半径.5DUCAB【分析】（1）添加条件AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到ZAGF=ZAEB，根据sinZAGF的值，确定出sinZAEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径.【解答】解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：・.・AD〃BC,AD=BC,・•・四边形ABCD为平行四边形；故答案为：ad=bc；(2)作出相应的图形，如图所示；TAD〃BC,・・・ZDAB+ZCBA=18O°,VAE与BE分别为ZDAB与ZCBA的平分线,・・・ZEAB+ZEBA=90°,・・・ZAEB=90°,VAB为圆0的直径，点F在圆0上，・・・ZAFB=90°,・・・ZFAG+ZFGA=90°,VAE平分ZDAB,AZFAG=ZEAB,C卫\8O・ZAGF=ZABE,•mZABE"C卫\8O・ZAGF=ZABE,•mZABE"ZAGF耆霁*AE=4,・AB=5,则圆0的半径为2.5.(2018吉林)(7.00分)如图是由边长为1的小正方形组成的8X4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A,B,C,D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D；1第二步：点D绕点B顺时针旋转90°得到点D；12第三步：点D绕点C顺时针旋转90°回到点D.2请用圆规画出点D-D-D-D经过的路径；12所画图形是轴对称对称图形；（3）求所画图形的周长（结果保留n）.r—rlrlrl-rlr—厂—厂#强1r—rlrlrl-rlr—厂—厂#强1—~T1Ti「1「1「11分析】（1）利用旋转变换的性质画出图象即可；2）根据轴对称图形的定义即可判断；3）利用弧长公式计算即可；【解答】解：（1）点D—DfDfD经过的路径如图所示:12BD2C（2）观察图象可知图象是轴对称图形，故答案为轴对称.（3）周长=4X=8n.180【点评】本题考查作图-旋转变换，弧长公式、轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形，属于中考常考题型.（2018哈尔滨）（7.00分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2立的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE,请直接写出线段CE的长.分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可2）利用数形结合的思想解决问题即可；

【解答】解：(1)如图所示，矩形ABCD即为所求;(2)如图△ABE即为所求;【点评】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型.(2018吉林)(7.00分)数学活动小组的同学为测量旗杆高度，先制定了如下测量方案，使用工具是测角仪和皮尺，请帮助组长林平完成方案内容，用含a，b，A的代数式表示旗杆AB的高度.数学活动方案活动时间：2018年4月2日活动地点：学校操场填表人：林平课题测量学校旗杆的高度活动目的运用所学数学知识及方法解决实际问题万案示意图A/]CS测量步骤(1)用测角仪测得ZADE=a；(2)用皮尺测得BC=a米,CD=b米.计算过程【分析】