安徽省淮南市第一中学2023届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2023注意事项：2B。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。11izz

z，则 的值为（ ）12A．2 B．2

22C．2 D．212iz2ai已知纯虚数z满足 ，其中i为虚数单位，则实数a等于（）A．1 B．1

C．D．2中心在原点对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x2)2y21都相切则双曲线C的离心率（ ）2 3 6 2 3 62 362 363A．2或3 B．2或3

或2

3 或23xOyC xm2ym63xOy已知在平面直角坐标系 中，圆1：

2 C x2y2与圆2：

1交于A，B两OAOB点，若

，则实数m的值为（ ）A．1

B．2

C．-1 D．-2

fxx21x ，则不等式f(e2)的解集是（ ）,2

,2

2, 3

3

(,0)

3

D． 阿基米德（公元前287年—公元前212年）“”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）A．B．16 C．3fxsinx 将函数

6 图象上每一点的横坐标变为原来的23个单位长度，得到函数6ygx ygx的图象，则函数 图象的一个对称中心为（ ） ,0

,0

,012A．

B．4

,0

D．3 若(1ax)(1x)5的展开式中x2,x3的系数之和为10，则实数a的值为（ ）A．B．C．1 D．1设实数

满足条件

则 的最大值为（ ）A．1

B．2

C．3 D．4x2a2

y24

1的离心率为3，则双曲线的焦距为（ ）A．2 62 5C．6 D．8n执行如图所示的程序框图若输入

12，则输出的n的值为（ ）3A．2 B．2

5C．2 D．3则12．设集合A{x|x{x|xxAB（ ）则0A．

B．

03C．

3D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知随机变量

服从正态分布

N

2 P64 P0，若 ，则 .棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥EBCD的底面重合若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球球面上，则正三棱锥EBCD的内切球半径.西周初数学家商高在公元前1000.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率．已知复数z＝﹣2z＝a+2（其中i是虚数单位∈，若2是纯虚数，则a的值 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）阳马鳖臑在如图所示的阳马PABCD中，底面ABCD.PAABCD，PAAD2，AB 2，以AC的中点OAC为直径的球面交PD于（异于点D，交PC于（异于点C）.证明：AM平面PCD，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论不是，请说明理由；求直线ONACM.18（12分）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成1.OABCBCAO180°2.已知圆

的半径为

10cm

BAO,02，圆锥的侧面积为Scm2.求S关于的函数关系式；ABS SAB为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰 的长.19（12分）择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户10050150合计140602005个国家综合试点地区采用的抽样方法；根据列联表判断是否有90%”；3家作为普查对象，入户登记顺利XXX的期望值．n(adbc)2k2附：

(ab)(cd)(ac)(bd)PPK2k00.100.0100.001k02.7066.63510.82820（12分）设aR

f(x)x2e1x3

a(x1).( ,2)当a1时，求f(x)在4 内的极值；1设函数g(x)f(xa(x1x)，当g(x)x1

,x(x2

x2)时，总有x

g(x1

)f(x1

)，求实数2的值.2

bcos,sin

0xOy

,sin

4

4acos21（acos

中已知向量 ，

其中 2.baacc1,1bca 若

，且 ，求a

的值.S

T a

1 a S

a

1522（10分已知等差数列

n n项和为

n等比数列n 的前n项和

n且1 1 ，5

3，4 4 . 求数列n 与S T

的通项公式；求数列

n nn n项和.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模.【详解】122 21 22211i122 21 222因为z 1i 1i2故选：C【点睛】

2，所以2、B【解析】先根据复数的除法表示出z，然后根据z是纯虚数求解出对应的a的值即可.【详解】2ai ai 22aa2iz2因为

z，所以

1

5，z是纯虚数，所以22a0，所以a1.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数zabi为纯虚数，则有a0,b0.3、A【解析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．【详解】设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得：

2kk21

k333，得双曲线的一条渐近线的方程为

y33∴焦点在、y轴上两种情况讨论：3323b＝3，ec＝ 2 3；323①当焦点在x

a 3 a 3 33233a＝3，ec＝ 3233②当焦点在y

b 3 a2 3∴求得双曲线的离心率2或3 故选2 3【点睛】的关键是：由圆的切线求得直线的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．4、D【解析】OAOB由 可得在AB的中垂线上，结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上，从而可.【详解】OAOB因为

OABO

O0,0 C，

m6 C，2

1,2三点共线，所以【点睛】

m6m

，得m，故选D.5、B【解析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】x21 1 1f(x) x f(x)1函数 x x，可得 x2，x()时，f(x0，f(x)单调递增，∵xx10，故不等式

f)f(e2的解集等价于不等式

e2的解集．1x2x1．2x2∴ 3．【点睛】6、C【解析】设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为SR2RR3，再.【详解】设球的半径为R，根据题意圆柱的表面积为SRR3，

R，V所以该球的体积为故选：C

R3 4 3 3 .4 【点睛】7D【解析】ygx根据函数图象的变换规律可得到 解析式，然后将四个选项代入逐一判断即.【详解】fxsinx sin1x 6 2 6解： 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍得到 gxsin1x+2 3 6再将图像向左平移3个单位长度，得到函数

的图象gxsin1x

g

02 3 3故选：D【点睛】

， 8、B【解析】由(1ax)(1x)5

(1x)5ax(1x)5，进而分别求出展开式中x2的系数及展开式中x3的系数，令二者之和等于10，可求出实数a的值.【详解】由(1ax)(1x)5

(1x)5ax(1x)5，x2

C25

1105

x3

C3aC5

21010a，二者的系数之和为(105a10)15a2010，得a.故选：B.【点睛】9、C【解析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即 ，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当 时，且 时， 有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.10、A【解析】依题意可得b24，再根据离心率求出a2，即可求出c，从而得解；【详解】x2a2

y24

1的离心率为3，4e21 3所以故选：A【点睛】

a2 ，∴a22，∴c 6，双曲线的焦距为2 6.本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.11、C【解析】由程序语言依次计算，直到ab时输出即可【详解】程序的运行过程为1 3 5n 1 22 2 2n=2故选：C【点睛】

a52232112bln120ln32ln2ln52a52232112bln120ln32ln2ln522时，2 2，此时输出 2.本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题12、C【解析】直接求交集得到答案.【详解】A{x|x3}，B{x|x0或x2}集合 ，

AB03.C.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.4【解析】因为随机变量ζ服从正态分布N3，2,利用正态曲线的对称性，即得解.【详解】因为随机变量ζ服从正态分布N3，2x3所P0)P6)4.【点睛】题.3 23 2 614、 12【解析】由棱长为a的正四面体ABCD 求出外接球的半径，进而求出正三棱锥 EBCD的高及侧棱长，可得正三棱锥V1SEBCD的三条侧棱两两相互垂直，进而求出体积与表面积，设内切圆的半径，由等体积 3

表面积

，求出内切圆的半径．【详解】由题意可知：多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD 的外接作AE⊥面BCD交于F，连接CF，如图CF

2 3a 3a则 3 2 3 ，且AE为外接球的直径，可得AF AC2CF2 a2

3a)2 6a3 3 ，BC a2r sin60BCD的外接圆的半径为r，则

r a2 ，解得 3，RR2

r2AFR)2可得2AFRr2AF2，2

Ra2

6a2

R 6a即 3 3 9 ，解得 4 ，的高为，设正三棱锥EBCD h的高为，AE2R 6a hEF2RAF( 6 6)a 6a因为 2 ，所以 2 3 6 ，BECEDE EF2CF2所以

1a1a 2a6 3 2 ，BDBCCDa，所以正三棱锥EBCD的三条侧棱两两相互垂直，3 1 2 3 3(S

S

[ 3 ( )2]a2 a2所以EBCD

表面积

BCD

BDE

4 2 2 4 ，R，

VE

13

BCD

EF1(S3

E

)

R，即3 23 2 6故答案为： 12 .【点睛】

a1 3a21 3a23 466a13 3a234RR解得：3 2 6.115、55【解析】由组合数结合古典概型求解即可【详解】113

C311种不同的方法，其中能构成勾股数的有共

,6,8,10,

三种，所以，P 3 C3所求概率为 11

155.1故答案为55【点睛】本题考查古典概型与数学文化，考查组合问题，数据处理能力和应用意识.16、-1【解析】由题意

zz1

a4(22a)i

a4022a，令

即可得解.【详解】∵z1＝1﹣2i，z2＝a+2i，zz∴1

(12i)(a2i)a4(22a)i，a4022a0z1z2【点睛】

，解得：a＝﹣1．本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。617（）证明见解析，是，AMC，AMD，ADC，MDC（2）5【解析】ACAMMCPAABCD，得到CDPA，再由线面垂直的判定定理得到CD平面PADCDAM，再利用线面垂直的判定定理得到AM平面PCD.CNCP2,2,2以A为原点，AB，AD，AP所在直线为轴建立直角坐标系，设 ，由ANCN，解得，得到CN ，从而得到ONOCCN，然后求得平面ACM的一个法向量，代入公式sin ONnONn【详解】

求解.ACAMMCPAABCD，CDPACDAD.CDPAD，∴CDAM，∴AM平面PCD.根据证明可知，四面体MCDA 是鳖臑它的每个面的直角分别是，∠AMDADCMDC.如图，以AABADAP所在直线为轴建立直角坐标系，B 2,0,0

C 2,2,0

D0,2,0 P

2O2

,1,0 M0,1,1

. .M为PD .CP 2,2,2

CNCP2,2,2 所以 ，设 ， ANACCN 2 2,22,2则 .ANCN，ANCN 22 2224210260得 .3 CN

2,6,6由0得

5，即

55ONOCONOCCN102

55.所以设平面

ACM

的一个法向量为

, ,nx,nx,y,z5. AMnyz0由ACn 2x2y0. 2x2

y1z1，得到n

2,1,1.记ON与平面AMC所成角为，22sin ONnONnONn21016100 25 251365 521162则 .66所以直线ON与平面AMC所成的角的正弦值为5 .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.18（1）S400sincos2【解析】

(0) cm2062 （2）侧面积SAB的长度为3206(0)1）由条件，ABBDsin，所以S400sincos2，

2 （2） 3S400sincos2sinsin3，x 3

fxxx3

fx x 3试题解析：1BBCD，过1

令 ，所以得1作OEAB，垂足为E，1

，通过求导分析，得 在在AOE中，AE10co，AB2AE20co，在ABDBDABsinsin，(0)所以S400sincos2， 2 要使侧面积最大，由 S400sincos2400sinsin3令xsin

fxxx3，33fx13x20 x33由 得： 3 3 0,3

fx0

x

,1

fx0当 时， ，当

时， 3 3 fx

0,

3

3,1所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，3fx x所以 在

3时取得极大值，也是最大值；所以当

sin

33 时，侧面积S取得最大值，此时等腰三角形的腰长

33AB20cos201sin2201 3

20 6320 6cm20 6答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为 3 ．19（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可）（2）有（3）EX2【解析】..XX.【详解】分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可．将列联表中的数据代入公式计算得n(adbc)2 200(405010010)2k2 3.175(ab)(cd)(ac)(bd) 1406050150所以有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．21家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为3X0，1，2，3X的分布列为：X0123P1272949827EX0123P12729498273【点睛】本题考查了运用数学模型解答实际生活问题，运用合理的抽样方法，计算k2. 2e20（）极大值是f(1)1，无极小值（2） e1【解析】当a1

f(x)(2xx2)ex1ex1

，令h(x)(2xx2)ex1，利用导数可判断h(x)的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；1g(x)g(x)(x22xa)e1xx22xa0有两个不同的实根x1

，x(x，2

x)，2，xx 2

xx

x1

xg(x)

x[2e1x

1)]0从而可得△44a0及1 2

，由1 2，得1

．则2 1

可化为1 1 1

对任意f(xf(x)1的1

恒成立，按照x

0 x1、1

(0,1)、

x(,0)1

三种情况分类讨论，分离参数

后转化为求函数的最值可解决；【详解】当a1

f(x)(2xx2)ex1ex1 .( ,( ,令h(x)2xx2ex1，则h(x)22xex1，显然h(x)在上4 单调递减，3 1 1 3 3h( ) 4e4e

0 x( ,2)4

h(x)0

h(x)

( ,2)4又因为 ，故 时，总有

，所以 在

上单调递减.由于h(1)0

，所以当

x( ,1)34 3

h(x)0；当

x

时，h(x)0.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：xx(3,1)41(1,2)f(x)+-f(x)增极大减所以f(x)

3( ,在4

上的极大值是

f(1)1

，无极小值.

g(x)(x2a)e1xg(x)(x22xa)e1x.x22xa0有两个不等实根xx，则1 2x22xa0x244a0a1，且

1 12x2 xx

a2

1x，所以x1.12由xg(x2

)f(x)

1 21， f(x)(2xx2x1，

121x(x221

2a)e1

111[(211

1x21

)e1

a]11

2x1

,ax21

2x1.将其代入上式得：

2x(2x1

)e1

[(2x111

x21

)e1

(2x111

x2)]1 .x[2e1x(e1x1)]0 x[2e1x(e1x1)]0,

(,1)整理得1 1 1 ，即1 1 1 1x0 x[2e1x(e1

1)]0当1 时，不等式1 1 1

恒成立，即R.1 x1

k(x)

2e1x1111ex(0,1)11e当1

1)0

恒成立，即

1x1

1，令

1xe1e

1，易证

k(x)

是R上的减函数.因k(x)k(0) 2e

2ex(0,1)时，

e1，故 e1.x(,0)

1e e 111

e1x2 12当1 时，

1x1

(1x

1) 0恒成立，即

1，k(x)k(0) 2e

2e因此，当x(,0)时，

e1所以 e1.综上所述，【点睛】

2ee1.析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高．21 221（1）2 （2） 12.ab【解析】ab（1）根据解得.【详解】

aaaba

，由向量

，的坐标直接计算即得（2）先求出bc，再根据向量平行的坐标关系4 bcos,sin4 acos,sinaaaba2

4 ，4则

coscos4sinsin4

cos2sin2 2cos1 12 4 2 .bccos1,sin1c

4