考点02动态几何形成的最值问题（高频考点解析）（原卷版）

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点

探究儿何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运

动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、

面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，

有函数关系和图象问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把

动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计

的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射

动态几何形成的最值问题是动态几何中的常见问题，其考点包括（1）应用两点间线段最短的公理（含

应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）

应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值等类型。

在中考中，动态几何形成的最值问题命题形式选择题、填空题和解答题都有体现。

一.应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值问题

例1

真题显示：（2013年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,1）,B（1,2）,点P

在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是▲.

思路点拨：由三角形两边之差小于第三边可知，当A、B、P三点不共线时，由三角形三边关系|PA

-PB|<AB；当A、B、P三点共线时，因为A（0,1）,B（1,2）两点都在x轴同侧，所以|PA-PB|=AB。

从而|PA-PB|WAB。因此，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上。从而应用待

定系数法求出直线AB的解析式即可得出直线AB与x轴的交点，即为所求。

满分答题：山三角形两边之差小于第三边可知，

当A、B、P三点不共线时，由三角形三边关系|PA-PB|VAB；

当A、B、P三点共线时，VA（0,1）,B（1,2）两点都在x轴同侧，...|PA-PB|=AB。

A|PA-PB|<AB»

.♦•本题中当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上。

设直线AB的解析式为y=kx+b,

fk+b=2fk=l

VA（0,1）,B（」，2）,：.\，解得《o

[b=1[b=1

，直线AB的解析式为y=x+lo

令y=0,得0=x+l,解得x=-l。

・••点P的坐标是（-1,0）o

考点分析：在单动点问题，由三角形三边关系，根据直线上点的坐标与方程的关系，应用待定系数

话求解。

拓展延伸：

【题文】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0),B(2,1),点P在y轴上运动，当点P到A、

B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是▲.

二.应用垂线段最短的性质求最值问题

例2

真题显示：(2013年湖北咸宁3分)如图，在RQAOB中，OA=OB=3应，。。的半径为1,点P

是AB边上的动点，过点P作。O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PO的最小值为▲

思路点拨：由于PQ是。O的一条切线，故它垂直于过切点的半径，所以在RtZXOPQ中，由于OQ

一定，要使PQ的最小，根据勾股定理只要OP最小即可，由垂直线段最短的性质于，结合等腰直角三角形

的性质即可求解。

满分答题：如图，连接OP、OQ,

•；PQ是。0的切线，,OQ_LPQ。

根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ?,

.,.当PO_LAB时，线段PQ最短。此时，

T在RtAAOB中，OA=OB=372,/.AB=叵OA=6。

锦元数学工作室绘制

.*.OP=-AB=3«

2

PQ=7OP2-OQ2=V32-l2=2V2。

考点分析：在单动点问题中，根据垂直线段最短的性质，等腰直角三角形的性质和切线的性质，应

用勾取审理求解。

拓展延伸：

【题文】如图，在RtZXAOB中，OB=2,OA=2G,。。的半径为1,点P是AB边上的动点，过点P

作。0的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线P0的最小值为▲

例3

真题显示：(2013年江苏无锡2分)已知点D与点A(8,0),B(0,6),C(a,-a)是一平行四

边形的四个顶点，则CD长的最小值为▲.

.思路点拨：分CD是平行四边形的一条边和CD是平行四边形的一条对角线两种情况求解.

满分答题:如图，■/0A=8,0B=6.,.AB=iO.

分两种情况：

①CD是平行四边形的一条边，那么有CD=AB=10.

②CD是平行四边形的一条对角线，

根据平行四边形对角线互相平分的性质，CD必过AB的中点P.

由A(8,0),B(0,6)易得P(4,3).

C(a)—a),...点C在直线y=-x上.

如图，过点P作PH_L直线y=-x于点H,则根据点到直线的连线中垂直线段最短的性质,

PC=PH时最短，此时CD=2PH最小.

过B、A分别作直线尸一x的垂线AE,BF,则AAOE和ABOF都是等腰直角三角形。

,根据勾股定理，得AE=4应，BF=3近。

,根据梯形中位线定理，得PC=PH=^。，CD=2PH=7也。

2

V10=VH)0<A/98=7V2,

，CD长的最小值为7立。

锦元数学工作室绘制

考点分析：根据分类思想，应用平行四边形的性质，垂直线段的性质，等腰直角三角形的判定和性

质，梯形中位线定理，勾股定理，实数的大小比较求解。

拓展延伸：改变已知条件，可使问题得到变形，如：

【题文】已知平行四边形ABCD中，点A(0,6),C(10,0),点B在直线y=-x-2上，则BD长

的最小侑为▲.

三.应用轴对称的性质求最值问题

例4

真题显示：(2013年湖北鄂州3分)如图，已知直线2〃忆且a与b之间的距离为4,点A到直线a

的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB=2廊.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,,满足

MN_La且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=【]

A.6B.8C.10D.12

思路点拨：MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可。

满分答题：如图，作点A关于直线a的对称点A1连接AB交直线b与点N,过点N作NM,直线

a,连接AM,

VA到直线a的距离为2,a与b之间的距离为4,

，AA，=MN=4..,.四边形AAT4M是平行四边舷

/.AM+NB=AN+NB=A,B.

由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小.

过点B作BE_LAA1交AA于点E,

易得AE=2+4+3=9,AB=2回，AE=2+3=5,

在RtZiAEB中，BE：=AB=AE：=(2回,-9:39,

在RtAA'EB中，AfB=JAE'+BE，=J5：+39=8.

锦元数学工作室绘制

故选B.

考点分析：应用轴对称解决最短线路问题，同时应用平行线之间的距离，平行四边形的判定和性质,

勾股定理求解。

拓展延伸：

【题文】如图，已知直线a〃b〃c,且a与b之间的距离为3,且b与c之间的距离为1,点A到直线

a的距离为2,点B到直线c的距离为3,AB=2而.试在直线a上找一点M,在直线c上找一点N,满足

MN±a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=[

A.12B.10C.8D.6

例5

真题显示：（2013年江苏苏州3分）如图，在平面直角坐标系中，RtZXOAB的顶点A在x轴的正半

轴上，顶点B的坐标为（3,百），点C的坐＞标为（!，0）,点P为斜边0B上的一动点，则PA+PC的

2

最小值为【

A.叵

B.

2

思路点拨根据轴对称的知识,要求PA+PC的最小值,只要作点C关于0B的对称点C,交0B于点

D,AC，与0B的交点P即为所求。根据已知和锐角三角函数定义和勾股定理即可求得PA+PC的最小值。

满分答题：如图，作点C关于0B的对称点C，，交0B于点D,连接AC交0B于点P,根据轴对称

的知识可知，此时AC，=PA+PC最小。

过点C彳乍CHLx轴于点H,

•.•点B的坐标为（3,6）,

反

二tanZAOB=—^ZAOB=30°。

3

•.•点C的坐标为（』，0）,

2

AOC=-,CD=OCsinZAOB=-»

24

.,.CC,=2CD=-,,

2锦元数学工作室绘制

又：ZCCH=ZAOB=30%

行1

・・・HCr=CC-cosZCCH=—,HC=CC',sinNCCH=-

44

.OH-1--沁

・・\jn-----------——93

244

在RtAACH中，根据勾股定理，得:

APA+PC的最小值为叵。

2

故选B。

考点分析：在单动点问题中，对最短线段问题应用轴对称的性质，辅以锐角三角函数定义，特殊角

的三角函数值，勾股定理求解。

拓展延伸：

【题文】如图，在平面直角坐标系中，RtAOAB的顶点A在x轴的正半轴匕顶点B的坐标为(4,4),

点C的坐标为(1,0),点P为斜边0B上的一动点，则PA+PC的最小值为▲,此时点P的坐标

为▲。

四.应用二次函数求最值问题

例6

真题显示：(2013年新疆乌鲁木齐4分)已知m,n,k为非负实数，且m-k+l=2k+n=l,则代数式

2k2-8k+6的最小值为[]

A、-2B、0C、2D、2.5

思路点拨：根据非负实数的性质求出gkwg,对代数式2k2-8k+6应用配方法化为a(x-k)2+h的

形式，从而根据二次函数的增减性质求解。

满分答题：•••《1,n,k为非负实数，且m-k+l=2k+n=l,

.'.m,n,k最小为当n=0时，k最大为

2

2

又2k2-8k+6=2(k-2)2-2,

'.•a=2>0,

二纪2时，代数式2k2-8k+6的值随x的噌大而减小.

「•k=L时，代数式2k2-8k+6的最小值为：2x(L)2-8x1+6=25

222

故选D.

考点分析：应用非负实数的性质和二次函数的性质求解。

拓展延伸：

【题文】已知m,n,k为非负实数，且m-k+l=k+n=l,则代数式-21?+8k+6的最大值为▲,最

小值为▲o

例7

真题显示：（2013年重庆市A12分）如图，对称轴为直线x=-l的抛物线丫=2*2+5*+（:白工0）与*

轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3,0）。

（1）求点B的坐标；

（2）已知a=l,C为抛物线与y轴的交点。

①若点P在抛物线上，且“pocM4SABOC，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QDJ_x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值。

思路点拨：（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标。

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到“BOC，设出点

P的坐标，根据S"oc=4SiB0C.列式求解即可求得点P的坐标。

②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为（q,-q-3）,

从而由QD_Lx轴交抛物线于点D,得点D的坐标为（q,q2+2q-3）,从而线段QD等于两点纵坐标之差,

列出函数关系式应用二次函数最值原理求解。

满分答题：（1）*：A、B两点关于对称轴x=-l对称，且A点的坐标为（-3,0）,

.♦.点B的坐标为（1,0）。

（2）①•.•抛物线a=l,对称轴为x=-l,经过点A（—3,0）,

a=1

a=1

-J，解得b=2o

2a

c=-3

9a2-3b+c=0

・•・抛物线的解析式为y=x2+2x-3o

，B点的坐标为(0,-3)。

AOB=1,OC=3o

.Q_11,3

••'ARAT、—x[x3—o

ABOC22

i3

设点P的坐标为(p,p2+2p-3),则，咏=-x3x|p|=5|p|。

••Q-4Q

*°APOC—FDABOC'

/.—|p|=6,解得p=±2o

当p=2时，p2+2p-3=5；当p=-2时，p?+2p-3=—3,

.,.点P的坐标为(2,5)或(-2,—3)。

②设直线AC的解析式为y=kx+b,：将点A,C的坐标代入，得:

b3k+b=0Jk=-1

(，解得：〈。

[b=-3[b=-3

直线AC的解析式为y=-x-3。

•点Q在线段AC上，

.,.设点Q的坐标为(q,-q-3)。

XVQDlx轴交抛物线于点D,

二点D的坐标为(q,q?+2q-3)。

9

；♦QD=_q-3-(q-+2q-3)=-q~-3q=-(q+|H---o

4

3

Va=-l<0,-3<——<0,

2

9