高数(海南大学)

高数(海南大学)复习课

机动

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一、空间解析几何内容小结1.空间直线与平面的方程

空间平面一般式

点法式截距式

xyz1abcxx1x2x1x3x1yy1y2y1y3y1

点:(x0,y0,z0)法向量:n(A,B,C)zz1z2z10z3z1机动名目上页下页返回结束

三点式

空间直线

A1xB1yC1zD10一般式A2xB2yC2zD20对称式

xx0mt参数式yy0ntzz0pt(x0,y0,z0)为直线上一点;

s(m,n,p)为直线的方向向量.机动名目上页下页返回结束

2.线面之间的相互关系面与面的关系平面

平面2:A2xB2yC2zD20,n2(A2,B2,C2)垂直:平行:n1n20

n1n2夹角公式:cosθn1n2

A1A2B1B2C1C20A1B1C1A2B2C2

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线与线的关系

直线L1:xx1yy1zz1,s(m,n,p)1111m1n1p1xx2yy2zz2,s2(m2,n2,p2)直线L2:m2n2p2垂直:平行:s1s20

s1s2夹角公式:coss1s2

m1m2n1n2p1p20m1n1p1m2n2p2

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面与线间的关系平面:AxByCzD0,n(A,B,C)

xxyyzz直线:,s(m,n,p)mnpmnp垂直：sn0ABC平行：sn0sn夹角公式：sinsn机动名目上页下页返回结束

例1.求直线

与平面

的交点.提示:化直线方程为参数方程

t

代入平面方程得t1从而确定交点为(1,2,2).机动名目上页下页返回结束

二、多元函数微分学1.多元函数的定义、极限、连续、偏导数、全微分2.几个基本概念的关系连续性偏导数存在可微性

方向导数存在

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2、多元函数微分法(1)分析复合结构显示结构隐式结构(画变量关系图)

(2)正确使用求导法则，如

zzvzvzyvyvxx―分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”留意正确使用求导符号(3)一阶微分形式不变性(4)隐函数求导法(一个方程情形；两个方程情形)机动名目上页下页返回结束

例2.uf(x,y,z)e

x2y2z2

uf解:xx2xex2y2z2

uu,zxsiny,求,xy2

2ze2

x2y2z2

2xsiny

uxyz

2x(12xsiny)e2

x2y2x4sin2y

uffzyyzy

xyx2y2x4sin2y

y

2ye

x2y2z2

2ze

x2

y2z2x2cos

2(yxsinycosy)e4

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例3.设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程解利用偏导数公式.

确定的隐函数,则

zF1FxzyxF1yF2F1(x2)F2(2)xFzzz

F11z

FyzF21zyFzF(x)F(y)1222zz

zF2xF1yF2

故

Fxzzzz(F1dxF2dy)dzdxdyxF1yF2xxyFz机动名目上页下页返回结束

3、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求函数的方向导数和梯度ffffcoscoscoslxyz求曲线的切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)2.极值与最值问题

极值的必要条件与充分条件求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题机动名目上页下页返回结束

例4求grad解

xy2xf2y由于f,,222222(xy)x(xy)y2x12y2所以grad2.22i2222j(xy)xy(xy)例5设f(x,y,z)x3-xy2-z,求gradf(1,1,0).解gradf(fx,fy,fz)(3x2-y2,-2xy,-1),2

1.x2y21这里f(x,y)2

.

于是gradf(1,1,0)(2,2,-1).函数在此点沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值为3.

函数在此点沿方向(-2,2,1)削减率最大,其值为-3.机动名目上页下页返回结束

例6.求椭球面x22y23z236在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:令法向量

n(2x,4y,6z)n(1,2,3)

(2,8,18)

所以椭球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程

2(x1)8(y2)18(z3)0x1y2z3419机动名目上页下页返回结束

三.二重积分1.二重积分化为累次积分的方法

y

yy2(x)

Dyy1(x)abx

直角坐标系情形:若积分区域为

则

Df(x,y)dadxy(x)1

b

y2(x)

f(x,y)dy

若积分区域为则

yxx2(y)d

Dc

Df(x,y)dcdyx(y)1

d

x2(y)

f(x,y)dx机动名目

xx1(y)x上页下页返回结束

2.极坐标系情形:若积分区域为⑴则

Df(x,y)dDf(rcos,rsin)rdrdDr2()

⑵

0r()D:02

则

o

r1()

D

f(x,y)dDf(rcos,rsin)rdrd20

r()D

d

()

0

f(rcos,rsin)rdr机动名目

o

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结

束

sinx例7.计算dxdy,其中D是直线Dx所围成的闭区域.yyx解:由被积函数可知,先对x积分不行,Dx因此取D为X–型域:xo0yx对y积分是常量D:0xsinxxsinxdxdydxdyDx0x0

sinxdx0

2

说明:有些二次积分为了积分便利,还需交换积分挨次.机动名目上页下页返回结束

四.三重积分的计算方法1.直角坐标情形:方法1.“先一后二”(投影法)

z

dxdyD

z2(x,y)z1(x,y)

f(x,y,z)dz

方法2.“先二后一”(截面法)

z

x

Ddxdy

y

dza

b

DZ

f(x,y,z)dxdyy2(x)

z

Dz

方法3.“三次积分”

dxa

b

y1(x)

dy

z2(x,y)

z1(x,y)机动

xf(x,y,z)dz名目上页下页返回

y

结束

2.不同坐标系的三重积分坐标系体积元素适用状况积分区域多由坐标面围成;被积函数形式简洁,或

直角坐标系柱面坐标系

dxdydz

dddz

球面坐标系r2sindrdd变量可分别.其中F(,,z)f(cos,sin,z)

f(x,y,z)dxdydz

dddz

其中F(r,,)f(rsincos,rsinsin,rcos)机动名目上页下页返回结束

f(x,y,z)dxdydzF(r,,)r2sindrdd

3.重积分的应用1.几何方面面积(平面图形面积或曲面面积),体积,形心等其中曲面:z=f(x,y),(x,y)∈D的面积公式为z2z2A1()()dxdyDxy形心坐标：xdxdydzx,V2.物理方面质量,转动惯量,质心,引力机动名目上页下页返回结束

例8.计算三重积分

其中为由

柱面x2y22x及平面z0,za(a0),y0所围

成半圆柱体.