第十章二重积分第三节三重一

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第三节三重积分(一)一、三重积分的概念二、利用直角坐标计算三重积分一、三重积分的定义举例：空间立体的质量计算：设有一空间立体，其体密度为f(x,y,z)，求其质量M（1）将任意分成n

个小区域直径记为：质量记为：（2）在每个小区域上任取一点（3）取极限，记定义：设f(x,y,z)为有界闭区域上的有界函数（1）将任意分成n

个小区域直径记为：（2）在每个小区域上任取一点作乘积并作和（3）记若极限存在，且与的分法及点的取法无关，则称此极限为f(x,y,

在闭区域上的三重积分，记为

几点说明：（1）三重积分中各符号的含义及名称与二重积分的情形相似。所以（3）当f(x,y,z)在上连续时，三重积分一定存在

（4）三重积分与二重积分具有完全类似的性质。（5）若f(x,y,z)是上的体密度函数，则二、利用直角坐标计算三重积分如图，将三重积分化为一个定积分和一个二重积分来计算积分次序是先定积分，后二重积分（3）进一步，若是X型区域则将三重积分化为三次积分次序：先对

z,再对

y，最后对x（3）

若是X型区域则将三重积分化为三次积分次序：先对

z,再对

x，最后对y（4）

若是Y型区域（5）若是前后结构而后者又可进一步化为三次积分。对于为左右结构情形同理。即若用平行于x

轴的直线穿过，与其边界曲面的交点至多有两个，亦可将投影到yoz面上。

解如图，过程：先定积分，再二重积分，并将二重积分化为累次积分。有时上述过程也可反过来：先二重积分，再定积分其步骤如下：（1）将投影到某个坐标轴上，如z

轴，得一投影区间（1）将投影到某个坐标轴上，如z

轴，得一投影区间（3）先将z

看作常数，对

f(x,y,z

)在作二重积分（4）再将F(z)在作定积分上述方法称为截面法，在下面两种情形下，比较适合用此方法。（1）被积函数是一个一元函数，比较容易。（2）截面的形状比较简单或计算二重积分解：被积函数为z

的一元函数在z

轴上的投影区间为解：被积函数为z

的一元函数解：被积函数为z

的一元函数原式

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