《函数奇偶性》文字素材2(人教B版必修1)

函数的奇偶性一、奇函数、偶函数的定义：1．偶函数：假如函数f(x)的定义域I对于原点对称（即）xI，则xI）且在定义域I内随意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。比如：函数yx2，在yx2的图象上任取一点(a,b)，则关y于轴对称的点(a,b)，一定在yx2的图象上，即f(x)f(x)，所以函数yx2是偶函数。在如y|x|,y2x44x2，f(x)2x23等等。典例1已知f(x)ax2bx3ab为偶函数，其定义域为[a1,2a]，求f(x)的值域。[剖析]观察偶函数的两大条件：定义域知对于原点对称和f(x)f(x)。[分析]f(x)ax2bx3ab为偶函数，其定义域[a1,2a]应对于原点对称，即1a3故f(x)1x21，x[2,2]，其值域为[1,31]。333272.奇函数：一般地，假如函数f(x)的定义域I对于原点对称（即）xI，则xI）且在定义域I内随意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。比如：函数yx3，在yx3的图象上任取一点(a,b)，则关y于轴对称的点(a,b)，一定在yx3的图象上，即f(x)f(x)，所以函数yx3是奇函数。在如y|x|,y2x34x，f(x)2x9等等。典例2若对于一确实数x、y都有f(xy)f(x)f(y)，（1）求f(0)并证明f(x)为奇函数。（2）若f(1)8，求f(n)(nN*)。[分析]（1）令xy0，则f(0)2f(0)，则f(0)0；令xy，则f(0)f(x)f(x)0yf(x)为奇函数。（2）yf(x)为奇函数，f(n)f(n)，对于f(n)f(n11)f(n1)f(1)nf(1)8nf(n)8n3.奇偶性：假如函数f(x)是奇函数或偶函数，就说函数f(x)拥有奇偶性。二、奇函数、偶函数的图象特点：奇函数的图象对于原点对称；反过来，假如一个函数的图象对于原点对称，那么这个函数是奇函数。2.偶函数的图象对于y轴对称；反过来，假如一个函数的图象对于y轴对称，那么这个函数是偶函数。三、奇函数与偶函数的联系：1.奇函数在其对称区间上拥有同样的单一性（即奇函数f(x)在[a,b]上的单一性与它在[b,a]上的单一性同样）。2.偶函数在其对称区间上拥有相反的单一性（即奇函数f(x)在[a,b]上的单一性与它在[b,a]上的单一性相反）。典例3已知函数yf(x)在R上是奇函数，并且在(0,)是增函数，证明：yf(x)在(,0)上也是增函数。典例4以下左图，已知偶函数yf(x)在y轴右侧的一部分图象，依据偶函数性质，画出它在y轴左侧的图象。典例5以下右图，已知偶函数yf(x)在y轴右侧的一部分图象，依据奇函数性质，画出它在y轴左侧的图象。四、奇偶性的判断方法：1.定义法（只需掌握两点：①定义域在数轴上关于原点对称；②f(x)或fxf(x)f(x)）注意：在判断函数能否拥有奇偶性时，有时需将函数分析式进行等价化简；有时也用典例6判断以下函数能否拥有单一性。（1）f(x)x32x（2）f(x)2x43x2（3）f(x)x3x2思虑：（3）（4）既不是奇函数又是偶函数，为什（4）f(x)x2x5么？2.图象法：如二次函数yax2bxc成为偶函数，一定要使对称轴xb0，即2ab0；若二次函数yax2bxc成为奇函数，一定要使ac0；当b0时，二次函数是非奇非偶函数。注意：①若f(x)是偶函数，则f(x)f(|x|)。反之亦真。②若f(x)是奇函数，且0定义域I，则f(0)0。③若f(x)0且f(x)的定义域对于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数。练习：以下函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶函数？（1）f(x)5x3（2）（3）f(x)x21（4）（5）f(x)x2x4（6）

f(x)5xf(x)x22x1f(x)x3x规律方法小结奇偶函数的定义是判断奇偶性的主要依照。记着奇偶函数的以下五个性质，有益于解题。1）两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；2）两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数；3）一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数；4）奇函数对于原点对称，并且在其两个对称区间上拥有同样的单一性5）偶函数对于y轴对称，并且在其两个对称区间上拥有相反的单一性函数的奇偶性是对整个定义域而言的，所以议论函数的奇偶性第一在看其定义域：“函数的定义域对于原点对称”是经拥有奇偶性的必需不充分条件。4.要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶怀，要充