隐函数及参数方程确定的导数

第2.4.3节隐函数及参数方程 一、隐函数的导定义由方F(xy0所确定的函数称为隐函数yy(x形式的函数称为显函数Fx,y)0 yfx) 问题隐函数不易显化或不能显化如何求导?用复合函数求导法则直接对方程两边PreviousNext例x

2xyy

2x确定的隐函数24处的导y(2).方程两边x求导

复合函数求yy(2x2(yxy)2yy解 y1xxx2y=4(2,4)

PreviousNext例对于由方yxsiny10确定的函数ddx解方程两边x求导，

复合函数求yy(y(sinyxcosyy)0解dy sindx 1xcosPreviousNextd例y=y(x)由方程x yx(x0,y0)确定，求dyd解. xyyx

eylnxexln

(指数转化方程两边对x求导eylnx(ylnx)exlny(xlnxy(ylnxy)yx(lnyx 解 dy(yxlny)y (xylnx)PreviousNext二、对数求导(x x

sin观察函y

(x4)2e

y 方 对数求导先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导适用范多个函数相乘、相除或幂指函数ux)vx)的情形PreviousNext(x

利用ln|x|3x例 (x4)3x

求y 解等式两边取绝对值，再取对ln|y|ln|x1|1ln|x1|2ln|x4|3 y

x 3(x xy

(x1) x

(x4)2

x

x

PreviousNext1例求y e

sinx，求y1e1e sin1e1xsin2(为解y

值111exx111exx2sin4 e2xx4sin8 加将以上方程两边取对数，有 lny

1lnx1lnsin )2 )

PreviousNextlny

1lnx1lnsiny

1

2 cos 2 4

8sin1e sin1e siny

cotx4 2x2 注对数函数的运算性质(a>0,b>0)lnabblna, lnablnalnblnalnalnbPreviousNextyxsinxx0),求解等式两边取对数，得lnylnxsinxsinxln上式两边对x求导ycosxlnxsinx yy(cosxlnxsinx1xxsinx(cosxlnxsinxxPreviousNext幂指函

yux)vx)(ux0)求导方法lnyv(x)lnu(上式两边对x求导

v(x)lnu(x)v(x)u(

u(x)v(x)v(x)lnu(x)

v(x)u(x)u( PreviousNext yelnu(x)v(x)ev(x)lnu(xyev(x)lnu(x)ev(x)lnu(x)v(x)lnu(u(x)v(x)v(x)lnu(x)v(x)u(x)牵涉到幂指函数加减yu(x)v(x)w(第二种方法更方便PreviousNextyxx(lnx)xx0),求x解yeln

eln(lnx

exlnxexln(lnxyexlnx(xlnx)exln(lnx)xln(lnxx(lnx1)(lnx)xln(lnx)x

1xx(lnx1)(lnx)xln(lnx)

ln 注lnylnxxln(lnx)x

lnxPreviousNext三、由参数方程确定的函数x(t)y(tdy确定，计dx问题未必可以消tx，y的显示关系dy如何计

dxPreviousNextx(t y( 假设 x=x(t)单调连续有反函数t (x);♣yy(t复合yy(1x xx(t),yy(t可导，且(t dydydtdy1(t

(t 别 参数方程确定

dy(t

或dy 函数的求

(t

PreviousNext例试求

xetxcost

所确定的曲yt2yyx)x0处的切线方程解当x0时，0e t

(点+斜率ydxe

dxcostxsint dy2t1

t

t

x

则切线方程

y2PreviousNext例试求xt(1t

所确定的曲teyy1在相应t0处的切线方程解当t 时，x0,y

(点+斜率dx(1t)t

dx2teyteydydy

etey e dx=

(2t1)(tey1)

t y11(xe

即y1xe

PreviousNext四、极坐标系下曲线的设曲

( (在处可导计算,)处的切线方程x()cos将曲线写成参数方程,dy

y()sin则dy ()sin(dx

按点斜式方程写出切线

Previous 例求心形线a(1cos) a0,在对应点2处的切线方程 (点+斜率解π所对应的0a2心形线的参数方程为xa(1cos) ya(1cos)dy

a[sin2(1cos)cos

a[sincos(1cos)sin