求变力做功的几种方法

.求变力做功的几种方法功的计算在中学物理中占有十分重要的地位,中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况,对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用,本文对变力做功问题进行归纳总结如下：一、等值法等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等,则可以同过计算该恒力的功,求出该变力的功.而恒力做功又可以用W=FScosa计算,从而使问题变得简单.11,h,F牛〔恒定〕,AsB点,滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β.A点运动B点过程中,绳的拉力对滑块所做的功.T,拉力FT.T不变,但其方向时刻在改变,因此该问题是变力做功的问题.但是在滑轮的质量以与滑轮与绳间的摩擦不计的情况下,人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功.而拉力F的大小和方向都不变,所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算.由图可知,在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,F的作用点的位移大小为：二、微元法当物体在变力的作用下作曲线运动时,若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变,且力与位移的方向同步变化,可用微元法将曲线分成无限个小元段,每一小元段可认为恒力做功,总功即为各个小元段做功的代数和.22所示,F=10R=1,力F的大小保持不变,但方向始终保持与作用点的切线方向一致,F做的总功应为：A 0焦耳 B 20π焦耳C10焦耳 D 20焦,为与力在同一直线上,故ΔW=FΔS,则转一周中各个小W=F×2πR=10×2πJ=20πJ,B正确.三、平均力法如果力的方向不变,力的大小对位移按线性规律变化时,可用力的算术平均值〔恒力〕代替变力,利用功的定义式求功.3105千克,从静止开始运动,0.05倍.F=103x+f0,f0.当100米时,牵引力做的功是多少？分析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0,是线性关系,故前进100米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力 所做的功.由题意可知f0＝0.05×105×10N＝5×104N,所以前进100米过程中的平均牵引力1/7.＝∴W＝

N＝1×105N,S＝1×105×100J＝1×107J.四、图象法如果力F随位移的变化关系明确,始末位置清楚,可在平面直角坐标系内画出F—x图象,图象下方与坐标轴所围的"面积〞即表示功.3用图象法.F=103x+f0可知,x变化时,F也随着变化,故本题是属于变力做功问题,下面用图象求解.F=103x+0.5×105,其函数表达图象如图3.根据F-x的功,OABD的"面积〞.所以 .五、能量转化法求变力做功功是能量转化的量度,已知外力做功情况可计算能量的转化,同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少.因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功.1、用动能定理求变力做功动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量.它的表达式K是W =ΔEK外

可以理解成所有外力做功的代数和,如果我们所研究的多个力外中,只有一个力是变力,其余的都是恒力,而且这些恒力所做的功比较容易计算,研究对象本身的动能增量也比较容易计算时,用动能定理就可以求出这个变力所做的功.44,AB1/4圆弧轨道,半径为0.8m,BC,长3m,BC处的摩擦系数1/15,m=1kg的物体,A点从静止C点刚好停止.AB段所受的阻力对物体做的功.AC的过程中,ABAC段的摩擦力共三个力做功,WG=mgR,fBC=umg,由于物体在AB段受的阻力是变力,做的功不能直接求.根据动能定理可知：W=0,外所以mgR-umg -WAB=0即WAB=mgR-umg =1×10×0.8- ×1×10×3=6<J>2、用机械能守恒定律求变力做功2/7.如果物体只受重力和弹力作用,或只有重力或弹力做功时,满足机械能守恒定律.如果求弹力这个变力做的功,可用机械能守恒定律来求解.55所示,m2千克的物体,Av0=5米/秒的初速度滑下,DB的速度为零,ABh=5米,求弹簧的弹力对物体所做的功.分析：由于斜面光滑故机械能守恒,但弹簧的弹力是变力,弹力对物体做负功,弹簧的弹性势能增加,且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等.B所在水平面为零参考面,D能的零参考点,则状态A： EA=mgh+mv02/2弹簧0对状态B： EB=－W +0弹簧0由机械能守恒定律得：W

2/2〕=－125〔J〕.－〔3弹簧3、用功能原理求变力做功的代数和等于系统的机械能的增量,如果这些力中只有一个变力做功,且其它力所做的功与系统的机械能的变化量都比较容易求解时,就可用功能原理求解变力所做的功.622米,自然堆放在光滑的水平面上,用力F竖直向上匀速提起此链条,v=6米/秒,求该链条全部被提起时拉力F所做的功.,链条保持匀速上升,在链条上的拉力是变力,不能直接用功的公式求功.根据功能原理,上提过程拉力F做的功等于机械能的增量,故可以用功能原理求.当链条刚被全部提起时,动能没有变化,L/2=1米,ΔE=mgL/2=2×10×1=20〔J〕F4W=Pt求变力做功74000千克的汽车,由静止开始以恒定的功率前进,100/3425米15米/秒.假设汽车在前进中所受阻力不变,求阻力为多大.,速度增加,所以牵引力不断减小,与阻力相等时速度达到最大值.汽车所受的阻力不变,牵引力是变力,牵引力所做的功不能用功的公式直接计算.由于汽车的功率恒定,P=Fv求,速度最大时牵引力和阻力相等,故P=Fvm=fvm,所以汽车的牵引力做的功为W=Pt=fv t根据动能定理有： 汽车mW

2/2,

t－fs=

2/2汽车 m m m代入数值解得：f=6000N.变力做功的问题是一教学难点,在上述实例中,从不同的角度、用不同的方法阐述了求解变力做功的问题．在教学中,通过对变力做功问题的归类讨论,提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力,有利于培养学生的创造性思维开阔学生解题的思路．3/7.课后训练题1,2ｋｇｓ的速度开始下滑,到达Ｂ点时的速度变为2ｍ／ｓ,求物体从Ａ运动到Ｂ的过程中,?2ａ,置于足够高的光滑桌面上,为ｂ,并由静止开始从桌上滑下,,?3、如图所示,一人用定滑轮吊起一个质量为Ｍ的物体,绳子每ρ,中所做的最小功．45×105ｋｇ的机车,以恒定功率从静止开始起动,006倍,5ｍｉｎｋｍ／ｈ,求机车的功率和机车在这段时间内所做的功．5,设每次打击锤子时给铁钉的动能相同,所受的阻力跟打入的深度成正比．如果钉子第一次被打入木块的深度为2ｃｍ,4ｃｍ深处．66ｍ200ｋｇ立起来,?课后训练题解答1分析 物体由Ａ滑到Ｂ的过程,受重力Ｇ弹力Ｎ和摩擦力ｆ三个力的作用因而有ｆ＝μＮ,Ｎ－ｍｇｃｏｓθ＝ｍｖ2／Ｒ,即 Ｎ＝ｍ〔ｖ2／Ｒ〕＋ｍｇｃｏｓθ．μ为动摩擦因素,ｖ为物体在某点的速度．分析上式可知,动的过程中,θ由大到变小,ｃｏｓθ变大,因而Ｎ变大,ｆ也变大．在物体由Ｃ到Ｂ运动的过程中,θ由小到变大,ｃｏｓθ变小,因而Ｎ变小,ｆ也变小．由以上可知,物体由Ａ运动到Ｂ的过程中,摩擦力ｆ是变力,是变力做功问题解 根据动能定理有Ｗ＝ΔＥ．外 ｋ在物体由Ａ运动到Ｂ的过程中,弹力N不做功；重力在物体由Ａ运动到Ｃ的其代数和为零．因此,物体所受的三个力中摩擦力在物体由Ａ运动到Ｂ的过程中对物体所做的功,就等于物体动能的变化量．则有Ｗ＝Ｗ＝ΔＥ,外 ｆ ｋ即 Ｗ〔1／2ｍｖ2〔1／2ｍｖ〔1／2222〔／22102〕ｆ Ｂ Ａ＝－96Ｊ．式中负号表示摩擦力对物体做负功．可见,如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力,其余均为恒力,且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,此类方法解决问题是行之有效的．4/7.2分析 长链在下落过程,下垂部分不断增长,因此,该部分的质量也在不断大,即这部分所受的重力是变力,整个长链的运动也是在该变力作用下的运动,是变力做功问题．图2解 取桌面为零势能面,设整个链条质量为ｍ,桌面高度为ｈ,下垂部分质量为ｍ．则有０ｍ

＝〔ｂ／ａ〕ｍ,０ ０1开始下滑时链条的初动能Ｅ ＝0,1ｋ初势能Ｅ1＝－ｍｇ·〔ｂ／2〕＝－ｍｇ·〔ｂ2／2ａ〕,ｐ

０1＋Ｅ

1＝－〔ｂ2／2ａ〕ｍｇ．ｋ ｐ设链条全部离开桌面的瞬时速度为ｖ,ｇ,

＝－〔ａ／2〕ｍ2ｐ2动能Ｅ2＝〔1／2〕ｍｖ2,ｋ机械能Ｅ2＝〔1／2〕ｍｖ2－〔ａ／2〕ｍｇ,根据机械能守恒定律有Ｅ1＝Ｅ2,即－〔ｂ2／2ａ〕ｍｇ＝〔1／2〕ｍｖ2－〔ａ／2〕ｍｇ,解得 ｖ＝ ．因此,在这一过程中重力所做的功为＝Δ＝〔1／2〕ｍｖ2－0＝〔ｍｇ／2ａａ2－ｂ2Ｇ ｋ3分析 假定物体被匀速吊,人将物体从地面吊起的过程中,人的拉力可表示为Ｔ＝Ｍｇ＋ρｘｇ,式中ｘ,绳的余长ｘ减小,Ｔ减小,力,故本题属变力做功问题．解 设绳的重量全面集中在它的重心上,物体升高高度为Ｌ时,绳的重心上Ｌ／2,则系统机械能的增量为ΔＥ＝ΔＥ1＋ΔＥ2＝ΔＥ1＋ΔＥ1＋ΔＥ2＋ΔＥ2,ｐ ｋ ｐ ｋ

、Δ 分别为物体和绳的机械能增量．12Ｅ Ｅ12由功能原理知,人的拉力所做的功为Ｗ＝ΔＥ＝ΔＥ

1＋ΔＥ1＋ΔＥ2＋ΔＥ2,ｐ ｋ ｐ ｋ当ΔＥ1＝ΔＥ2＝0时,即缓慢提升物体时Ｗ最小,即ｋＷ

ｋ1＋ΔＥ2ｍｉｎ ｐ ｐ＝ＭｇＬ＋〔Ｌ／2〕ρＬｇ＝［Ｍ＋〔1／2〕ρＬ］ｇＬ．可见,在涉与重力、弹力之外的变力做功问题时,易求得,用功能原理求解该变力所做的功比较方便．4分析 因机车的功率恒,当机车从静止开始达到最大速度的过程中,牵引力不5/7.断减小,当速度达到最大值时,机车所受牵引力达到最小值,,牵引力是变力,因此,机车做功不能直接用Ｗ＝Ｆｓｃｏｓａ来求解,但可用公式Ｗ＝Ｐｔ来计算．解根据题意,机车所受阻力ｆ＝ｋｍｇ,,机车功率为Ｐ＝Ｆｖ

＝ｆｖ

＝ｋｍｇｖｍａｘ

ｍａｘ

ｍａｘ＝0．06×5×105×10×〔108×103／3600〕＝9×106Ｗ．根据Ｐ＝Ｗｔ,该时间内阻力做功为Ｗ＝Ｐ／ｔ＝9×106／300＝3×104Ｊ．ｆ根据动能定理Ｗ

＝ΔＥ

得牵引力做功外 ｋＷ＝ΔＥ＋ＷＦ ｋ ｆ＝〔1／2〕ｍｖ 2＋Ｗｍａｘ ｆ＝〔1／2〕×5×105×302＋3×104＝2．25×108Ｊ．5分析 铁钉进入木块所受的阻力ｆ跟铁钉进入木块的深度ｘ之间的关系为ｆ＝ｋｘ,由此可知,,阻力做功的问题,是一个变力做功的问题．解 〔1〕依据题意做出ｆ－ｘ关系图线如图4所示．图4第一次打击时铁钉克服阻力所做的功Ｗ14值．设第二次打击时铁钉被打入的深度为ｘ0,功Ｗ24中梯形ＡＢＤＣ的面积的值．因ｆ＝ｋｘ,由图可得＝2ｋ, ＝〔2＋ｘ0〕ｋ,则 Ｗ1＝〔1／2〕

· ＝〔1／2〕×2ｋ×2＝2ｋ,Ｗ2＝〔 ＋ 〕／2〕＝〔ｋｘ02＋4ｋｘ0〕／2,

＝2ｋ＋〔2＋ｘ0〕ｋ〕／2〕×ｘ0因每次打击时给铁钉的动能相等,故Ｗ1＝Ｗ2,则 2ｋ＝〔ｋｘ02＋4ｋｘ0〕／2,解得 ｘ0＝2〔

－1〕ｃｍ．6/7.〔2〕设打击ｎ次可将铁钉打入4ｃｍ深处,此时克服阻力做功为Ｗ3,即图4中三角形ＯＥＦ的面积的值．由图可知,当ｘ＝4ｃｍ时, ＝4ｋ,则Ｗ3＝〔1／2〕· ·＝〔1／2〕×4×4ｋ＝8ｋ．每次打击时克服阻力做功〔即给铁钉的动能〕为Ｗ1＝2ｋ,所以ｎ＝Ｗ3／Ｗ1＝8ｋ／2ｋ＝4次．一个看似复杂的变力做功问题,通过图象变换,使得解题过程简单、明了．6分析

如图5所示,用一始终垂直于棒的力将棒的一端匀速提起,由于力的方向和大小时刻在发生变