题型专练四 电磁感应中的单、双杆模型

Rmm0mRmRmm0mRm题型专练

电磁感应的单、双杆型“轨＋杆”模是电磁感应中的常见模型择题和计算题均有考查该模型以杆或双杆在导轨上做切割磁感线运动为情景，综合考查电路、动力学、功能关系、动量守恒等知识．“轨＋杆”模又分为“单杆”型和“双杆”型轨置方式可分为水平直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等，情景复杂，形式多变．在理此类问题要导体杆切割磁感线的速度为主线由次定律法拉第电感应定律和闭合电路欧姆定律分析电路中的电流，由牛顿第二定律分析导体杆的加速度及速度变化，由能量守恒分析系统中的功能关系，由动量定理中安培力的冲量分析电荷量．“导轨＋双杆”模型中还可能满足动量守恒定律．高考题型1．见单杆情景及解题思路

电磁感应的单杆模型常见情景导轨和杆电阻不计，以水平光滑导轨为例)

过程分析设运动过程中某时刻的速度

三大观点的应用动力学观点：分析加速度单杆阻尼式

BL为，速度为a，能量观点：动能转化为焦单杆发电式(＝

、反，导体棒做减速运动↓a，当a＝0导体棒做加速度减小的减速运动，最终静止设运动过程中某时刻棒的速F度为，加速度为＝－B2L2F恒定时a同，随的加a减小当＝0

耳热动量观点：分析导体棒的位移、通过导体棒的电荷量和时间动力学观点：分析最大加速度、最大速度能量观点：力F做功等于导体棒的动能与回路中焦耳热之和时，最，＝

FR；a恒B2L

动量观点：分析导体棒的位移、通过导体棒的电荷BL定时F＋，F与

量

0m0ΔtΔt21BL2x00220m0ΔtΔt21BL2x00222含“源”电动式＝0)含“容”无外力充电式含“容”有外力充电式(＝0)

为一次函数关系开关闭，ab棒到安培力＝，此时＝，r速度↑⇒＝BL↑I↓⇒＝BIL⇒速度aEE＝时最＝充电电流减小，安培力减小，小，当a，导体棒匀速直线运动电容器持续充电F－＝ΔQ，I＝，＝CΔ＝Δv＝，I恒恒定体做匀加速直线运动

动力学观点：分析最大加速度、最大速度能量观点：消耗的电能转化为动能与回路中的焦耳热动量观点：分析导体棒的位移、通过导体棒的电荷量能量观点：动能转化为电场能忽略电阻动力学观点：求导体棒的F加速度＝m＋B2L2在磁应中，动量定理应用于单杆切割磁感线运动，可求解变力的时间、速度、位移和电荷量．①求电荷量或速度：ILtm－v，＝IΔt.BL2t②求位移：－＝－v，－＝－v③求时间：(i)－BIL＋Δt＝m即－BLq＋·Δt＝m－v已知电荷量q，为力，可求出变加速运动的时间．－L2t(ii)

＋·t＝v－m，Δt若已知位移x，为力，也可求出变加速运动的时间．考题示例例(2016·国卷Ⅱ如水面(纸面)内间距为l的行金属导轨间接一电阻质量

0m0tm00m0m0tm00m为、度为l的属杆置于导轨上t＝时金属杆在水平向右、大小为F的定拉力作用下由静止开始运动t时刻，金属杆进入磁感应强度大小为、向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动．杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ重力加速度大小为.求：图金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；电阻的阻值．答案

FB2l(1)Blt(－μg(2)

0解析

(1)Fma0

②vEBl③①③EBlt(

F

)④IEI⑤F

⑥FF

⑦④⑤⑥Bl2t例2天津卷如图2所示，固定在水平面上距为l的条平行光滑金属导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒MN和PQ长度也为l均与轨始终接触良好

ΔФΔtEΔФΔtE两端通过开关S与阻为R的匝金属线圈相连，线圈内在竖直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量k.图虚线右侧有垂直于导轨平面向的匀强磁场，磁感应强度大小为B.PQ的量为，金属导轨足够长、电阻忽略不计．图闭合，若使保持静止，需在其上加多大的水恒力F，指出其方向断开在述恒力作用下由静止开始到度大小为的速过程中流过PQ的荷量为，求该过程安培力做的功W答案解析

Bkl方水平向右m2(1)EEEk①PQR

②II③并PQIII④PQFFl⑤FF

⑥①③④⑤⑥BklF

⑦PQxtΔEE

ΔΦΔt

⑧

ΔtΔtΔBlx⑨PQII

E

⑩I

⑪FxWm2

0⑫⑦⑨⑪Wv2命题预测()(2020·福福市线上检)图3所左接有阻值为的定值电阻且足够长的平行光滑导轨、DF的距为L，导轨固定在水平面上，且处在磁感应强度为B、竖直向下的匀强磁场中一量为电阻为r的体棒垂导轨放置在导轨上静止导的电阻不计．某时刻给导体棒ab一水平向右的瞬时冲量I导体棒将向运动，最后停下来，则此过程中图A导体棒做匀减速直线运动直至停止运动I2B．阻上产生的焦耳热为mIC．过导体棒横截面的电荷量为ID．体运动的位移为BL答案解析ab

1ImI2kIEBUL1ImI2kIEBUL

BLr

2k2E2m

Q

I2RQrmBBILt0IqIΔqqIΔt

ΔtrRrIIqB2如所示，足够长的两平行光滑水平直导轨的间距为L，轨电阻不计，垂直于导轨平面有磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场；导轨左端接有电容为C的容器、开关S定值电阻；质量为m的属棒垂直于导轨静止放置，两导轨间金属棒的电阻为r初始时开关断，电容器两极板间的压为U闭合开关S金属棒运动，金属棒与导轨始终垂直且接触良好．下列说法正确的()图A闭合开关的间，金属棒立刻开始向左运动BULB．合开关的瞬间，金属棒的加速度大小为mRC．属棒与导轨接触的两点间的最小电压为零BCULD．属最终获得的速度大小为m＋B2L2答案D解析SamB

Δt1211212mm1mRmΔt1211212mm1mRmmCSCBLΔt0v

BCULm2L

DC如所示，足够长的光滑平行金属导轨、倾斜放置，其所在平面与水平面间的夹角为，两导轨间距为，轨下端分别连着电容为C的容器和阻值R＝3r的值电阻．一根质量为m电阻为r金属棒放在导轨上，金属棒与导轨始终垂直并接触良好，一根不可伸长的绝缘轻绳一端拴在金属棒中间端跨过轻质定滑轮与质量＝m的重物相连．金属棒与定滑轮之间的轻绳始终在两导轨所在平面内且与两导轨平行，磁感应强度为B的强磁场垂直于导轨所在平面向上，导轨电阻不计，初始状态用手住重物使轻绳恰处于伸直状态，由静止释放重物，求(sin37°＝，力加速度大小为g不计滑轮摩擦)图若S闭合，断，电阻的大瞬时热功率；若和S均合，当金属棒速度达到最大值时，遇到障碍物突然停止运动，金属棒停止运动后，通过金属棒的电荷量；若S断开、闭，请通过计算判断重物的运动性质．答案

2BL

rBL

重物做初速度为零的匀加速直线运动解析

(1)SMgsin37°IPI2

2BL2

r9mgr(2)SUUIRQ

R

m12ΔQTTT112m12ΔQTTT112MNQr(3)StiFBiLt(tΔt)QΔQt(tΔt)QvΔvtiCBLaΔtF

FmgBiLsinaCB2L2高考题型2．见双杆情景及解题思路

电磁感应的双杆模型常见情景以水平光滑导轨为例)双杆切割式

过程分析杆MN做变减速运动，杆PQ

三大观点的应用动力学观点：求加速度做变加速运动稳时两杆能量观点：求焦耳热的加速度均为零相同的速动量观点动量守恒求末度匀速运动．对系统动量守

速度，单杆动量定理求冲量、恒其中某杆适用动量定理电量杆MN做变减速运动，杆PQ

动力学观点：求加速度不等距导轨

做变加速运动稳时两杆能量观点：求焦耳热的加速度均为零杆以不同动量观点动量不守恒分的速度做匀速运动围的面别动量定理联立末速度关双杆切割式

积不变．L＝L减增，＝

系求末速度动力学观点别隔离两导体

MNMN010010MNMN010010时者一起匀加速运动，2l2vl2v棒，F－mR存在稳定的速度差＝ma求加速度对不同一平面上运动的双杆问题动量守恒定律不适用可用对应牛顿运动定律、能量观点、动量定理进行解决．考题示例例()(2019·全卷Ⅲ如图6竖向下的匀强磁场中有两根于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒、静止在导轨t＝0时棒ab以速度v向滑动．运动过程中ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分用、

2

表示，回路中的电流用I表．下列图象中可能正确的()图答案AC解析v

0

cdΔcd

abvvv1

ACB例()(2020·全卷Ⅰ如图7U形滑金属框abcd置于水平绝缘平台上ab和dc

1221212212a2M1121212边平行，和边垂直．、dc足够长，整个金属框电阻可忽略．一根具有一定电阻的导体棒置于金属框上，用水平恒力F右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与属保持良好接触，且与bc保持平行．经过一段时间)图A金属框的速度大小趋于恒定值B．属框的加速度大小趋于恒定值C．体棒所受安培力的大小趋于恒定值D．体到金属框边距离趋于恒定值答案BC解析bcia

1

FMaMa

BilmaMN

1

BlMNi

2

FFF(

BlFiMNtABMNMNMNbcD例浙江4月选考22)间距为l的平行金属导轨由水平部分和倾斜部分平滑连接而成，如图8所，倾角为导处于大小为B、向直于倾斜导轨平面向上的匀强磁场区间Ⅰ中，水平导轨上的无磁场区间静止放置一质量为的“联动双杆”由两根长为l金属杆cd和，长度为L的性绝缘杆连接构)在“联动双杆”右侧存在大小为B、方向垂直于水平导轨平面向上的匀强磁场区间Ⅱ，其长度大于L质量为m长为l的属杆从斜导轨上端释放，达到匀速后进入水平导无能量损)，杆与联双杆”

12010AA0BLl1212010AA0BLl12发生碰撞后，杆abcd粘在一起形成“联动三杆”，“联动三杆”继续沿水平导轨进入磁场区Ⅱ并从中滑出过中杆ab和与轨始终接触良好持与导轨垂直知杆abcdef电均为R＝Ω＝0.1kgl＝0.5mL＝0.3θ30°＝TB＝Tg＝

，不计摩擦阻力和导轨电阻，忽略磁场边界效应，求：图ab杆倾斜导轨上匀速动时的速度大小v；“联动三杆”进入磁场区间Ⅱ前的速度大小v；“联动三杆”滑过磁场区间Ⅱ产生的焦耳热答案解析

/s(2)1.5m/Bl2(1)IlmgsinθF6ab“”v

0()1.5m/s.“”ⅡΔB

2

Iltmv“”ⅡabqIΔq2Δ0.25m/s“”ⅡΔmⅡ“”′2Δ1.52×0.251“”ⅡQ·42′

0.25J.命题预测．图9所，平放置的两平行光滑金属导轨固定在桌面上，导轨间距L，处在磁感应

00L2＋m－1211222101s02200L2＋m－1211222101s022v0RmRm1(sRm强度为、竖直向下的匀强磁场中．桌面离地面的高度为H初时刻，质量为m的杆与导轨垂直且处于静止，距离导轨边缘为d质量也为的与轨垂直，以初速度进入磁场区域，最终发现两杆先后落在地面上．已知两杆接入电路的电阻均为R，导轨电阻不计，两杆落地点之间的距离为s，重力加速度为g.图求杆从磁场边缘射出时的速度大小；当杆射出时，求cd杆运动的距离；在两根杆相互作用的过程中，求回路中产生的电能．答案

s－2

RmHB2

0

－

H

mgs8H解析

(1)v1

xx

HHxs

0

mm

H2

2ababBILtv

1ΔΦBLxRΔ)BLB2LHBL2

0

s

H

1mgsm2m2m2m1211mgsm2m2m2m1211212111200BA0B0ABABBBQ02128H

2．图所，足够长的水平轨道左侧b～部轨道间距为L，右侧c～d部分的轨道间距为L，线轨道与水平轨道相切于b，有轨道均光滑且阻不计．在水平轨道内有斜向下与竖直方向成＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.1T质量为M＝0.2kg的属B垂直于导轨静止放置在右侧窄轨道上，质量为0.1kg的属棒A自线轨道上a处静止释放，两金属棒在运过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，A棒在宽轨上运动棒总在窄轨上运动．已知：两金属棒接入电路的有效电阻均为＝0.2＝0.2，L＝0.2m37°＝，＝，＝2

，求：图10金属棒A滑b处的速度大小；金属棒B匀运动的速度大小；在两棒整个运动过程中通过金属棒某截面的电荷量；在两棒整个运动过程中金属棒A、在平导轨间扫过的面积之差答案见析解析

(1)mghmB

B

tMAF

A

tvmF

A

2v

mMcosθL

θL0

2

BΔt00BΔt00AB∑θ)iLΔt0∑Δtq

C.ΔΦΔΔcosI

E

IΔtΔS

2.专题强化保分基础练1.()河南六市高三第一次联合调)图1所平行的两金属导轨间距为L，水平面角为，两导轨上端用阻值为的定值电阻相连，该装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上．质量为m的金属杆以导轨平面向上的初速度v从轨底端开始运动后返回到出发位置运动过程中ab与轨垂直且接触良好，不计ab和轨的电阻以及空气阻力．()图BL2A初始时刻金属杆的加速度为mRB．属杆上滑时间小于下滑时间C．金属杆上滑和下滑过程中电阻上产生的热量相同D．金杆上滑和下滑过程中通过电阻上电荷量相同

0AAmgsinFABL0R0AAmgsinFABL0R000答案BDBL2解析FBILθF

asinθAmmRBRBLsCD()(2020·湖常德市高三二模)图2所两相距为L的光滑平行金属导轨位于水平面(纸面内，其左端接一阻值为定值电阻，导轨平面与磁感应强度大小为的强磁场垂直，导轨电阻不计．导体棒垂导轨放并接触良好，接入电路的电阻也为若给棒以平行导轨向右的初速度，通过棒横截面的电荷量为q时棒的速度减为零，此过程中棒发生的位移为x则在这一过程中)图A导体棒做匀减速直线运动xqB．棒发生的位移为时，通过棒横截面的电荷量为2C．通过棒横截面的电荷量为时棒运动的速度为vD．值阻产的热量为答案BD解析A

xq10tI21022010QΔv2xq10tI21022010QΔv2000v2－0ΔΦBLxq2RRBqIqI11

1

BILt0vI

2BI

Ltmmtm0qBLk40D哈尔滨师大附中联考)如图所示光平电不计的金属轨固定在竖直平面内，两导轨间的距离为L，轨顶端连接定值电阻，轨上有一质量为、电不计的金属杆．整个装置处于磁感应强度为B的强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向里．现将杆从M点的度竖直向上出，经过时间t到达最高点，始终与导轨直且接触良好，重力加速度大小为g求t时内：图流过电阻的电荷量q电阻上产生的电热Q答案解析

m－1gtB2L(1)Ft0vFBLIqIt

0EΔΦ0BL00EΔΦ0BL0mmgtqI

RtRtgthBLQvm2m2.争分提能练．图4，两条平行导轨所在平面与水平地间的夹角为θ两导轨的间距为导轨上端接有一平行板电容器，电容为导轨处于匀强磁场中，磁感应度大小为、向垂直于导轨平面向下．在导轨上放置一质量为的属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触．已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为忽略所有电阻，让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：图电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；金属棒的速度大小随时间变化的关系．答案

(1)Q(2)＝

m－cosm＋B2L2解析

(1)vEBL①U②QCU①③QCBL④tIFBLI⑤(t)QI⑥Δt

ΔtfNNNf00a21200mRB2L0020ΔtfNNNf00a21200mRB2L0020m2(ttΔ⑦ΔvΔva⑧F

μF⑨FF⑩sinFF

⑪mμcos⑤⑪agm2LC⑫tmθμcos.m2LC山东济宁市一)两根足够长的平行金属导轨固于同一水平面内导轨间的距离为L，导轨上垂放置两根导体棒和，俯视图如图5甲示．两导体棒的质量均为，电阻均为，回路中其余部分的电阻不计，在整个导轨平面内，有磁感应强度大小为、竖直向上的匀强磁场．两导体棒与导轨接触良好且均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，两棒均静