培优 易错 难题锐角三角函数辅导专题训练附详细答案

千里之行，始于足下。第2页/共2页精品文档推荐培优易错难题锐角三角函数辅导专题训练附详细答案一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=81

4

．动点P从A点动身，沿AB方向以每秒

5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点并且动身，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点并且停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时刻为t秒．（1）求cosA的值；

（2）当△PQM与△QCN的面积满脚S△PQM=9

5

S△QCN时，求t的值；

（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）降在△QCN的旁边．

【答案】（1）coaA=4

5

；（2）当t=

3

5

时，满脚S△PQM=

9

5

S△QCN；（3）当t=2733

-s或

2733

+s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）降在△QCN的旁边．

【解析】

分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决咨询题；

（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=9

5

S△QCN构建方程即可解决咨询题；

（3）分两种情形①如图3中，当点M降在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分不构建方程求解即可；

详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．

∵S△ABC=1

2

?AC?BE=

81

4

，

∴BE=

92

，在Rt△ABE中，AE=22=6ABBE-，

∴coaA=

64

7.55

AEAB==．（2）如图2中，作PH⊥AC于H．

∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，∵S△PQM=9

5

S△QCN，∴

3?PQ2=935??CQ2，∴9t2+（9-9t）2=9

5

×（5t）2，整理得：5t2-18t+9=0，

解得t=3（舍弃）或35

．∴当t=

35时，满脚S△PQM=9

5

S△QCN．（3）①如图3中，当点M降在QN上时，作PH⊥AC于H．

易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴3，∴39-9t），

-．

∴t=2733

26

②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．

同法可得PH=3QH，

∴3t=3（9t-9），

∴t=27+33

，

26

-s或27+33s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）降在△QCN综上所述，当t=2733

26

的旁边．

点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵便运用所学知识解决咨询题，学会用分类讨论的思想考虑咨询题，属于中考常考题型．

2．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．

【答案】故大坝的截面的周长是（345）米，面积是1470平方米．

【解析】

试题分析：先依照两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．

试题解析：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE=30m，

∴AE=18米，

在RT△ADE中，22

+34

DEAE

∵背水坡坡比为1：2，

∴BF=60米，

在RT△BCF中，BC=22

CFBF

+=305米，

∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+305+88=（634+305+98）米，

面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．

故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．

3．已知：如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接BC交圆于点D，过点D作⊙O的切线交AC于E．

（1）求证：AE＝CE

（2）如图，在弧BD上任取一点F连接AF，弦GF与AB交于H，与BC交于M，求证：∠FAB+∠FBM＝∠EDC．

（3）如图，在（2）的条件下，当GH＝FH，HM＝MF时，tan∠ABC＝3

4

，DE＝

39

4

时，N

为圆上一点，连接FN交AB于L，满脚∠NFH+∠CAF＝∠AHG，求LN的长．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

4013NL=

【解析】

【分析】

（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADC＝90°，由切线长定理得EA＝ED，再由等角的余角相等，得到∠C＝∠EDC，进而得证结论.

（2）由同角的余角相等，得到∠BAD＝∠C，再经过等量代换，角的加减进而得证结论.

（3）先由条件得到AB＝26，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝4

3

a，再由相交弦定理

得到GH?HF＝BH?AH，从而求出FH，BH，AH，再由角的关系得到△HFL∽△HAF，从而求出HL，AL，BL，FL，再由相交弦定理得到LN?LF＝AL?BL，进而求出LN的长.

【详解】

解：

（1）证明：如图1中，连接AD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵EA、ED是⊙O的切线，

∴EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA，

∵∠C+∠EAD＝90°，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠C＝∠EDC，

∴ED＝EC，

∴AE＝EC．

（2）证明：如图2中，连接AD．

∵AC是切线，AB是直径，

∴∠BAC＝∠ADB＝90°，

∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，

∵∠EDC＝∠C，

∴∠BAD＝∠EDC，

∵∠DBF＝∠DAF，

∴∠FBM+∠FAB＝∠FBM+∠DAF＝∠BAD，∴∠FAB+∠FBM＝∠EDC．

（3）解：如图3中，

由（1）可知，DE＝AE＝EC，∵DE＝39

4

，

∴AC＝39

2

，

∵tan∠ABC＝3

4

＝

AC

AB

，

∴

39324AB=,

∴AB＝26，

∵GH＝FH，HM＝FN，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝4

3

a，∵GH?HF＝BH?AH，

∴4a2＝4

3a（26﹣

4

3

a），

∴a＝6，

∴FH＝12，BH＝8，AH＝18，

∵GH＝HF，

∴AB⊥GF，

∴∠AHG＝90°，

∵∠NFH+∠CAF＝∠AHG，

∴∠NFH+∠CAF＝90°，

∵∠NFH+∠HLF＝90°，

∴∠HLF＝∠CAF，

∵AC∥FG，

∴∠CAF＝∠AFH，

∴∠HLF＝∠AFH，

∵∠FHL＝∠AHF，

∴△HFL∽△HAF，

∴FH2＝HL?HA，

∴122＝HL?18，

∴HL＝8，

∴AL

＝10，BL＝16，FL＝

∵LN?LF＝AL?BL，

∴

LN＝10?16，

∴LN

【点睛】

本题考查了圆的综合咨询题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相

交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.

4．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．

【答案】（1）详见解析；（2）92

【解析】

【分析】

（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）依照30°的三角函数值分不在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.

【详解】

证明：如图，连接OE，

∵AE平分∠DAC，

∴∠OAE＝∠DAE．

∵OA＝OE，

∴∠AEO＝∠OAE．

∴∠AEO＝∠DAE．

∴OE∥AD．

∵DC⊥AC，

∴OE⊥DC．

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．

∴∠EAB＝30°，

在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°=6×

3

2

=33，

在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，

∴AD=cos30°×AE=3×33=92.

【点睛】

本题考查了特别的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特别的三角函数表示出所求线段是解题关键.

5．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．

（1）如图①，当点E降在边BA的延长线上时，∠EDC＝度（直截了当填空）；

（2）如图②，当点E降在边AC上时，求证：BD＝1

2EC；

（3）当AB＝22，且点E到AC的距离等于3﹣1时，直截了当写出tan∠CAE的值．

【答案】（1）90；（2）详见解析；（3）

633tanEAC

-

∠=

【解析】

【分析】

（1）利用三角形的外角的性质即可解决咨询题；

（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．只要证明△BAD≌△PAE（SAS），提出BD=PE，再证明EC=2PE即可；

（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，可得EP3，EH＝2PH＝2x，

由此FH＝31，CF＝33，由△BAD≌△PAE，得BD＝EP3x，AE＝AD，在Rt△ABG中，AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，故AE2＝AD2＝AF2+EF2，由勾股定理得AF＝3tan∠EAF＝23tan∠EAC＝

6-33

【详解】

（1）如图1中，

∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°，

∴∠EDC＝90°，

故答案为90；

（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．

∵∠DAE＝∠BAP＝90°，

∴∠BAD＝∠PAE，

∵∠B＝45°，

∴∠B＝∠APB＝45°，

∴AB＝AP，

∵AD＝AE，

∴△BAD≌△PAE（SAS），

∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，

∴∠EPD＝∠EPC＝90°，

∵∠C＝30°，

∴EC＝2PE＝2BD；

（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．

设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°，

∴EP3，EH＝2PH＝2x，

∴FH＝31，CF3FH＝33

∵△BAD≌△PAE，

∴BD＝EP3，AE＝AD，

在Rt△ABG中，∵AB＝2

∴AG＝GB＝2，

在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，

∵AE2＝AD2＝AF2+EF2，

∴22+（23）231）2+（4﹣3﹣32，整理得：9x2﹣12x＝0，

解得x＝4

3

（舍弃）或0

∴PH＝0，此刻E，P，H共点，∴AF＝3

∴tan∠EAF＝EF

AF3

31

+

＝23

依照对称性可知当点E在AC的上方时，同法可得tan∠EAC6-33

．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决咨询题，属于中考压轴题．

6．如图，在?ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到

△AEC，连接DE．

（1）求证：四边形ACED是矩形；

（2）若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．

【答案】（1）证明见解析（2）613