误差与范数概念附习题与答案

00x第一章

误差与范误的源例1.1.1用差商

f

f(a)f()h

求

f(xln

在

x

处导数的近似值取，1=0.000000000000001和h=0.000000000000分别用MATLAB软计算，取十位数字计.解在工窗口输入下面程序运行后得将此程序中

改为0.0001，运行后得后者比前者.再取h=0.000000000000001，运行后得不如前者好取h=0.000000000000000，运行后得算出的结果反而毫无价值.例1.1.2分别求方程AX在列情况时的解，中

A

1

.（）

b

;（）

2b

.解1）首将方程组化为同解方程输入程序

XA

，然后在MATLAB工窗口运行后输出当

b的为

；2（）理可得，当bAX的为例1.1.3计算近似值

.解泰级数e

1

x

x2xx4xn2!4!

(

取

x

，得

1!4!

（1.2）这是一个无限过程，计算机无法求到精确只能在1.2）取有限项时计，再估计误差如果取有限项11()2!!n作为

的值必然会有误差，根据泰勒余项定理可知其截断误差为/

4８６=4８６=e

s(1)

(n

如果取（1.2）的前九项，输入序或运行后结果因为截断误差为

e3(8

-6

(0

所以e的似值

s

1111112!!!7!8!

1.2误和效字例1.2.1取28作e的舍五入近似值时，求其绝对误差和相对误.解在工窗口输入程序运行后输出结果为例1.2.2

计算

20

sinxx

d的近似值，并确定其绝对误差和相对误.解因被积函数

xx

的原函数不是初等函数，故用泰勒级数求sinxxxx!５!

(

（1.5）这是一个无限过程，计算机无法求到精确可用（）前四项

xx!５!

代替被积函数

xx

，得y

20

sinx

d0

(

1

()x2x4x６!!2

()()727

=y.根据泰勒余项定理和交错级数收敛性的判别定理，得到绝对误差/

2**kkkk2**kkkkRy

()

=，在MATLAB命窗口输入计算程序如下：因为运行后输出结果为：y

，

R

WU=

所以，

的绝对误差为

，故

y

20

sinx

d

x

.

的相对误差为

r

1.3707

3%.1.3

误估的本法例1.3.4设计三种算求方程并研究每种算法的误差传播情.

2在的个根

的近似值，解为已知方程我可以设计如三种算法然后将计算结果与此方程的精确解

x2.5

比较，观察误差的传.算1将知方程化为解方程

xx

2

.取初值

x2

，按迭代公式kk依次计算xxx,，果列入表–3.2n15算2将知方程化为解方程2x15x2xx,依次计算，结果列入表1–中2n

.取值

x

，按迭代公式算

将已知方程化为同解方程

x

xx

.取初值

x2

，按迭代公式为依次计算

xx,2n

2x4k，结果列入表1–中我们为这三种算法的计算编写两套MATLAB序如下：（）主序输入的量是值迭代次数和精确输出的量每次迭代次数和代值的对差和相对误，/

程中用（）调函数程序及其计算结果①算法2的MATLAB调函数程②将ATLAB主程序和调用函数序分别命liti112.m和l.m分别保存文件，然后在MATLAB工作窗口输入命令③运行后输出计算结果列入表13和表1-4.④将算法2的MATLAB调用函程序的函分别用y1=15-2*x^2和y1=x-(2*x^2+x-15)/(4*x+1)替得到算法算法3的用函数程序，将其保存，行后将三种算法的前8个迭值

xx,2

列在一见1-3比.将三种算法的

xx,2

对应的绝对误差和相对误差的值列在一起（见表1-4行比较表1-3例1.3.4中种算法的计算结果算法

算法1的迭代结果

算法2的代结果

算法3的迭结果迭代次数

763-378840

0000000000857148378496356

0000055556550060000600000

-2.8704-1.6478

9635677484

0000000000

-5.4307

90165

00000

-Inf2.50001表1-4例1.3.4中种算法计算结果的误差

00000算法

算法1的差

算法2的差

算法3的差迭代

绝对误差

相对误差

绝对误差

相对误差

绝对误差

相对误差次数

0.5004.500000001300378326

0.2500.6421.0300.0001.000

0.5000.5000.3570.3370.253

0.2500.166666700.1190.112

0.5000.0550.0000.0000.000

0.2500.0210.0000.0000.000

2.8701.647

35

11

0.2300.178

0.0840.076

00

00

5.430Inf

1

0.1570.000

0.0590.000

00

001.4

数计中注的题/

77例1.4.1求

值解（1直接用命运行后输出结果问题出现在两个相近的数

1

与

相减时，计算机运行程序运行后输出结果由于计算机硬件只支持有限位机器数的运算，因此在计算中可能引入和传播舍入误差因有效数字的严重损失输出

的结果为算机不能再与数

7

15继续进行真实的计算，所以，最后输出的结果与（2如果化为

的精确值不x

1

，1

再用命运行后输出结果这是因为

1

化为

8

后，计算机运行程序1运行后的结果为由于有效数字的损失甚少，所以运算的结果

-18

再与

7

15

继续计算，最后输出的结果与

的精确值相差无.例1.4.2求

2

的近似值解（1直接用程运行后输出结果输入程序运行后输出结果（）为

中的

x

很大，如果采用倒变法zx1

1x

2

，即

2

ln

130302

ln(30900

.输入程运行后输出结果（3输入MATLAB程/

yx而yx而y.为什么仅仅比*151运行后输出结果可见）算的近似值比1）的误差小.参加计算的数，有时数量级相差很如果不注意采取相应的措施，在它们的加减法运算中，绝对值很小的那个数经常会被绝对值较大的那个数“吃掉发其作用，造成计算结果失.例1.4.4

请在16位进制数值精度计算机上利用软件MATLAB计下面的两个数x*1110.10.3

和

y*将计算结果与准确值比较，解释计算结解在工窗口输入下面程序运行后输出结果，从输出的结果可以看出

x

****

多一位而

y

*

呢？这是因计机行算，首要参运的写绝值于而“码相的这一过称数对在16位十制数值精度计算机上利用软件MATLAB计算这两个数，把运算的数写成浮点规格化形式为x

*

15

0.000

15315，在16位进制数值精度计算机的数都表示为小数点后面16位字的数与

1

之积，所以，计算机没有对数进行截断，而是按原来的三个数进行计因此，计算的结