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文档简介
PAGE全等三角形判定一(ASA,SAS)(提高)【学习目标】1.理解和掌握全等三角形判定方法1——“角边角”,和判定方法2——“边角边”;2.能把证明角相等或线段相等的问题,转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“角边角”全等三角形判定1——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).要点诠释:如图,如果∠A=∠,AB=,∠B=∠,则△ABC≌△.要点二、全等三角形判定2——“边角边”1.全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).要点诠释:如图,如果AB=,∠A=∠,AC=,则△ABC≌△.注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角.2.有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.如图,△ABC与△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“角边角” 1、如图,G是线段AB上一点,AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF,交AC于点F;然后证明:当AD∥BC,AD=BC,∠ABC=2∠ADG时,DE=BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC=∠C,∠CBF=∠ADG,则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】 证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC=2∠CBF∵∠ABC=2∠ADG∴∠CBF=∠ADG在△DAE与△BCF中∴△DAE≌△BCF(ASA)∴DE=BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下:(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形;(2)证明这两个三角形全等;(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等.举一反三:【变式】已知:如图,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且MQ=NQ.求证:HN=PM.【答案】证明:∵MQ和NR是△MPN的高,∴∠MQN=∠MRN=90°,又∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°,∠3=∠4∴∠1=∠2在△MPQ和△NHQ中,∴△MPQ≌△NHQ(ASA)∴PM=HN类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、如图,AD是△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD.【思路点拨】延长AD到点E,使AD=DE,连接CE.通过证全等将AB转化到△CEA中,同时也构造出了2AD.利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明:如图,延长AD到点E,使AD=DE,连接CE.在△ABD和△ECD中,AD=DE,∠ADB=∠EDC,BD=CD.∴△ABD≌△ECD.∴AB=CE.∵AC+CE>AE,∴AC+AB>AE=2AD.即AC+AB>2AD.【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路:(1)两点之间线段最短;(2)三角形的两边之和大于第三边.要证明AB+AC>2AD,如果归到一个三角形中,边的大小关系就是显然的,因此需要转移线段,构造全等三角形是转化线段的重要手段.可利用旋转变换,把△ABD绕点D逆时针旋转180°得到△CED,也就把AB转化到△CEA中,同时也构造出了2AD.若题目中有中线,倍长中线,利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法.3、(2020•吉林)如图,△ABC和△DAE中,∠BAC=∠DAE,AB=AE,AC=AD,连接BD,CE,求证:△ABD≌△AEC.【思路点拨】根据∠BAC=∠DAE,可得∠BAD=∠CAE,再根据全等的条件可得出结论.【答案与解析】 证明:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE,即∠BAD=∠CAE,在△ABD和△AEC中,,∴△ABD≌△AEC(SAS).【总结升华】本题考查利用“边角边”定理来证明三角形全等,注意等角减等角,差相等.举一反三:【变式】(2020•启东市模拟)如图,给出下列四组条件:①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E.BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中,能使△ABC≌△DEF的条件共有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组【答案】C.解:第①组满足SSS,能证明△ABC≌△DEF.第②组满足SAS,能证明△ABC≌△DEF.第③组满足ASA,能证明△ABC≌△DEF.第④组只是SSA,不能证明△ABC≌△DEF.所以有3组能证明△ABC≌△DEF.故符合条件的有3组.故选:C.类型三、全等三角形判定的实际应用4、如图,公园里有一条“Z字形道路ABCD,其中AB∥CD,在AB,BC,CD三段路旁各有一个小石凳E,M,F,且BE=CF,M在BC的中点.试判断三个石凳E,M,F是否恰好在一条直线上?为什么?【答案与解析】三个小石凳在一条直线上证明:∵AB平行CD(已知)∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)∵M在BC的中点(已知)∴BM=CM(中点定义)在△BME和△CMF中∴△BME≌△CMF(SAS)∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等)∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°(等式的性质)∴E,M,F
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