师大线代教育第一章矩阵2课件

§1.5方阵的逆矩阵§1.5方阵的逆矩阵一.逆矩阵的概念数(一阶方阵)n阶方阵事实

1a=a1=a,aEA=AE=A,Aa

0bs.t.ab=ba=1A

?

Bs.t.AB=BA=Eba=1,ax=c

=bc

x=1x=bax

ab=1,xa=c

=cb

x=x1

=xab

BA=E,AX=C

=BC

X=EX=BAX

AB=E,XA=C

=CB

X=XE

=XAB

§1.6§1.7

第一章矩阵§1.5方阵的逆矩阵注:A的逆矩阵记为A1.定理1.4.A可逆A的逆矩阵唯一.1.定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E,则称A可逆(invertible),并称B为A的逆矩阵(inversematrix).2.逆矩阵的唯一性若AB

=BA=E,AC

=CA=E,则B

=BE=B(AC)=(BA)C

=EC

=C.第一章矩阵3.逆矩阵的运算性质设A,B为同阶可逆方阵,数k

0.则

(1)(A1)1=A.(2)(AT)1=(A1)T.(3)(kA)1=k1A1.(4)(AB)1=B1A1.要证明(4),只要验算①(B1A1)(AB)=E,

§1.5方阵的逆矩阵②(AB)(B1A1)=E

即可.第一章矩阵2.可逆矩阵的分解§1.5方阵的逆矩阵*

*

*

*

*

*

0

0

0

=

.1

00010

001

*

***

*

*

****

*

*

*

*

*

000

可逆矩阵中不会有零行.(2)A(1)初等行变换A可逆U可逆行最简形U

=P1P2…PsA

U中不会有零行=E

U=1

0…001…0

00…1

…………=P1P2…PsA

A

=Ps1…P21P11

为初等矩阵的乘积.两边同时左乘(Ps1…P21P11)第一章矩阵3.矩阵的标准分解定理1.6.设A是mn矩阵,则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得

A=PQ.三.用初等变换求逆矩阵依据之一:可逆矩阵的行最简形为E.

依据之二:初等变换与初等矩阵间的联系.§1.5方阵的逆矩阵定理1.5.A可逆A可写成初等矩阵的乘积.(回忆定理1.3)第一章矩阵设A可逆,则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.A…E

(A

E)…(E

?)P1(A

E)P2P1(A

E)Pl-1…P2P1(A

E)PlPl-1…P2P1(A

E)P1AP2P1APl-1…P2P1APlPl-1…P2P1A(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1)?=A1§1.5方阵的逆矩阵第一章矩阵§1.5方阵的逆矩阵四.用初等变换解矩阵方程设A可逆,则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.下面用初等变换解矩阵方程AX=B.注意到X=A1B.(A

B)…(E

?)P1(A

B)P2P1(A

B)Pl-1…P2P1(A

B)PlPl-1…P2P1(A

B)(PlPl-1…P2P1A,PlPl-1…P2P1B)?=A1B=X第一章矩阵§1.5方阵的逆矩阵123252213134343解:初等行变换100320102300113故X=

3223

13.例8.设A=123221343,,B=253143求矩阵X使AX=B.第一章矩阵§1.5方阵的逆矩阵注:XA=B化为ATXT=BT,用上述方法可求出

XT,从而得到X.初等列变换当上面化为单位矩阵时,下面就是矩阵方程XA=B的解了.ABEX=AP1P2…Pl-1PlBP1P2…Pl-1Pl

=AA1

BA1

注意到XA=B的解是X=BA1.也可以用下面的方法直接求解.第一章矩阵§1.6方阵的行列式(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2

(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21

当a11a22a12a210时,a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.第一章矩阵§1.6方阵的行列式a11a12a21a22记D=,b1

a12b2a22D1=,a11b1a21

b2D2=,则当D=a11a22a12a210时,,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一确定的解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21第一章矩阵§1.6方阵的行列式回忆:①§1.5一开始提出的问题.③习题1(B)第17题:a11a12a21a22A=可逆②一阶方阵a可逆a0.a11a22

a12a210a11a12a21a22D=0.a11

a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33第一章矩阵§1.6方阵的行列式a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a11的余子式:a22a23

a32a33M11=代数余子式:A11=(1)1+1M11

a12的余子式:a21a23a31a33M12=代数余子式:A12=(1)1+2M12

a13的余子式:M13=代数余子式:A13=(1)1+3M13

a21a22a31a32a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33第一章矩阵§1.6方阵的行列式3阶方阵A=的行列式|A|定义为a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33|A|=a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33=a11A11

+a12A12

+

a13A13

=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13a22a31.第一章矩阵§1.6方阵的行列式一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式(minor),记作Mij,令Aij

=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式(cofactor).例如,四阶阶行列式中a32的余子式为a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a11

a13

a14

a21

a23

a24

a41

a43

a44M32=,代数余子式A32

=(1)3+2M32=M32.第一章矩阵§1.6方阵的行列式2.

第二数学归纳法原理:设P为一个关于自然数n的命题.若①P对于n=n0成立,②由“n0

n

k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,则P对于任意的自然数nn0成立.第一章矩阵§1.6方阵的行列式a11

a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=a11A11+a12A12+…+a1nA1n

假设n1阶行列式已经定义,=a11(1)1+1M11

+a12(1)1+2M12

+…+

a1n(1)1+nM1n

n1阶行列式(LaplaceExpansionofDeterminants)P.-S.Laplace[法](1749.3.23~1827.3.5)

则定义n阶行列式第一章矩阵§1.6方阵的行列式注:二阶行列式和三阶行列式的对角线法则:a11a12a21a22=a11a22

a12a21

a11

a12

a13

a21

a22

a23a31

a32

a33=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.第一章矩阵§1.6方阵的行列式二.行列式的性质性质1.互换行列式中的两列,行列式变号.推论.若行列式D中有两列完全相同,则

D=0.a11a12a21a22例如=a11a22

a12a21,a12

a11

a22

a21=a12a21a11a22.1

1

2

2D==1

1

2

2

=D

D=0.第一章矩阵§1.6方阵的行列式性质2.(线性性质)(1)det(1,…,kj,…,n)=kdet(1,…,j,…,n);(2)det(1,…,j+j,…,n)=det(1,…,j,…,n)+det(1,…,j,…,n).

现学现用

(1)设A为n阶方阵,则det(A)=____det(A).(1)n

(2)a+b

c+d

u+v

x+y

=[].①a

c

u

x

+b

d

v

y

,②a

c

u

x

+a

d

u

y

+b

c

v

x

+b

d

v

y

.第一章矩阵§1.6方阵的行列式例11.124221342(2)104=261310210

0

=2(7)

2

3

1

35

21

0

0=1420

1

31

2

1

0

0=1421

0

32

1=14.4100=26731014(3)注:本题也可以用定义或对角线法则计算.第一章矩阵§1.6方阵的行列式例12.设D=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,证明:D=D1D2.证明:对D1施行ci+kcj这类运算,把D1化为下三角形行列式:=p11

pm1

…

pmm

…...=p11…

pmm

,b11…

b1nbn1…

bnnD2

=,……a11…

a1m0…0……………………,am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnmbn1…

bnna11…a1m

am1…amm

D1

=……第一章矩阵§1.6方阵的行列式对D2施行ci+kcj

这类运算,把D2化为下三角形行列式:b11…

b1nbn1…

bnnD2

=……=q11

qn1

…

qnn

…...=

q11…

qnn

,于是对D的前m列施行上述ci+kcj运算,再对D的后n列施行上述施行ci+kcj

运算,可得:=

p11…

pmm

q11…

qnn

=D1D2.a11…

a1m0…0……………………D=am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnmbn1…

bnn.p11

pm1

…

pmm

…………=..0dn1

…

dnm

qn1

…

qnnd11

…

d1m

q11

...第一章矩阵§1.6方阵的行列式性质4.设A,B为同阶方阵,则|AB|=|A||B|.性质5.|AT|=|A|.注:根据方阵的性质5,前面几条关于列的性质可以翻译到行

的情形.例如:性质1’.互换行列式中的两行,行列式变号.A.L.Cauchy[法](1789.8.21~1857.5.23)

第一章矩阵§1.6方阵的行列式定理1.7.n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即

D

=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n

=…=an1An1+an2An2+…+annAnn

=a11A11+a21A21+…+an1An1

=a12A12+a22A22+…+an2An2

=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.第一章矩阵§1.6方阵的行列式性质6.ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).定理1.8.设D=|[aij]|,则aikAjk=Dij,k=1nakiAkj=Dij.k=1n注:克罗内克记号ij=1,i=j,0,ij.L.Kronecker[德](1823.12.7~1891.12.29)第一章矩阵§1.6方阵的行列式三.行列式的计算1.二,三阶行列式—对角线法则.2.利用初等变换化为三角形.(其中n

2,x

a).Dn=x

a…aa

x…a………a

a…x例13.计算n阶行列式第一章矩阵§1.6方阵的行列式Dn=x

a…aa

x…a………a

a…xx+(n1)a

a…ax+(n1)a

x…a………x+(n1)a

a…x=解:…×(1)…x+(n1)a

a

a…a

a0xa0…0000xa…00………………000…xa0000…0xa

==[x+(n1)a](xa)n1.第一章矩阵§1.6方阵的行列式3.按某一行(列)展开—降阶.4.递推/归纳.(未写出的元素都是0).例14.计算2n阶行列式D2n=a

ba

bc

dc

d…………第一章矩阵§1.6方阵的行列式解:D2n==a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d

...…0bb00cc0….........……第一章矩阵§1.6方阵的行列式=a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=adD2(n1)bcD2(n1)=(adbc)D2(n1)=(adbc)2D2(n2)=(adbc)3D2(n3)=…=(adbc)n1

D2=(adbc)n.第一章矩阵§1.6方阵的行列式例15.证明n阶级(n2)范德蒙德行列式Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1Alexandre-ThéophileVandermondeBorn:28Feb1735inParis,FranceDied:1Jan1796inParis,France第一章矩阵§1.6方阵的行列式=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)现设等式对于(n1)阶范德蒙德行列式成立,则证明:当n=2时,D2=(a2a1).Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1(a1)(a1)(a1)…第一章矩阵§1.6方阵的行列式=(a2a1)(a3a1)…(ana1)11…1a2

a3…an

…………a2n-2

a3n-2…ann-2=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)=(a2a1)(a3a1)…(ana1)(aiaj)ni>j2=(aiaj).ni>j1第一章矩阵§1.6方阵的行列式四.行列式的应用设A=[aij]nn为方阵,元素aij的代数余子式为Aij,则称如下矩阵A*=A11

A21…An1A12

A22…An2

…………A1n

A2n…Ann为方阵A的伴随矩阵(adjoint).1.伴随矩阵与逆矩阵第一章矩阵§1.6方阵的行列式例16.求A=a

b

c

d

的伴随矩阵.解:A11=d,A21=b,A12=c,A22=a.A*=A11

A21

A12

A22

=d

b

c

a

.第一章矩阵§1.6方阵的行列式例17.设A为方阵,A*为其伴随矩阵.证明:AA*=A*A

=|A|E.证明:AA*=a11…a1n

an1…ann

……A11…An1A1n…Ann

……=nna1kA1k…a1kAnk

k=1k=1nna1kA1k…a1kAnk

k=1k=1……=|A||A|….第一章矩阵§1.6方阵的行列式定理1.9.方阵A可逆的充分必要条件是|A|0.

当|A|0时,有

A1=|A|1A*.推论.设A,B为方阵,若AB=E(或BA=E),则B=A1.事实上,AB=E|A|0A可逆B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1E=A1.A非奇异(nonsingular)第一章矩阵§1.6方阵的行列式例18.求下列方阵的逆矩阵.(1)A=1

234,1

23221343(2)B=.解:(1)A1=|A|1A*=214

231.(2)|B|=20,B1=|B|1B*B11=(1)1+12143=2,B21=6,B31=4,B12=3,B22=6,B32=5,B13=2,B23=2,B33=2.=212

6

4365222.第一章矩阵§1.6方阵的行列式例19.设方阵A满足A2+3AE=0.证明:A及A2E可逆,并求它们的逆矩阵.定理1.10.分块对角矩阵A=diag(A1,A2,…,As)可逆的充分必要条件是:A1,A2,…,As都可逆.当A1,A2,…,As都可逆时,A1=diag(A11,A21,…,As1).2.克拉默法则(Cramer’sRule)第一章矩阵§1.6方阵的行列式G.Cramer[瑞士](1704.7.31~1752.1.4)C.Maclaurin[英](1698.2~1746.6.14)第一章矩阵§1.6方阵的行列式可以表示为Ax=b.则线性方程组x1x2…xn记x=,b1b2…bmb=,A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,下面讨论A为n阶方阵的情形.第一章矩阵§1.6方阵的行列式对于n元线性方程组记D=a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann,D1=b1

a12…a1n

b2a22…a2n…………bn

an2…ann,D2=a11b1

…a1n

a21b2

…a2n…………an1bn…ann,…,Dn=.a11

a12

…b1a21

a22

…b2…………an1

an2…bn第一章矩阵§1.6方阵的行列式定理1.11.设A为n阶方阵,|A|0,则方程组有唯一解:

Ax=b

,x1=D1Dx2=D2D,…,xn

=DnD.证明:|A|01

DA*b

x=A1b==1

DA11…An1A1n…Ann

……b1bn…x1xn…第一章矩阵§1.7矩阵的秩§1.7矩阵的秩一.基本概念这样的子式共有

个.k阶子式mnk行k列第一章矩阵§1.7矩阵的秩例如:A=2041

013240822,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2.的1阶子式有34个:A的2阶子式有36个:0413,0112,4132,20

01,24

03,21

02,0408,0102,4182,20

40,24

48,21

42,0140,

3282.0348,0242,1308,1202,第一章矩阵§1.7矩阵的秩2041

01324082的3阶子式有14个:204

013408201

012402241

032482041132082====0.第一章矩阵§1.7矩阵的秩问题:假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等于零的话,它的4阶子式中会出现非零的吗?答:绝对不会!

因为每个4阶子式都可以按行展开,通过一些3阶子式的组合得到.)第一章矩阵§1.7矩阵的秩②r(AT)=秩r(A).2.矩阵A的秩(rank)记为r(A)或秩(A)

r(A)=r

A中至少有一个r阶子式D不为零A的所有r+1阶子式都等于零注:①零矩阵的秩规定为0.2041

01324082而3阶子式全为0,因此它的秩为2.例如有一个2阶子式20

010,第一章矩阵§1.7矩阵的秩例20.32050323612015316414的秩=?注:例20告诉我们:对于一个阶数很高且比较复杂的矩阵来说,按照定义去求它的秩是一件很麻烦的事.第一章矩阵§1.7矩阵的秩4

08290

30120

004700000例21.的秩为

.3注:从例21可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于它的阶梯数(即:非零行的数目).而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行

变换化为行阶梯形.要是每次初等行变换都不改变矩阵的秩就好了.而这一点我们是可以证明的!第一章矩阵§1.7矩阵的秩二.几个重要的结论

1.初等行变换不改变矩阵的秩(事实上,我们只要能证明初等行变换不会使矩阵的秩变小就够了,因为初等变换是可逆的)定理1.11.初等变换不改变矩阵的秩.第一章矩阵§1.7矩阵的秩(1)ri

rj不改变矩阵的秩(2)rik不改变矩阵的秩(3)ri+krj不改变矩阵的秩设矩阵A经过ri+krj得到B,秩(A)=r,A的一个最高阶非零子式为Dr.我们分三种情况说明:①Dr中不含有A的第i行.②Dr中同时含有A的第i行和第j行.③Dr中含有A的第i行但不含有A的第j行.第一章矩阵§1.7矩阵的秩我们把B中与Dr对应的子式记为AB第i行第j行Dr

.则Dr

=ri+krj……=ri……+krj……=Dr+Dr.~若Dr0,~则说明A中有一个不含有第i行的非零子式.问题化为情形①;若Dr=0,~则Dr=Dr.说明B中也有一个r阶非零子式.第一章矩阵§1.7矩阵的秩2.初等列变换不改变矩阵的秩事实上,设矩阵A经过一次初等列变换得到

B,则其转置矩阵AT经过一次初等行变换得到BT,由1可得秩(A)=秩(AT)=秩(BT)=秩(B).推论.(1)等价的矩阵具有相同的秩.(2)设B=PAQ,其中P,Q为可逆矩阵,则r(A)=r(B).第一章矩阵§1.7矩阵的秩例22.设A=32050323612015316414,求A的秩,并找出A的一个最高阶非零子式.第一章矩阵§1.7矩阵的秩1

6

4140

431

10

004

1000

00=B.解:A=32050323612015316414可见秩(A)=3.B的第1,2,4列(是由A的第1,2,4列变来的)中有一个3阶非零子式.初等行变换因而A的第1,2,4列中必然有一个3阶非零子式.不难找到325326205=16,这个子式就是A的一个最高阶非零子式.第一章矩阵§1.7矩阵的秩命题.设A为sm矩阵,B为sn矩阵,则max{r(A),r(B)}r(A,B)r(A)+r(B).证明:①因为A和B的子式也是分块矩阵(A,B)

的子式,所以于是max{r(A),r(B)}r(A,B)成立.

r(B)r(