材料力学之应力状态

材料力学之应力状态第一页，共137页。本章要点（1）平面应力状态的解析法和图解法（2）强度理论（包括莫尔强度理论）重要概念单元体、平面应力状态、平面应变状态、主应力、主应变、广义虎克定律，强度理论。2第二页，共137页。§8-1应力状态的概念和实例目录§8-2平面应力状态下的任意斜截面上的应力§8-3平面应力状态下的最大应力,主应力§8-4三向应力状态下的最大应力§8-5广义胡克定律§8-6强度理论3第三页，共137页。§8-1应力状态的概念和实例.应力状态的概念：

由第二章分析轴向拉压时,直杆截面上的应力时可知：随着所取截面的方向不同,截面上的应力也不同。由分析圆轴扭转及梁弯曲时,

由横截面上的应力公式,可知:在同一横截面上的各点,应力也是不相同的,即应力不仅随着截面方向的不同而不同,而且在同一截面上的各点应力也不一定完全相同。定义:截面上一点处,不同方位截面上在该点处应力的全部情况,就称为该点的

应力状态。1.一点的应力状态4第四页，共137页。为了研究一点的应力状态，围绕该点截取一微小的

正六面体,这个微小正六面体就称为单元体。由于单元体很微小,故可以把它的各个面上的应力看做是均匀分布的。单元体两个平行平面上的应力,可看成是相等的。这个单元体的应力情况可以代表该点的应力状态。在受力构件中的某一点,总可以找出一个单元体,在这个单元体的各个面上只有正应力而无剪应力。主单元体：各个面上剪应力为零的单元体；主平面：主单元体上的各个面；主应力：主平面上的正应力。2.单元体：3.主单元体,主平面,主应力定义：312231xyxxyxxyyy5第五页，共137页。4.应力状态的分类：(1).单向应力状态:三个主应力中,只有一个不为零——又称简单应力状态。(2).二向应力状态:三个主应力中,只有一个为零。(3).三向应力状态:三个主应力都不为零。——二向和三向应力状态又称复杂应力状态。312231221111三个主应力用

σ1、σ2、σ3

表示，按代数值大小顺序排列,即

σ1≥σ2≥σ3

6第六页，共137页。横截面，周向面，直径面各一对一对横截面，两对纵截面PPAs=FN/AsATeTeBt=Te/WnB同b)，但从上表面截取CtssPMeMeCPCABBtBCtCsCsCAsAsA从A、B、C三点截取单元体的选取:使单元体各个面上的应力已知或可以计算。7第七页，共137页。例题

1画出如图所示梁S

截面的应力状态单元体.54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面8第八页，共137页。S平面254321543211x1x1x2x2223339第九页，共137页。12yxzy4321FSMZTxzy43213例题2画出如图所示梁的危险截面上,危险点的应力状态

单元体。

alSF10第十页，共137页。例题3分析薄壁圆筒受内压时的应力状态p薄壁圆筒的横截面面积mmnp′(1).沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为FFnn11第十一页，共137页。直径平面(2).假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象p"yOFNFNdｐｐ×Ｄ×ｌ12第十二页，共137页。圆杆受扭转和拉伸共同作用13第十三页，共137页。§8-2平面应力状态下的应力分析平面应力状态的普遍形式如图所示,

单元体上有

x

,xy

和

y,yxxxyzyxyyxxyxyyx14第十四页，共137页。xyaxxyxxyefnxxyzyxyyxxyxyyx一.解析法：

—

求与主平面垂直的任意斜截面上的应力15第十五页，共137页。σ：拉应力为正τ：顺时针转动为正α：逆时针转动为正efaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcos16第十六页，共137页。平衡对象—用斜截面截取的

微元局部

平衡方程tyx参加平衡的量—应力乘以其作用的面积A平衡条件的应用

—微元局部的平衡方程，Aα17第十七页，共137页。tyxdAqnsxtyxdAqtsx18第十八页，共137页。整理并应用三角公式得到=常量19第十九页，共137页。二.最大正应力及方位1.最大正应力的方位令0

和

0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面。20第二十页，共137页。2.最大正应力将0

和

0+90°代入公式得到max

和min

(主应力）下面还必须进一步判断0

是

x

与哪一个主应力间的夹角最大正应力和最小正应力所在平面就是主平面,最大正应力和最小正应力就是两个主应力21第二十一页，共137页。(1).当

x>y

时，0

是x

与max

之间的夹角.

(2).

当

x<y

时，0是x与min

之间的夹角.(3).

当

x=y

时，

0

=45°，则确定主应力方向的具体规则如下若约定

|0|<45°即

0

取值在

±45°范围内主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来.22第二十二页，共137页。三.最大切应力及方位1.最大切应力的方位:令1

和1+90o确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面。23第二十三页，共137页。2.最大切应力将

1和

1+90°代入公式得到

max和

min比较和可见24第二十四页，共137页。例题4

简支梁如图所示.已知:

mm

截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为=-70MPa，=50MPa.确定:

A

点的主应力及主平面的方位.AmmalA解：把从A点处截取的单元体放大如图25第二十五页，共137页。因为x<y，所以0=27.5°与min

对应xAA0131326第二十六页，共137页。xyxy例题5图示单元体。已知:

x=-40MPa，y=60MPa，xy=-50MPa。试求:

ef截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位。n30°ef(1)求ef截面上的应力27第二十七页，共137页。(2)求主应力和主单元体的方位x=-40MPa

y=60MPa

xy=-50MPa=-30°因为x

<y

，所以0=-22.5°与min

对应28第二十八页，共137页。xyxy22.5°1329第二十九页，共137页。解:(1)求主平面方位因为

x=y

，且

xy>0例题6

求:平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.xy所以0=-45°与max

对应45°（2）求主应力1=，2=0，3=-1330第三十页，共137页。§8-3平面应力状态分析-图解法

一.莫尔圆将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去

,得31第三十一页，共137页。因为x，y，xy

皆为已知量,所以上式是一个以

,为变量的圆周方程。当斜截面随方位角变化时,其上的应力,

在-

直角坐标系内的轨迹是一个圆。1.圆心的坐标2.圆的半径此圆习惯上称为

应力圆,或称为莫尔圆。32第三十二页，共137页。(1)建

-坐标系,选定比例尺。o二.应力圆作法1.步骤xyxxyxxyyy10MPa33第三十三页，共137页。Dxyo(2)量取OA=xAD

=xy得D

点xyxxyxxyxAOB=y(3)量取BD′=yx得D′点yByxD′(4)连接

DD′两点的直线与轴相交于C点(5)以C为圆心,

CD为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆.C34第三十四页，共137页。(1).该圆的圆心C

点到坐标原点的距离为(2).该圆半径为DxyoxAyByxD′C2.证明35第三十五页，共137页。三.应力圆的应用1.求单元体上任一截面上的应力从应力圆的半径CD按方位角

的转向,转动

2,得到半径CE

.圆周上E点的坐标就依次为斜截面上的正应力

和切应力

。DxyoxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn36第三十六页，共137页。证明:37第三十七页，共137页。2.几种对应关系1).

点面对应—应力圆上某一点的坐标值

对应着微元某一方向截面上的正应力和切应力;2).

转向对应—起量线(截面外法线与半径线)

相对应,半径线旋转方向与法线方位角旋转方向一致;3).

二倍角对应—半径转过的角度是方位角旋转角度的两倍。38第三十八页，共137页。点面对应caA39第三十九页，共137页。C转向对应、二倍角对应q2qaAAa''yx40第四十页，共137页。2.求主应力数值和主平面位置(1)主应力数值A1

和B1两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1，2

12DxyoxAyByxD′C20FE2B1A141第四十一页，共137页。20DxyoxAyByxD′C12A1B1(2)主平面方位由

CD

顺时针转20

到

CA1所以单元体上从x轴顺时针转0

（负值）即到1对应的主平面的外法线0

即

1

对应的主平面方位.42第四十二页，共137页。3.求最大切应力G1和G2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力

20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2因为最大最小切应力等于应力圆的半径43第四十三页，共137页。o例题7

从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x=-1MPa,y=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx=0.2MPa,(1)绘出相应的应力圆(2)确定此单元体在=30o

和

=-40o

两斜面上的应力。xyxy解:(1)画应力圆量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2

,定出D点;ACBOB

=y=-0.4

和

BD′

=yx=0.2,定出D′点.

(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD’为直径绘出的圆即为应力圆。44第四十四页，共137页。将半径CD

逆时针转动

2=60°到半径

CE,

E点的坐标就代表=30°斜截面上的应力。(2)确定=30°斜截面上的应力E60°(3)确定=-40°斜截面上的应力将半径CD顺时针转

2=80°到半径

CF,

F点的坐标就代表=-40°斜截面上的应力。F80°AD′CBoD30°40°40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa-40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa45第四十五页，共137页。例题8

两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，

梁的横截面尺寸示于图中。试:绘出截面c上a,b

两点处的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力。12015152709zab250KN1.6m2mABC46第四十六页，共137页。+200kN50kN+80kN.m解:

(1)首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图Mmax=MC=80kN•mFSmax=FC左=200kN250KN1.6m2mABC47第四十七页，共137页。12015152709zab(2).横截面

C上a点的应力为a点的单元体如图所示axxxyyx48第四十八页，共137页。由

x，xy

定出

D

点,由y，yx定出

D′点。以

DD′为直径作应力圆,OC(3).做应力圆

x=122.5MPa，xy=64.6MPay=0，yx=-64.6MPa。

AB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1,A2

两点的横坐标分别代表a点的两个主应力

1

和3.A1

点对应于单元体上

1

所在的主平面49第四十九页，共137页。

axxxyyx01312015152709zab(4).横截面

C

上b

点的应力B点的单元体如图所示bxx50第五十页，共137页。b

点的三个主应力为1所在的主平面就是x平面,即梁的横截面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′151第五十一页，共137页。例:一点处的应力状态如图所示。试:用应力圆求主应力。120o2α0σ1σ152第五十二页，共137页。例:一点处的应力状态如图所示(应力单位为MPa)。试:用应力圆求主应力及其作用平面。2α0α053第五十三页，共137页。已知:受力物体内某一点处三个主应力1、2、3利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。一.空间应力状态下的最大正应力和最大切应力§8-4三向应力状态分析31223154第五十四页，共137页。首先研究与其中一个主平面

(例如主应力3

所在的平面)垂直的斜截面上的应力。用截面法,沿求应力的截面将单元体截为两部分,取左下部分为研究对象211221355第五十五页，共137页。主应力

3

所在的两平面上是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力

,

与3

无关,只由主应力

1,2决定.与3垂直的斜截面上的应力可由1,2

作出的

应力圆上的点来表示(看成二向应力状态)2156第五十六页，共137页。该应力圆上的点对应于与3

垂直的所有斜截面上的应力;

与主应力

2

所在主平面垂直的斜截面上的应力

,,

可用由1

,3

作出的应力圆上的点来表示;与主应力

１所在主平面垂直的

斜截面上的应力

,,可用由2

,3作出的

应力圆的点来表示.A1O2BC32157第五十七页，共137页。

abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面,

可以证明：该截面上应力

和对应的D点,必位于上述三个应力圆所围成的阴影内.nA1O2BC3三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的

点的坐标，代表了空间应力状态下所有截面上的应力。D58第五十八页，共137页。A1O2BC3结论1.

三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的

点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。2.

该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标

1

即3.最大切应力则等于最大的应力圆的半径4.

最大切应力所在的截面,与

2

所在的主平面垂直,并与

1和3所在的主平面成

450角。5.与二向应力状态一样,有：=常量59第五十九页，共137页。例题9

单元体的应力如图所示,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位。解:

该单元体有一个已知主应力因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力

z

无关,依据x

截面和y

截面上的应力画出应力圆,求另外两个主应力。40MPaxyz20MPa20MPa20MPaσz=20MPa60第六十页，共137页。由x，xy

定出D

点,由y，yx

定出D′点.以DD′为直径作应力圆A1，A2

两点的横坐标分别代表另外两个主应力

1

和3A1A2D′ODC131=46MPa3=-26MPa该单元体的三个主应力1=46MPa2=20MPa3=-26MPa根据上述主应力,作出三个应力圆,可量出61第六十一页，共137页。一.各向同性材料的广义胡克定律

——讨论空间应力状态下应力与应变之间的关系1.符号规定(1).

正应力:拉应力为正,压应力为负.(2).

切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针，则τ为正；反之为负.

(3).

线应变:以伸长为正,缩短为负；(4).

切应变:使直角减小为正,增大为负.§8-5

广义胡克定律

62第六十二页，共137页。x方向的线应变用叠加原理,分别计算出

x,y,z

分别单独存在时,

x，y，z方向的线应变

x,y，z,然后代数相加。2.各向同性材料的广义胡克定律单独存在时单独存在时

单独存在时xyzzzxxyyxyzzzxxyy63第六十三页，共137页。在x

、y、z

同时存在时,x方向的线应变

x为同理，在x

、y、z

同时存在时,y,z

方向的线应变为在xy，yz，zx

三个面内的切应变为64第六十四页，共137页。上式称为广义胡克定律——沿x、y、z轴的线应变——在xy、yz、zx面内的角应变65第六十五页，共137页。对于平面应力状态(假设z=0，xz=0，yz=0

)xyzxyxyyxxyxyyx66第六十六页，共137页。3.主应力-主应变的关系二向应力状态下：设3=0已知

1、2、3；1、2、3

为主应变或67第六十七页，共137页。二.各向同性材料的体积应变123a1a2a3构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用θ表示.各向同性材料在三向应力状态下的体积应变：如图所示的单元体,三个边长为a1,a2,a3变形后的边长分别为变形后单元体的体积为a1(1+，a2(1+2，a3(1+3V1=a1(1+·a2(1+2·a3(1+3单元体的单位体积变化为—体积应变68第六十八页，共137页。体积应变为代入广义胡克定律略去应变的二次以上微量或69第六十九页，共137页。1.

纯剪切应力状态下的体积应变即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.2.

三向等值应力单元体的体积应变三个主应力的平均值为单元体的体积应变mmm平均应力123a1a2a3体积应变胡克定律70第七十页，共137页。这两个单元体的体积应变相同mmm123a1a2a3单元体的三个主应变为71第七十一页，共137页。如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例。所以在三向等值应力

m的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这样的单元体是形状不变的.在一般的空间应力状态下,材料的体积应变只与三个线应变x，y，z

有关,仿照上述推导有：在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关.切应力只与单元体的形状改变有关。72第七十二页，共137页。例题10

边长

a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积

较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图所示.已知：铜的弹性模量E=100GPa

,泊松比=0.34,

受到F=300kN的均布压力作用。求：该铜块的主应力、体积应变以及最大切应力.解：铜块横截面上的压应力aaaFzyxzxy铜块受力如图所示,变形条件为73第七十三页，共137页。联立解两个式子，解得铜块的主应力为最大切应力体积应变为74第七十四页，共137页。例题11一直径

d=20mm

的实心圆轴,在轴的的两端加

扭矩

m=126N·m.。在轴的表面上某一点A处用变形仪

测出与轴线成-45°方向的应变

=5.010-4

。

试求:此圆轴材料的剪切弹性模量

G。mmA45°x75第七十五页，共137页。解：围绕A点取一单元体A13xy-45°A76第七十六页，共137页。Dtymkx例题12

壁厚

t=10mm,外径D=60mm的薄壁圆筒,在表面上k

点与其轴线成45°和135°角，即x,y

两方向分别贴上应变片，然后在圆筒两端作用矩为m

的扭转力偶，如图所示。已知：圆筒材料的弹性常数为E=200GPa和

=0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内，且max=80MPa。试求：k

点处的线应变

x,y

以及变形后的筒壁厚度.77第七十七页，共137页。解:从圆筒表面k点处取出单元体,其各面上的应力分量如图所示可求得Dtymkx-45°xyk13maxmaxk78第七十八页，共137页。K点处的线应变

x,y

为（压应变）（拉应变）

圆筒表面上

k

点处沿径向(z轴)的应变和圆筒中任一点(该点到圆筒横截面中心的距离为

)处的径向应变为因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为t=10mm。79第七十九页，共137页。bhzb=50mmh=100mm例题13

已知：矩形外伸梁受力F1，F2作用,弹性模量

E=200GPa,泊松比

=0.3,

F1=100KN,F2=100KN。求（1）A

点处的主应变

1,

2,3。

（2）A点处的线应变

x,

y,z。aAF1F2F2l80第八十页，共137页。解：梁为拉伸与弯曲的组合变形.A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力。（拉伸）（负）Ax=20x=30(1)A点处的主应变

1,2,3:81第八十一页，共137页。(2)A点处的线应变

x,

y,z:82第八十二页，共137页。例题14

简支梁由

18号工字钢制成.其上作用有力

F=15kN，E=200GPa,=0.3。求:A点沿

00，450，900

方向的线应变0.50.50.25FA0°45°90°h/483第八十三页，共137页。解：

yA，Iz，d查表得出为图示面积对中性轴

z的静矩zAh/4AA=50.8A=68.884第八十四页，共137页。0.5F13500.50.25A0°45°90°h/4AA=50.8A=68.885第八十五页，共137页。§8-6复杂应力状态的应变能密度（比能）一.应变能密度的定义二.应变能密度的计算公式1.单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为物体在单位体积内所积蓄的应变能（比能）2.三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为86第八十六页，共137页。uV

—表示与单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为

体积改变能密度

ud—表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为形状改变能密度（畸变能密度）把应变能密度分成两部分：将广义胡克定律代入上式,经整理得87第八十七页，共137页。(a)123(b)1-m3-m2-m图a所示单元体的三个主应力不相等，因而，变形后既发生体积改变也发生形状改变。图c所示单元体的三个主应力相等，因而，变形后的形状与原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变。则：图b所示单元体只发生形状改变而无体积改变。(c)mmm=(1+2+3)/3=+应变能密度的计算：88第八十八页，共137页。图c

所示单元体的体积改变能密度a单元体的比能为空间应力状态下单元体的

畸变能密度123(c)mmm=(1+2+3)/389第八十九页，共137页。一.强度理论的概念1.引言§8-7强度理论轴向拉、压弯曲剪切扭转弯曲切应力强度条件正应力强度条件90第九十页，共137页。上述强度条件具有如下特点:(1).

危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态。(2).

材料的许用应力,是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此

极限应力作为强度指标,除以适当的安全系数而得,即根据相应的试验结果建立的强度条件。都没考虑

材料破坏的形式和原因。工程实践和试验都证明:发生不同形式的破坏时,

引起破坏的原因不同。为了全面研究材料的强度问题,提出了强度理论的概念。2.

强度理论的概念关于构件发生某种形式破坏时,引起破坏的主要因素

的的假说。91第九十一页，共137页。4.基本观点构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的。

而这些因素的极限值可利用材料在单向应力状态时的试验来测定。这样就可利用材料在单向应力状态时的试验结果,来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。二.材料破坏的两种类型(常温、静载荷)1.屈服失效：材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力。2.断裂失效：(1).脆性断裂:无明显的变形下突然断裂。(2).韧性断裂:产生大量塑性变形后断裂。92第九十二页，共137页。引起破坏的某一共同因素形状改变比能最大切应力最大线应变最大正应力—以脆断作为破坏的标志—以出现屈服现象作为破坏的标志93第九十三页，共137页。根据:当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的

材料就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏。

1.最大拉应力理论（第一强度理论）基本假说:最大拉应力

1

是引起材料脆断破坏的因素。脆断破坏的条件：1=b

四.第一类强度理论强度条件:

1[

=[b/n]试验证明：

这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断结果相符,这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏,也是沿拉应力最大的斜面发生断裂,这些都与最大拉应力理论相符。

但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。（单向拉伸下）94第九十四页，共137页。2.最大伸长线应变理论(第二强度理论)根据:当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏。基本假说:最大伸长线应变

1是引起材料脆断破坏的因素。脆断破坏的条件最大伸长线应变强度条件试验证明：

煤,石料或砼等材料在轴向压缩试验时,如端部无摩擦,

试件将沿垂直于压力的方向发生断裂,这一方向就是最大伸长线应变的方向,这与第二强度理论的结果相近。（单向拉伸下）95第九十五页，共137页。1.最大切应力理论(第三强度理论)基本假说:最大切应力

max

是引起材料屈服的因素。根据:当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效。屈服条件五.第二类强度理论在复杂应力状态下一点处的最大切应力为强度条件

第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实,且稍偏安全。这个理论所提供的计算式比较简单,故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力

σ2的影响,其带来的最大误差不超过15％,而在大多数情况下远比此为小。有（单向拉伸下）96第九十六页，共137页。2.畸变能密度理论(第四强度理论)基本假说：畸变能密度

ud

是引起材料屈服的因素。单向拉伸下，1=

s，

2=

3=0，

材料的极限值强度条件屈服准则这个理论和许多塑性材料的试验结果相符,用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的。97第九十七页，共137页。六.相当应力把各种强度理论的强度条件写成统一形式r

称为复杂应力状态的相当应力.98第九十八页，共137页。莫尔认为:最大切应力是使物体破坏的主要因素,但滑移面上的摩擦力也不可忽略(莫尔摩擦定律)。综合最大切应力及最大正应力的因素,莫尔得出了他自己的强度理。

（§8-7）莫尔强度理论一.引言:99第九十九页，共137页。二.莫尔强度理论：

任意一点的应力圆若与极限曲线相接触,则材料即将屈服或剪断.公式推导MO2OO1O3FNTL[c][t]1M´L´T´代入强度条件100第一百页，共137页。1.适用范围及选用原则：(1).一般脆性材料选用第一或第二强度理论；(2).

塑性材料选用第三或第四强度理论；

(3).在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性材料都发生脆性破坏,故选用第一或第二强度理论；(4).在二向和三向等压应力状态时.无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论.三.各种强度理论的适用范围及其应用101第一百零一页，共137页。2.强度计算的步骤(1)外力分析:确定所需的外力值；(2)内力分析:画内力图,确定可能的危险面；(3)应力分析:

画危险面应力分布图，

确定危险点并画出单元体,求主应力；(4)强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力,然后进行强度计算。3.应用举例102第一百零二页，共137页。例题15一蒸汽锅炉承受最大压强为p,圆筒部分的内径

为D,厚度为t,且

t远小于

D

。

已知:p=3.6MPa，t=10mm，D=1m，[]=160MPa.

试:用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度.p（a）Dyzt（b）103第一百零三页，共137页。内壁的强度校核所以圆筒内壁的强度合适.用第四强度理论校核圆筒内壁的强度′

"

104第一百零四页，共137页。例题16根据强度理论,可以从材料在单轴拉伸时的可推知低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的.纯剪切应力状态下:1=,2=0,3=–按第三强度理论得强度条件为：另一方面，剪切的强度条件是：所以[]=0.5105第一百零五页，共137页。[]为材料在单向拉伸时的许用拉应力.材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为[].按第四强度理论得强度条件为：按第三强度理论得到：按第四强度理论得到：[]=0.5[]≈0.6106第一百零六页，共137页。例题17

对于图示各单元体,试分别按第三强度理论及

第四强度理论求相当应力.120MPa(d)50MPa70MPa40MPa30MPa120MPa(a)(b)

140MPa

110MPa

(C)140MPa80MPa70MPa107第一百零七页，共137页。解：（1）单元体（a）120MPa(a)（2）单元体（b）(b)140MPa110MPa108第一百零八页，共137页。(c)140MPa80MPa70MPa(d)50MPa70MPa40MPa30MPa（3）单元体（c）（4）单元体（d）109第一百零九页，共137页。解：危险点

A的应力状态如图例题18

直径为d=0.1m的圆杆受力如图,

T=7kNm,F=50kN,

材料为铸铁，[]=40MPa。试:用第一强度理论校核杆的强度.故安全.FFTTAA110第一百一十页，共137页。例题19

薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4，

y=7.3710-4。已知:钢的E=210GPa,[]=170MPa,泊松比

=0.3,

试:用第三强度理论校核其强度.解：由广义虎克定律xyAAsxsy111第一百一十一页，共137页。所以,此容器不满足第三强度理论,不安全。主应力相当应力112第一百一十二页，共137页。例题20

两端简支的工字钢梁承受载荷如图所示已知：其材料Q235钢的许用应力为=170MPa,

=100MPa

。试：按强度条件选择工字钢的型号.0.42200kN200kNCDAB0.421.662.50113第一百一十三页，共137页。解:作钢梁的内力图.FSC左=FSmax=200kNMC=Mmax=84kN·mC,D

为危险截面(1)按正应力强度条件选择截面取C

截面计算0.42200kN200kNCDAB0.421.662.50选用28a

工字钢,其截面的Wz=508cm3200kNFS图200kN+-+M图84kN·m114第一百一十四页，共137页。(2)按切应力强度条件进行校核

对于

28a工字钢的截面,查表得最大切应力为选用

28a工字钢能满足切应力的强度要求.12213.7126.32808.5126.3115第一百一十五页，共137页。

取

A

点分析

(3)腹板与翼缘交界处的的强度校核（+）122

13.7126.32808.5

126.3AA

点的应力状态如图所示AAA116第一百一十六页，共137页。A点的三个主应力为由于材料是Q235钢,所以在平面应力状态下,应按第四强度理论来进行强度校核.应另选较大的工字钢.若选用

28b工字钢,算得