定积分的物理应用

定积分的物理应用第一页，共四十三页，2022年，8月28日一、平面物质线段的质量已知在闭区间[a,b]上的物质直线段L，线密度为(x)，且(x)是连续函数，求线段L

的质量.质量元素：从而线段L的质量为L第二页，共四十三页，2022年，8月28日例1一金属棒长3(m)，离棒左端x(m)处的线密度为(x)=问：x为何值时，[0,x]一段的质量为全棒的一半？解[0,x]上一段的质量为第三页，共四十三页，2022年，8月28日而全棒的质量为M(3)=2,故依题意有第四页，共四十三页，2022年，8月28日二、功O问题：设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到x=b，力的方向与运动方向平行，求变力所作的功.由物理学，已知常力F0将质点从点a移至b,所作的功为：1.变力沿直线所作的功第五页，共四十三页，2022年，8月28日功W具有可用定积分计算的量的三个特征，故可考虑用定积分的“元素法”来计算.功元素：注当力的方向与质点的运动方向一致时，W为正；当力的方向与质点的运动方向相反时，W为负.xo第六页，共四十三页，2022年，8月28日例2自地面垂直地向上发射火箭.设火箭的质量为m,求：(1)火箭离开地面距离为h

时，克服地球引力所作的功W;(2)若要火箭飞离地球，火箭的初始速度v0

至少为多少？解(1)1°建立坐标系(如图)rO设地球的质量为M,半径为R.地平面第七页，共四十三页，2022年，8月28日rO地平面•

r用于克服地球引力的外力：2º由万有引力定律，地球对位于点r处的火箭的引力：•h•

r+dr功元素：R•地心第八页，共四十三页，2022年，8月28日第九页，共四十三页，2022年，8月28日(2)当火箭飞离地球时，即若要火箭飞离地球，则火箭的初始动能至少要等于火箭飞离地球时克服地球引力所作的功(即由此功全部转化成的火箭的位能)第二宇宙速度第十页，共四十三页，2022年，8月28日一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.2.从容器中抽出液体作的功例3分析把一桶重量为P的水(看成质点),提到高度为h的地方，克服重力所作的功为：然而，现在的情形是将池内的水连续不断地问：要把池内的水全部吸出，需作多少功？点击图片任意处播放\暂停第十一页，共四十三页，2022年，8月28日抽出，而不是象提水桶那样，整体一下子提到某一高度。在水被抽出的过程中，液面到池口的距离是一个变量.解决的方法：把池中的水分成若干层，则“把池中的水抽空所作的功”=“分别把每层水从池中抽出所作的功的和”.而“把每层水从池中抽出所作的功”“把这层水看成一个整体从池中提到池口所作的功”.第十二页，共四十三页，2022年，8月28日解建立坐标系如图这一薄层水的重力元素为:功元素：(千焦)．第十三页，共四十三页，2022年，8月28日三、液体侧压力设液体密度为,深为h处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用定积分来解决.平板一侧所受的压力为••面积为

A的平板第十四页，共四十三页，2022年，8月28日例4小窄条上各点的压强近似相等为

的液体,

求桶的一个端面所受的侧压力.解建立坐标系如图.所论半圆利用对称性,侧压力元素的方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度端面所受侧压力为第十五页，共四十三页，2022年，8月28日注1°当桶内充满液体时,小窄条上的压强近似为为侧压力元素故端面所受侧压力为奇函数2°对于选定的坐标系，平板边界曲线的方程，水深，积分区间一定要匹配！第十六页，共四十三页，2022年，8月28日四、引力问题质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,回顾：

两质点的引力则需用积分解决.第十七页，共四十三页，2022年，8月28日例5设有一长度为l,线密度为

的均匀细直棒,在其中垂线上距

a

单位处有一质量为m

的质点

M,试计算该棒对质点的引力.解

建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为第十八页，共四十三页，2022年，8月28日利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为第十九页，共四十三页，2022年，8月28日注2°若考虑质点沿y轴从a处移到

1°当细棒很长时,可视l为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.b

(a<b)处时，克服引力作的功,则有第二十页，共四十三页，2022年，8月28日引力大小为注意正负号3°当质点位于棒的左端点垂线上时,第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日内容小结(1)先用微元分析法求出它的微分表达式dQ一般微元的几何形状有:扇、片、壳等.(2)然后用定积分来表示整体量

Q,并计算之.2.定积分的物理应用:曲线弧段的质量，变力作功,侧压力,引力等.条、段、环、带、1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q

的步骤:第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日思考题解如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀,把容备用题

例2-1求移动过程中气体压力所作的功.解建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强p与体积V成反比,即故作用在活塞上的力为器中的一个面积为S

的活塞从点a处移动到点b处(如图),第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日功元素为所求功为第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日例2-2解当单位正电荷距离原点r时,由库仑定律电场力为在一个带

+q

电荷所产生的电场作用下,一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a<b),求电场力所作的功.则功的元素为所求功为第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第例2-3解木板对铁钉的阻力为建立坐标系如图，则第一次锤击时所作的功为xox一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日第一次锤击时所作的功为设n次击入的总深度为h厘米n次锤击所作的总功为依题意知，每次锤击所作的功相等．n次击入的总深度为第n次击入的深度为xoh第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日例2-4(99考研)解

作x轴如图.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口,在提升过程中污泥以20N/s

的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重将抓起污泥的抓斗由x提升dx所作的功为400N,缆绳每米重50N,第三十页，共四十三页，2022年，8月28日提升抓斗中的污泥:克服缆绳重:抓斗升至x处所需时间:克服抓斗自重:井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉

第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日解如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有例3-1第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日故所求速度为第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日R-y功元素：第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日故将满池水全部提升到池沿高度所需功为第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日思考:若建立坐标系（如图），又如何求功W?解x第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日功元素第三十八页，共四十三页，2022年，8月28日例4-1解建立坐标系如图面积元素：压力元素：压力：第三十九页，共四十三页，2022年，8月28日例4-2斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于水解

选取坐标系如图.设斜边长为l,中,并使一直角边与水面相齐,问斜边与水面交成锐角

取多大时，薄板所受的压力P最大.则其方程为第四十页，共四十三页，2022年