带电粒子在磁场中运动的临界问题

带电粒子在磁场中运动的临界问题第一页，共三十页，2022年，8月28日1、缩放圆法

带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或质量改变）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大（速度或质量逐渐增大时）或缩小（速度或质量逐渐减小时）的运动圆，如图。解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。解决带电粒子在磁场中运动的两个重要方法第二页，共三十页，2022年，8月28日2、旋转圆法

在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆，用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。第三页，共三十页，2022年，8月28日本课时讲授四个主题内容1.

“矩形”有界磁场中的临界问题2.

“三角形”有界磁场中的临界问题3.

“圆形”有界磁场中的临界问题4.旋转圆轨迹临界问题第四页，共三十页，2022年，8月28日“矩形磁场区”情景下的临界问题1、画圆弧轨迹；2、确定圆心；3、建立三角形；1、注意对称性特点；2、学会作辅助线。第五页，共三十页，2022年，8月28日主题一、“矩形”有界磁场中的临界问题例题1．如图(甲)所示，长为L的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，两板间距离也为L.现有质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，从左侧中心处以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则速度大小范围如何？(

)图（甲）画圆弧、找圆心；建立三角形第六页，共三十页，2022年，8月28日主题一、“矩形”有界磁场中的临界问题例题1．解：(1)如图(乙)所示，粒子刚好能经过上极板右边缘穿出的轨迹．设圆周半径为R1，则R12＝L2＋(R1－0.5L)2，得R1＝1.25L由

，得故粒子速度满足v≥时粒子能从极板的右侧穿出；图（乙）第七页，共三十页，2022年，8月28日主题一、“矩形”有界磁场中的临界问题例题1．

(2)如图(丙)所示，粒子刚好能经过上极板左边缘穿出的轨迹．设圆周半径为R2，则由

，得故

时粒子能从极板的左侧穿出．即符合速度

和

的粒子满足题意要求．图（丙）第八页，共三十页，2022年，8月28日例题2．如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ＝30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求(1)粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。(2)若粒子速度不受上述v0大小的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。第九页，共三十页，2022年，8月28日主题一、“矩形”有界磁场中的临界问题例题2．解析:

(1)①假设粒子以最小的速度恰好从左边偏转出来时的速度为v1，圆心在O1点，如图(甲)，轨道半径为R1，对应圆轨迹与ab边相切于Q点，由几何知识得：R1＋R1sinθ＝0.5L由牛顿第二定律得得图(甲)第十页，共三十页，2022年，8月28日主题一、“矩形”有界磁场中的临界问题例题2．解:(1)②假设粒子以最大速度恰好从右边偏转出来，设此时的轨道半径为R2，圆心在O2点，如图(乙)，对应圆轨迹与dc边相切于P点。由几何知识得：R2＝L由牛顿第二定律得

得粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足

图(乙)第十一页，共三十页，2022年，8月28日主题一、“矩形”有界磁场中的临界问题例题2．解:(2)如图(丙)所示，粒子由O点射入磁场，由P点离开磁场，该圆弧对应运行时间最长。粒子在磁场内运行轨迹对应圆心角为

。而

，得由

，得周期

，得

，可得

图(丙)第十二页，共三十页，2022年，8月28日变式1．如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量m、电荷量大小为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子最大的入射速度v可能是(

)A．小于B．小于C．小于D．小于第十三页，共三十页，2022年，8月28日变式1．如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量m、电荷量大小为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子最大的入射速度v可能是(

BD

)A．小于B．小于C．小于D．小于第十四页，共三十页，2022年，8月28日例3、如图所示装置由加速电场、偏转电场和偏转磁场组成。偏转电场处在加有电压的相距为d的两块水平平行放置的导体板之间，匀强磁场水平宽度为l，竖直宽度足够大，大量电子（其重力不计）由静止开始，经加速电场加速后，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入偏转电场。当两板没有加电压时，这些电子通过两板之间的时间为2t0，当在两板间加上如图乙所示的周期为2t0、幅值恒为U0的电压时，所有电子均能通过电场，穿过磁场，最后打在竖直放置的荧光屏上（已知电子的质量为m、电荷量为e）。求：（1）如果电子在t=0时刻进入偏转电场，求它离开偏转电场时的侧向位移大小；（2）通过计算说明，所有通过偏转电场的电子的偏向角（电子离开偏转电场的速度方向与进入电场速度方向的夹角）都相同。（3）要使电子能垂直打在荧光屏上，匀强磁场的磁感应强度为多少第十五页，共三十页，2022年，8月28日

“角形磁场区”情景下的临界问题1、画圆弧轨迹；2、确定圆心；3、建立三角形；1、注意对称性特点；2、学会作辅助线。第十六页，共三十页，2022年，8月28日主题二、“三角形”有界磁场中的临界问题例4．如图所示，在坐标系xOy平面内，在x＝0和x＝L范围内分布着匀强磁场和匀强电场，磁场的下边界AB与y轴成45°，其磁感应强度为B，电场的上边界为x轴，其电场强度为E.现有一束包含着各种速率的同种粒子由A点垂直y轴射入磁场，带电粒子的比荷为q/m.一部分粒子通过磁场偏转后由边界AB射出进入电场区域．不计粒子重力，求：(1)能够由AB边界射出的粒子的最大速率；(2)粒子在电场中运动一段时间后由y轴射出电场，射出点与原点的最大距离．第十七页，共三十页，2022年，8月28日主题二、“三角形”有界磁场中的临界问题例题4．解:(1)由于AB与初速度成45°，所以粒子由AB线射出磁场时速度方向与初速度成45°角．粒子在磁场中做匀速圆周运动，速率越大，圆周半径越大．速度最大的粒子刚好由B点射出．

由牛顿第二定律

由几何关系可知

r＝L，得

(2)粒子从B点垂直电场射入后，在竖直方向做匀速运动，在水平方向做匀加速运动．在电场中，由牛顿第二定律Eq＝ma此粒子在电场中运动时d＝vt，得第十八页，共三十页，2022年，8月28日主题二、“三角形”有界磁场中的临界问题例5．如图所示，M、N为两块带异种电荷正对的金属板，其中M板的表面为圆弧面，P为M板中点；N板的表面为平面，Q为N板中点的一个小孔．PQ的连线通过圆弧的圆心且与N板垂直．PQ间距为d，两板间电压数值可由从0到某最大值之间变化，图中只画了三条代表性电场线．带电量为＋q，质量为m的粒子，从点P由静止经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，CD为磁场边界线，它与N板的夹角为α＝45°，孔Q到板的下端C的距离为L.当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上．不计粒子重力，求：(1)两板间电压的最大值Um；(2)CD板上可能被粒子打中的区域长度x；(3)粒子在磁场中运动的最长时间tm.第十九页，共三十页，2022年，8月28日主题二、“三角形”有界磁场中的临界问题例题4．解:(1)M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，所以圆心在C点，如图所示．CH＝QC＝L，故半径R1＝L又得(2)设轨迹与CD板相切于K点，半径为R2在△AKC中：因为所以得因KC长等于

，所以，CD板上可能被粒子打中的区域长度x为HK：(3)打在QE段之间的粒子在磁场中运动时间最长：第二十页，共三十页，2022年，8月28日

“圆形磁场区”情景下的临界问题1、画圆弧轨迹；2、确定圆心；3、建立三角形；1、注意对称性特点；2、学会作辅助线。第二十一页，共三十页，2022年，8月28日例6．（2012，揭阳调考）如图，相距为R的两块平行金属板M、N正对放置，s1、s2分别为M、N板上的小孔，s1、s2、O三点共线且水平，且s2O＝R。以O为圆心、R为半径的圆形区域内存在大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。收集板D上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为2R，板两端点的连线垂直M、N板。质量为m、带电量为＋q的粒子，经s1无初速进入M、N间的电场后，通过s2进入磁场。粒子重力不计。(1)若粒子恰好打在收集板D的中点上，求M、N间的电压值U；(2)求粒子从s1到打在D的最右端经历的时间t。第二十二页，共三十页，2022年，8月28日解：(1)粒子从s1到达s2的过程中，根据动能定理得粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有当粒子打在收集板D的中点时，粒子在磁场中运动的半径r＝R解得：第二十三页，共三十页，2022年，8月28日(2)根据几何关系可以求得粒子在磁场中运动的半径

，得粒子进入磁场时速度的大小粒子在电场中经历的时间粒子在磁场中经历的时间粒子出磁场后做匀速直线运动经历的时间粒子从s1到打在收集板D上经历的时间为第二十四页，共三十页，2022年，8月28日

例7．核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内，通常采用磁约束的方法(托卡马克装置)。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内，设环状磁场的内半径为R1＝0.5m，外半径R2＝1.0m，磁感应强度B＝1.0T，若被束缚带电粒子的比荷为q/m＝4.0×107C/kg，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，试求：(1)若粒子沿环状的半径方向射入磁场，则不能穿越磁场的最大速度为多大？(2)若粒子速度方向不受限制，则粒子不能穿越磁场的最大速度为多大？第二十五页，共三十页，2022年，8月28日主题三、“圆形”有界磁场中的临界问题解析：(1)轨迹如图(甲)所示。设粒子的轨道半径为r1.由几何知识得r12＋R12＝(R2－r1)2得r1＝0.375m由牛顿第二定律得v1＝1.5×107m/s要使粒子不能穿越磁场的最大速度为v1＝1.5×107m/s图（甲）第二十六页，共三十页，2022年，8月28日主题三、“圆形”有界磁场中的临界问题(2)设粒子的轨道半径为r