人教版不等式期中复习讲义

不等式期中复习讲义

一、知识点

实数的运算性质与大小顺序之间的关系

a>b,aa-b>O

a<b—a-b<O

a=b<----aa一b=O

用途：a、比较两个fefe敏盥T攵劣数（代数式）大小的方法

b、证明不等桂瑛去

c、证明不等丘蛹撤军家御鳗算性质与大小顺序之间

的关系

•步骤：作差T形-*符号f结论

•作商法：作商-*变形判断商值与1的大

小关系（各项为正）

不等式的性质

①对称性：a>b=b>a

②传递性：a>b,b>c<=^a>c

③可加性：a>b=>a+c>b+c

④可积性：a>b,c>0=>ac>be；

a>b,c<0=>ac<be；

⑤加法法则:a>b,c>d=a+c>b+d

⑥乘法法则:a>b>0,c>d>0=>ac>bd

⑦乘方法则:a>b>0,an>bn(nEN)

⑧开方法则：a>b>0,n标>V^(«eN)

算术平均数与几何平均数定理：

（1）如果a、beR,那么a2+b2e2ab（当且仅当a=b时等号）

（2）如果a、b£R.，那么色心2痣（当且仅当a=b时等号）

2

推广：a^+b^

1、若a、b为实数，则⑴一万一羽〉

”)2>ab,(3)2(a2+b2)>(a+b)2,

(4)7a2+b2>^^当且仅当a=b时等号成立

ab

2、若ab>0,贝！］工+—22a=b等号成立

ba

3、若a、b都是正数,则

22

21一a+b/a+b一

-^-y<Jab<-^-<-J---a=b等节成h

-4-1

ab

4、设aCR,b>0,则⑴£/b，2a—b；(2)a7b^a-b/4o

重要结论

1)如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值29；

(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时，和xy有最大值S?/4。

•条件为“一正二定三相等”

-一正：各项都是正数

•二定：求和积定，求积和定

•.:相等：等号能成立

•当等号不成立时，利用下列函数求最值。

函数f(x)=x+—(a>0)在(0,VT］

X

上递增，在［VT,+8)上递减。

明不等式的常用方法

比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因

式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且

它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还

可以考虑作平方差。

综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲

证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。

分析法:不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件,

逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。

结论：已知a、b、m都是正数，且a<b,贝小色土白>色

b+mb

不等式的解法

(1)不等式的有关概念

同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不

等式。

同解变形：•个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同

解不等式，那么这种变形叫做同解变形。

提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形

去分母、去括号、移项、合并同类项

(2)不等式ax+b>0的解法

①当a>0时不等式的解集是｛x|x>-b/a｝；

②当a<0时不等式的解集是｛x|x<-b/a｝；

③当a=0时,b>0,其解集是R；bWO,其解集是d>。

(3)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

A=Z>2—4<7C△>0A=0△<0

二次函数

1/

f(x尸ax2+bx+cp.

(a〉0)的图象

10XTlx

一元二次方程

ax2+bx+c=Ob

x=----XG0

(a#0)的根x=------------2a

la

一元二次不等

式ax'bx+c〉。

X<X］或X>X2-bxER

(a>0)的解*2a

一元二次不等

式ax2+bx+cVO

.XG0XE0

阳<X<x2

(a>0)的解

(4)绝对值不等式

IxI<a(a>0)的解集是{xI—a<x<a},儿何表示为：

----------------------------------AaW0时结

-----!-------------------------——►\果如何？

-a0a

IxI>a(a>0)的解集是{xIx<—a或x>a},几何表示为：

—a0a

小结：解绝对值不等式的关键是一去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝

对值的不等式，通常有下列三种解题思路：(1)定义法：利用绝对值的意义，通过分类

讨论的方法去掉绝对值符号；(2)公式法：|f(x)|>aQgx)>a或f(x)v—a；|f(x)|<

a<=>—a<f(x)<a；(3)平方法：|f(x)|>a(a〉O)<=>^(x)>a2；|f(x)|<a(a>0)OF(x)

<a2；(4)几何意义。

分式不等式的解法

分式不等式的解法占1整式不等式组

>。。嘿阿强:o>。。嬷假《餐；

噎<。=«触e即S磊w°。/黑:叱朦:

里>0Qf(x)g(x)>0,罩<0Qf(x)g(x)<0

g(x)g(x)

坐20o/(x)g(x)20Jlg(x)#0

g(x)

一元高次不等式的解法

列表法解不等式的步骤

①整理把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式(首项系数化为正)

②求根求出f(x)=0的根(称为界点)

③列表按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应的各因式纵向排列(由

对应较小根的因式开始依次自上而下排列)

④解集根据所列表格，写出满足题目要求的不等式的解集

序轴标根法

把不等式化为f(x)>0(或V0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按

照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。

1、定义

含有绝对值的不等式0

lai|a|JavO

,_w一、,_W一,几何意义：数轴上表示实数a

a的点到原点的距离.

2、基本性质3、基本绝对值不等式的解集

(1)|(?|>0Ix|<a(<7>0)cx>(x|—

(2)|一3=闷Ix|>a(e7>0)o{x|x<-a或x>a}

(3)\a\^a

(4)|a|三一a

(5)一|a|WaW\a\性质中等号成立

(6)Ia•切=|a|•|b|的条件是什么？

(7)铲W。)

定理：|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|

•|a|-|b|W|a+b|

中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立

•|a+b|W|a|+|b|

中当且仅当abNO等号成立

推论1：Ia,+a2+a3|<Ia,|+|a21+|a3|

推广：Iai+a2+...+an|<Iai|+|a2|+…+1an|

推论2：|a|—|b|<|a—b|<|a|+|b|

二、常见题型

(一)利用不等式性质，判断其它不等式是否成立

1、a、bdR,则下列命题中的真命题是()C

A、若a>b,则|a|>|b|B、若a>b,贝ijl/a〈l/b

C、若a>b,贝Ua3>b3D、若a>b,则a/b>l

2、已知a〈0.-lvb<0,则下列不等式成立的是()D

A、a>ab>ab2B、ab2>ab>a

C、ab>a>ab2D、ab>ab2>a

3、当0〈avb<l时，下列不等式成立的是()D

A,(l-a)1/b>(l-a)bB,(l+a)a>(i+b)b

C、(l-a)b>(l-a)b/2D、(l-a)a>(l-b)b

4、若loga3>logb3>0,则a、b的关系是()B

A、0<a<b<lB、b>a>l

C、0<b<a<lD、l<b<a

5、若a>b>0,则下列不等式①l/a<l/b；®a2>b2；③lg(a、l)>lg(b、l)；④2。2b中成立

的是()A

A、①②③④B、①②③C、①②D、③④

(二)比较大小

1、若Ova<6〈n/4,sina+cosa=a,sinB+cos8=b,则()A

A^a<bB、a>bC、ab<lD、ab>2

2、a、b为不等的正数，nWN,则(a"b+ab")—(a"7+b"T)的符号是()C

A、恒正B、恒负

C、与a、b的大小有关D、与n是奇数或偶数有关

3、设l<x<10,则Ig'x,Igx；Ig(lgx)的大小关系是.lgx2>lg2x>lg(lgx)

4、设a>0,aWl,比较logat/2与log*(t+l)/2的大小。

比较、与吃的大小。

5、

VaVb

6^若a>1,比较M=Ja+1—6与N=痴一Ja—1的大小。

7^设a、b是不相等的正数，A="@,G=Vab,H=-——-——

21/a+1/b

试比较A、G、H、Q的大小。

分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后

用比较法(作差)即可。

(三)利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件

1、设x、yeR,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系

⑴命题甲：x〉0且y>0,命题乙：x+y>0且xy>0充要条件

⑵命题甲：x>2且y>2,命题乙：x+y>4且xy>4充分不必要条件

2、已知四个命题，其中a、bSR

①a2〈b?的充要条件是|a|<|b|；②a2<b2的充要条件是Ia[?<|b]々③a2<b?的充要条件是(a+b)

与(a-b)异号；④a'Vb'的充要条件是(|a[+|b|)与(山|一[b|)异号.其中真命题的序号是

3、“a+b>2c”的一个充分条件是()C

A、a>c或b>cB、a>c或b<cC、a>c且b>cD、a>c且b<c

(四)范围问题

1、设60VaV84,—28Vb<33,求：a+b,a-b,a/b的范围。

2、若二次函数产f(x)的图象过原点，且iWf(-l)W2,3Wf(l)W3,求f(-2)的范围。

(五)均值不等式变形问题

1、当a、beR时，下列不等式不正确的是()D

A、a2+b2>2|a|»|b|B、(a/2+b/2>>ab

22222

C、(a/2+b/2)^a/2+b/2iog1/2(a+b)>logi/2(2|a|«|b|)

2、x、ye(O,+8),则下列不等式中等号不成立的是()A

11

AA、xH----1----------N2B4--)•(y4--)>4

X.1

x+—xy

C、(x+y)(l/x+l/y)24D、(lgx/2+lgy/2)2^lg2x/2+lg2y/2

3、已知a>O,b>O,a+b=L则（1公-1）（1乃2—1）的最小值为（）D

A、6B、7C、8

4、J知a>0,b>0,c>0,a+b+c=l,求证：l/a+l/b+l/c，9

,八.八八,八生、-ad+bcbc+ad、A

5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：--------1------------>4

bdac

（六）求函数最值

1、若x>4,函数y=-x+—」一，当乂二时，函数有最—值是

4-x

5、大、一6

2、设x、y£R,x+y=5,则3乂+3丫的最小值是（）D

A、10B、673C、4A/6D、18百

3、下列各式中最小值等于2的是（）D

A、x/y+y/xC、tana+cotaD、2x+2-x

4、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求（a+cy+（b+d）2的最小值。

5、已知x>0,y>0,2x+y=l,求1/x+l/y的最小值。

（七）实际问题

1、98（高考）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm的无盖长方

体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am,高度为bm,

己知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2,问当

a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不

计）。

解一：设流出的水中杂质的质量分数为y,

山题意产k/ab,其中k为比例系数（k>0）

据题设2X2b+2ab+2a=60（a>0,b>0）

.30—a

・•・b=-------

2+〃

由a>0,b>0可得0<a<30

kk

y=-=---------丁

ah30。一。~

2+a

令t=2+a,则a=t—2

从而

3^=30(z-2)-(z-2)-=34/-^-64=34_(r+^^34_2j^=18

当且仅当t=64/t,即t=8,a=6时等号成立。.,.y=Vab>k/18

当a=6时,b=3,

综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

解二：设流出的水中杂质的质量分数为y,由题意产k/ab,其中k为比例系数(k>0)

要求y的最小值，即要求ab的最大值。

据题设2X2b+2ab+2a=60(a>0,b>0),即a+2b+ab=30

a+2b>2缶3(当且仅当a=2b时等号成立)

ab+2V2ab<30,解得一5a4疝W3血

即0<abW18,由a=2b及ab+a+2b=30解得a=6,b=3

即a=6,b=3时，ab有最大值，从而y取最小值。

综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

2、某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面I口墙建造平面图形为矩形，面积为126

米2的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用为a/4元;

③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：⑴利用

旧墙的一段x(x<14)米为矩形厂房的一面边长；⑵矩形厂房的一面长为x(x214).问如

何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？⑴⑵两种方案哪种方案最好？

解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，则另一边长为126/x米。

⑴若利用旧墙的段x米(x〈14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x・a/4元，剩余

的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x)-a/2元，其余的建新墙的费用为(2x+2-126/x

—14)・a元，故总费用

a14-x-252，八_.x36八

y=—x4--------a+a(2xd---------14)=7a(—H-------1)

42x4x

x36、/

v-+—>6,

4x

当且仅当x=12时等号成立，；.x=12时ymin=7a(6—l)=35a。

⑵若利用旧墙的一段x米(xN14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x-a/4元，建

新墙的费用为(2x+2726/x-14)・a元，故总费用

az_2521八7/126

y=x+a(2x+-14)=Q+2Q(X+-7)

4x2x

x+126N2“记，当X=VT国1寸等号成立，但后<14等号不成立。

X

设f(x)=x+126/x,X2>X]214,则f(x2)—f{xi)=X2+126/x2—(xi+126/xi)

=M—Xi)(l—126/X]X2)>0・・・f00=x+126/x在[14,+8)上递增，

Ax=14时ymin=7a/2+2a(14+126/14-7)=35.5a

综上所述，采用方案⑴，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。

(八)比较法证明不等式

1、已知a、b、m、n£R:证明:amhn+bm+n^ambn+anbm

变：已知a、b£R：证明：a3/b+b3/a>a2+b2

2、已知a、bR+,f(x)=2x2+1,a+b=1,iiE：对任意实数p、q恒有a・f(p)+b・f(q)2f(叩十bq)

(九)综合法证明不等式

,、，十人山由，心一必-、丁b+c-aa+c-ba+b-c-

1、已知a、b>c为不全相等的正数，求证：---------1---------------1-------------->3

abc

2、已知a、b、c£R,且a+b+c=l,求证：a2+b2+c2^l/3

3、已知a、b、c为不全相等的正数，且abc=l,求证：

&+4b+Vc<—+—+—

abc

4、已知a、b^R,a+b=l,求证：J〃+l/2+"+l/2W2

(十)分析法证明不等式

1、L_L知a、b>c为不全相等的正数，求证：bc/a+ac/b+ab/Oa+b+c

2、已知函数f(x)=lg(l/x—1)凶、X2£(0,l/2),且X1Wx2,求证：

/(X|)+/(」)〉,(项+修)

3、设实数x,y满足y+x2=0,0〈avl,求证：loga(aX+a')Wloga2+l/8

(十一)反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式

1、设f(x尸x?+ax+b,求证：|f(l)l、网2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。

2、若x2+y2^l,求证Ix2+2xy—y2|WA/2.

114

3>已知a>b>c,求证：------1--------->--------

a-bb-ca-c

4、已知a、b、c^R,且a+b>c求证：——I-------->C.

1+Q14-/71+c

5、已知a、b、cGR,证明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)>0,并指出等号何时成立。

分析：整理成关于a的二次函数f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2

*/A=(c+3b)2—4(3b2+3bc+c2)=-3(b2+2bc+c2)<0

.-.f(a)>0

6、已知：x'—2xy+y‘+x+y+1=0,求证：l/3(y/xW3

7、在直角三角形ABC中，角C为直角，n22且nGN,求证：c">an+bn

8、设an=Jl.2+J2.3+V3•4+…+Jn(n+1)(nGN)

求证:胞里1<<鱼里£对所有正整数n都成立。

22

(十二)解不等式

123

1、解不等式：——+——<-----

x+1x+3x+2

a-x

2、解关于x的不等式：,>0

x~_x—2

(十三)不等式应用

不等式的应用主要有三个方面：一是能转化为求解不等式(组)的有关问题(如求函数

的定义域、讨论一元二次方程的根的分布等)；二是能转化为不等式证明的有关问题(如

证明函数的单调性)；三是能转化为重要不等式的极端情形解决的最值问题。

1、已知f(x)的定义域是(0,1],则函数y=/(lg±『)的定义域是o

[—5,—2)U(1,4]

2、已知不等式ax'bx+c>。的解集是｛x[a<x<3)(0<a<p)，求不等式cx°+bx+a<0的解集。

X

3、设/'(x)=」2一(x20).⑴求证：f(x)是减函数；⑵求f(x)的值域。

1+4'

4、由于对某种商品实行征税，其售价比原价上涨斓，涨价后商品卖出量减少二上％,

100

已知税率为销售金额的20%.

⑴为实现销售金额和扣除税款的余额y不比原销售金额少，求上涨率x%的取值范围；

(2)x为何值时，y最大？(保留一位小数)

解：设原价为a,销售量为b,则

y=a(l+x%)x&(1-襦%)x(l-20%)=ab{\+x%)(l-襦%)x80%

y>曲(1+x%)(l-襦%)X80%>1

整理得：36(X%)2-64(X%)-25<0,/.0<x%<吁闻

18

⑵y=ab(l+x%)(y-x%)x80%=杀ab(\+x%)(y-x%)

25丫

1+x%-i----x%

二曳ab9

1252

7

当且仅当l+x%=25/9—x%,即x%=8/9.，x=88.9时y最大。

(十四)恒成立问题

1、若不等式a<lg(|x-3|+|x—7|)对于一切实数x都成立，则实数a的取值范围是()

A、a>lB、a>lC、0<aWlD、a<l

2、关于x的不等式2x—l>a(x—2)的解集为R,求实数a的取值范围。

3、如果关于x的不等式厚丝<1的解集总包含了区间(1,2］,求实数a的取值范围。

lg(«+X)

解：山题设可知，原不等式在(1,2］中总成立，，a>0且a+x>l

原不等式等价于lg(2ax)<lg(a+x),等价于2ax<a+x,等价于(1-2a)x+a>0

设f(x)=(l-2a)x+a,则Rx)>0在(1,2］中总成立,故有

产32/3

L7(2)>0l2(l_2a)-ra>0

3r2+2x+2

4、设对x£R有)恒成立,试求n的值。

X+X+1

分析：原不等式等价于(3-〃)」+(2-")x+(2-〃)》

x2+X+1

由题意不等式(1)的解集为R

又x?+x+l恒大于零,所以不等式(1)等价于(3—n)x2+(2—n)x+(2—n)>0(2)故

不等式(2)的解集为R,从而有

<3一打>0

1A=(2—H)2—4(3一汽)(2—冏)VO

目(if“<3

”(n-2)(n-10/3)>0

所以nV2,又口£?4,所以n=O或1

5、若f(x)=(m2-l)x2+(m+l)x+l>0对于一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

「乙r业Jz»z、X~+2X+O

6、已知函数/(x)=----------------

x

(1)当a=l/2时,求函数f(x)的最小值;

⑵若对任意x£[1,+8),f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围。

(十五)绝对值不等式定理中等号成立的问题

1、解关于X的不等式|x+k)g2X|=X+|log2X|

2、证明：|x+l/x|22

(十六)绝对值不等式的证明

1、设a£R,函数f(x)=ax?+x—a(—IWxWl).

⑴若|a|W1,求证|f(x)|W5/4；

⑵若函数f(x)有最大值17/8,求实数a的值。

2、已知|x-a|V£/2a,|y-b|V8/2|a|,且OVyVA,求证：|xy-ab|<£

3、求证.I&+MwH+.

皿l+|a+b|l+|a|l+|b|

证一：《直接利用性质定理)

当仁+勿=。时，不等式成立

当|0+划工0时，---\a+b\^\<^+|*|

-―1—三_1__

•■切一囱+囱

-3切=1y1

-i+li__J_+「L+i

•勿囱+画

=回+|切V囱囱

1+|口|+网~1+|闵1+田|

证二（利用函数的单调性）

研究函数笈）=*^在八0时的单调性

设了2＞勺＞0

Xi-r2

则#2）一式X。-~~--<0

l+r21+Xj(1+r2)(1+X])

.•./r）=-^5（0,+oo）是噌函数

l+x

:明w同+0|

.••/（a却w/3+即

都用切v口+回

1+阶必、l+|a|+0|

.1+Mv冏।IM

••1+依+2＞广l+|a|l+|b|

（十七）探索性问题

1、是否存在自然数k,使得不等式」一+'+」一+…+—1—＞2%-5对一切

n+1〃+2〃+33〃+1

正整数n都成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由。

解：令

/(〃)=——+—--+…+——,对任意的〃£N+

〃+1〃+23n+1

乙八一,、1111112

f(〃+1)-f(/?)=---------1------------1--------------------=-----------1----------------------

3〃+23〃+33〃+4及+13鹿+23〃+43〃+3.・.

=_________?_________>0f(n+l)>f(n),即f(n)在N+上是增函数，，f(n)的最

3(n+4)(〃+2)(〃+3)小值是f(l)

又f(1)=1/2+1/3+1/4=13/12

故对一切正整数n使得f(n)>2a-5的充要条件是13/12>2a-5,.\a<73/24

故所求自然数a的最大值是3。

2、已知抛物线产f(x尸ax?+bx+c过点(-1,0),问是否存在常数a、b、c,使得不等式x

Wf(x)W(1+X2)/2对于一切实数x都成立？

解：假设存在常数a、b、c,使得xWf(x)W(l+x2)/2对一切实数x恒成立，

令x=l有lWf(l)Wl,=即a+b+c=l①

•抛物线过点(―1,0)，a—b+c=0②

解①②得：b=l/2,c=l/2-a,Af(x)=ax2+x/2+l/2-a

由xWf(x)W(l+x2)/2得2xW2ax，x+l—2aWl+x?

即有不等式组优二签。的解集为K

ra>0

.J1-8<J(1-2a)40肥j(4a-1)<0

,,|2a-l<0国5-1)：>O

“+8a(%-l)<0

a=l/4,

三、数学思想与方法

(一)分类讨论的思想：

1、设f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,其中x>0且x#1,试比较f(x)与g(x)的大小。

x—a

2、解关于x的不等式<0

(x+l)(x-l)

分析：①当a<—1时，原不等式的解集为｛x|xWa或一

②当一l<a〈时，原不等式的解集为｛x|xV-1或aWx<l｝

③当a>l时，原不等式的解集为｛x|xV-l或IVxWa｝

④当a=l时，原不等式的解集为｛x|x<-l｝

⑤当a=—1时，原不等式的解集为｛x|x<l且xW-1｝

(二)数形结合的思想

1、关于x的方程x2—x—(m+l)=0只在上有解，则实数a的取值范围是()

A、［-5/4,+°°)B、(-5/4,-1)C、［-5/4,1］D、(-°°,13

2、设k、a都是实数，关于x的方程|2x—l|=k(x—a)+a对于一切实数k都有解，求实数

a的取值范围。

3、已知OVaVLOVbVl.求证：

商*后了■尸++。-豆+#1-了+0-.尸》2版

分析观察待证式左端，它的每个根式都使我们想到Rt^ABC中的等式

激起我们构造平面图形利用几何方法证明这个不等式的大胆想法.

如图27-3,作边长为1的正方形ABCD,分别在AB、AD上取AE=a,AG=b,过E、G

分别作AD、AB的平行线，交CD、BC于F、H,EF、GH交于0点.由题设条件及作图可知,

△AOG、△BOE、ACOF.ADOG皆为直角三角形.

.OA-6+7*08.•一了+巩

OC=1+(l-A)\OD.旧+QT尸.

再连结对角形AC,BD,易知AC=BD=£,OA+OOAC,OB+OD2BD,

+中中+0叫1+函一1+。5220

图27-3

(三)函数与方程的思想

1、函数f(x)=lg(x2+ax+l)的值域为R,求实数a的取值范围。

1+2]+3”+47

2、已知/(x)=lg---------------,若f(x)在(一8,1]有意义，求实数a的取值范

4

围。

3、设不等式0^2—2乂〈01—1对于满足|111三2的一切实数111都成立，求x的取值范围。

分析：设f(m)=(x2—1)m+2x—1,则对于满足|m|W2的一切实数m都有Rm)V0

・・・出一2)<0且f(2)<0

4、已知x、y、z£(0,1),求证：x(l—y)+y(1—z)+z(l—x)<1

证明：构造函数f(x)=x(l—y)+y(1—z)+z(l—x)—1

即f(x)=(1—y—z)x+y(1—z)+z—1

当1—y—z=0,即y+z=1时，

f(x)=y(1—z)+z-1=y+z—1—yz=­yz<0

当1—y—Zw。时，f(x)为一次函数，又xe(0,1),由一次函数的单调性，只

需证明f(0)<0,f(l)<0

:y、ze(0,1)

/.f(0)=y(1—z)+z—1=(y—1)(z—1)<0

f(1)=(1—y—z)+y(1—z)+z—1=­yz<0

.•.对任意的xG(0,1)都有f(x)<0

即x(l—y)+y(1—z)+z(l—x)<1

(四)转化与化归思想

1、关于x的方程44(m—3)・2x+m=()有两个不等的实数根，求实数m的取值范围。

(五)换元的思想

1、解不等式：J2x+5>x+1

变：关于X的不等式Jax+5〃的解集为[—5/2,2),求实数a、b的值。

2、

(六)1的代换

1>已知a、bWR+,a+b=l,x>y£R,求证：ax^by2(ax+by)2

2、已知x、y都是正数，a、b都是正常数，且a/x+b/y=L求证：

x+y>(y/a+7K)2

3、已知x、y都是正数,且x+y=l,求证：(1+l/x)(l+l/y)29

4、已知x、y£R；且1/x+9/y=1,求x+y的最小值。

5、若0VxVl,a>0,b>0,求a/x+b/(l—x)的最小值是。

6、已知a,b是正数，且a+b=l,求证：(ax+by)(ay+bx)2xy

分析：:a,b是正数，且a+b=l

(ax+by)(ay+bx)=a2xy+abx2+aby2+b2xy

=(a2+b2)xy+