高考热点强化三角函数与解三角形

#/115.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60。，b=3.7AD为BC边上的中线，若AD=2,则AABC的面积为（）B.AB.C.15ZD.[如图，设CD二DB二x则cosZADC二ADC.15ZD.[如图，设CD二DB二x则cosZADC二AD2+DC2-AC22ADDC2X#.xX27xcosZADB=AD2+DB2-AB22・xX^2AD・DBX2+TZADC+ZADB=180°，31・••①+②二0»=2x2+亍③VZCAB=60°，BC2=AC2+AB2-2AC・ABcosZCABO（2x）2=C2+32-2cX3X*=C2+9-3c.④③④联立得：c2+3c-40=03c=5（c=-8舍去）；.'.△ABC的面积为^bcsinZCAB=^.故选B.]6.（2021・全国卷乙）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高•如图，点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海

岛的咼AB=（）B表高X表距表高表目距的差—表高cim+表距r表高X表距丰出B表高X表距表高表目距的差—表高cim+表距r表高X表距丰出D*表目距的差—表距FGGCFG［因为FG//AB,所以gc=fg•CA.因为DE/AB，所以Af二AH所以EH二AB•AH.又DE二FG所以GC-EH=盟(CA-AH)=A|XHCDEDE二AfX（HG+GC）=AfX（EG-EH+GC）•由题设中信息可得，表目距的差为表高GC-EH，表高为DE，表距为EG，则上式可化为，表目距的差二_ABX（表距+表目距的差），所以AB二+表目距的差），所以AB二表目距的差X（表距+表目距的差）=表目距的差+表高，故选A•]7.（2021.山东潍坊模拟）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文（2a2—b2\2\字写成公式，即4_c2a2——2—J\（S为三角形的面积，a，b，c为三角形的三边）.现有△ABC满足sinA:sinB:sinC=2:3:寸7且△ABC的面积S理bc=6百，贝V下列结论正确的是（）△ABC的周长为10+2、刁；△ABC的三个内角A，C，B成等差数列；△ABC的外接圆半径为役尹;©△ABC的中线CD的长为3“池.

TOC\o"1-5"\h\zA.①②B.①③C.①③④D.②③④A[对于①，设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为sinA:sinB:sinC二2：3：、..门，所以由正弦定理可得a：b：c二2：37,设a=2t,b=3t,c二、/7t(t>0),因为$會=頤，所以叩=\*7t2X4t2-(7化+,解得t=2,则a=4,b=6,c=2J7,故△ABC的周长为10+20,①正确;16+36-28=]2X16+36-28=]2X4X6=2对于②，因为cosC==所以C=3,A+B=n-n=2n=2C,故△ABC的三个内角A,C,B成等差数列，②正确;对于③，因为C=彳，所以sinC=斗3,③错误;由正弦定理得2人=宀=^7=^,r=^sinC寸33③错误;16+16+28-36=羽2X4X2.戸14a2+c2-b2对于④，由余弦定理得cosB=——2ac在△BCD中BC=4,BD二、门,由余弦定理得cosB=16+由余弦定理得cosB=16+7-CD2=^72X4X羽14解得CD=阿④错误做选A.]n8.(2021・广东高三二模)将函数f(x)=sinx的图象向右平移石个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的£⑹＞0)，得到函数g(x)的图象.若g(x)在［0，n］上的值域为一2，1，则下列结论正确的是()g(x)在［0,n］上有两个零点；g(x)在［0，n］上有两个极值点；ng(x)在区间［o,2」上单调递增；_24_少的取值范围为3，3-A.①②B.③④C.②③④D.①③④B［将函数f(x)=sinx的图象向右平移6个单位长度后，函数的解析式为y二sin卜-，再将曲线上各点的横坐标变为原来的1⑹＞0)，得到函数g(x)二-6］，又用［0,n］,所以-亦-6Wen-6，又g(x)在10,兀"上的值域为［-2，1］，所以共蚀-器普，解得|&W，故④正确;当少二2时，则-器nn曲-则-器nn曲-6W2此时&(兀)在［0,丿上只有一个零点，故①不正确；并且处春-6,2时，g(x)单调递增，故②不正确;兀-2/兀-2/0x兀厶

兀U-eW兀V少-6,当2<^<4|时，-6&x-昇,所以函数g(x)在区间［o,2］上单调递增，故③正确•故选B.］9.设当x=0时，函数f(x)=sinx+、/3cosx取得最大值，则tang+f2+适「fx)=sinx+/3cosx=2sin(x+3I,当x=O时，函数f(x)取得最大值，・：0+3=2+2kn，k$Z，A^=6+2kn，keZ，・・仙2+却勺7尹2阮+彳勺屮扌+彳1+圣匚二2+、,3]1-310.(2021・郑州三模)已知sin(g—aj=3，则sin2a+cos2a=竽[因为sin(8-a)=|所以cos&8-ajj=1-2血(8-aj=i-9=7又cosM8-ajj=cosff-2a二*cos2a+#sin2a,所以乎(cos2a+sin2a)二9，贝sin2a+cos2a二792.]11.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB,BA・BC=2,则AABC的面积为.2\；2［因为bcosC=3acosB-ccosB,由正弦定理得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,所以sin(B+C)=3sinAcosB.又sin(B+C)二sin(nA)=sinA,所以sinA=3sinAcosB,又sinAHO,解得cosB=1,所以sinB二屮-cos2B二、；；1-1=232.由BA.BC=2,可得cacosB=2,解得ac=6.所以S^ABC=2。°sinB=*X6X=2护•]12.(2021・湖南长郡中学二模)如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB=AC,ZBAC=90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设ZAOB=0.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为.(10000/5+25000)m2［在AOAB中，TZAOB=3,OB=100,OA=200,/.AB2=OB2+OA2-2OB・OA・cosZAOB，即AB=1005-4・cos3,

•:S四边形OACB一S^OAB+S^ABC二1.OA.OB-sin0+*・AB2・・・S四边形・・・S四边形OACB二1002X(sin6-2cos0+2则S四边形oacb=1002V5sin(6-0)+2，・••“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10000舟+25000)m2.］13.(2021・福建龙岩六校模拟)①函数f(x)^^sinf^xjcosfyxj+2cos2[2x(e>0),1(处n②函数fx)=2sin(ex+0)”>O,01<寸的图象向右平移12个单位长度得到g(x)的图象，g(x)的图象关于原点对称.在这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答：n“已知，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2•”(1)求f(6］的值;⑵求函数fx)在［0,n］上的单调递增区间.［解］(1)选择条件①：f(xf(x)=害singxjcosgx1+^COS2即有:fx)=sin亦+4又因为fx)相邻两对称轴之间距离为£，则周期为n,从而少二2,从而f(从而f(x)=2sin〔2x+612.选择条件②：依题意，fx)相邻两对称轴之间距离为£,则周期为n,从而少二2,11<nfx)二2sm(2x+p),g(x)二2smI2x+^-6又g(x)又g(x)的图象关于原点对称，则g(0)二0,兀-6一一从而f(x)=2sin[2x+6)，f(61=l-(2fx)=(2fx)=jsin2x+6)，令2kn-2^2x+6^2kn+2，k$Z，解得用加-3，阮+6，kez，从而f(x)在o,n上的单调递增区间为0，6］，愕，兀.14.(2021.武汉3月模拟)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B—3，b=\；6.2若cosAcosC—3，求△ABC的面积；试问a+-C—1能否成立？若能成立，求此时△ABC的周长；若不能成立,L4-V请说明理由.［解］⑴由B罟，得A+C=n,cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC,即1=cosAcosC-sinAsinC.2cosAcosC二23sinAsinC=6«…a•s