复变函数傅立叶变换

复变函数傅立叶变换第一页，共五十六页，2022年，8月28日所谓积分变换,就是把某函数类A中的函数(象原函数)乘上一个确定的二元函数,然后计算积分,即这样变成另一个函数类B中的函数(象函数).根据选取的二元函数(核函数)不同,就得到不同名称的积分变换.第二页，共五十六页，2022年，8月28日7.1傅里叶变换的概念与性质第三页，共五十六页，2022年，8月28日41、

连续或只有有限个第一类间断点2、

只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.在高等数学中学习傅里叶级数时知道，研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即在区间[-T/2,T/2]上第四页，共五十六页，2022年，8月28日5因此,任何满足狄氏条件的周期函数

,可表示为三角级数的形式如下:第五页，共五十六页，2022年，8月28日6而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:其中第六页，共五十六页，2022年，8月28日7如图所示:1-1otf(t)1第七页，共五十六页，2022年，8月28日81-13T=4f4(t)t现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则第八页，共五十六页，2022年，8月28日9第九页，共五十六页，2022年，8月28日10第十页，共五十六页，2022年，8月28日11sinc(x)x第十一页，共五十六页，2022年，8月28日12w第十二页，共五十六页，2022年，8月28日131-17T=8f8(t)t第十三页，共五十六页，2022年，8月28日14第十四页，共五十六页，2022年，8月28日15w第十五页，共五十六页，2022年，8月28日16w第十六页，共五十六页，2022年，8月28日17第十七页，共五十六页，2022年，8月28日18第十八页，共五十六页，2022年，8月28日19第十九页，共五十六页，2022年，8月28日20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)第二十页，共五十六页，2022年，8月28日21第二十一页，共五十六页，2022年，8月28日22{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w第二十二页，共五十六页，2022年，8月28日23第二十三页，共五十六页，2022年，8月28日24此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式,而等号右端的积分式称为的傅里叶积分(简称傅氏积分).第二十四页，共五十六页，2022年，8月28日

若函数在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只有有限个第一类间断点；(2)至多有有限个极值点）,并且在上绝对可积，则有：

为连续点为间断点第二十五页，共五十六页，2022年，8月28日26第二十六页，共五十六页，2022年，8月28日27最后这个式子就是傅里叶积分的三角形式第二十七页，共五十六页，2022年，8月28日也叫做的傅氏积分表达式

如果函数满足傅里叶积分定理,由傅里叶积分公式,设叫做的傅氏变换,象函数,可记做

=ℱ[]叫做的傅氏逆变换,象原函数,=ℱ第二十八页，共五十六页，2022年，8月28日解第二十九页，共五十六页，2022年，8月28日解这个指数衰减函数是工程技术中常遇到的一个函数

tf(t)第三十页，共五十六页，2022年，8月28日若上式右端为于是第三十一页，共五十六页，2022年，8月28日

在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.第三十二页，共五十六页，2022年，8月28日（1）看作矩形脉冲的极限（2）函数的数学定义（3）物理学家狄拉克给出的定义满足下列两个条件的函数称为函数：Ⅰ

Ⅱ

第三十三页，共五十六页，2022年，8月28日1函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图o定义为满足下列条件的函数如下图1第三十四页，共五十六页，2022年，8月28日（1）对任意的连续函数,都有

（2）函数为偶函数,即

第三十五页，共五十六页，2022年，8月28日（3）其中,称为单位阶跃函数.反之,有.Otu(t)第三十六页，共五十六页，2022年，8月28日由于

=ℱ可见,

ℱ[]=1,ℱ-1[1]=.

与常数1构成了一个傅氏变换对,即与也构成了一个傅氏变换对,即第三十七页，共五十六页，2022年，8月28日例4

可以证明单位阶跃函数的傅氏变换为的积分表达式为pwO|F(w)|第三十八页，共五十六页，2022年，8月28日例5证明的傅氏变换为证明=ℱ所以第三十九页，共五十六页，2022年，8月28日例6

求正弦函数的傅氏变换可以证明ℱℱpp-w0w0Ow|F(w)|tsint第四十页，共五十六页，2022年，8月28日1线性性质ℱ=ℱ设为常数则=ℱ

ℱ这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.第四十一页，共五十六页，2022年，8月28日若=ℱ则以为自变量的函数

的象函数为

即ℱ

ℱ3相似性质=ℱ若则ℱℱ第四十二页，共五十六页，2022年，8月28日若=ℱ为实常数,则ℱℱ（1）象原函数的平移性质第四十三页，共五十六页，2022年，8月28日例7

求ℱℱ解因为所以ℱ第四十四页，共五十六页，2022年，8月28日若=ℱ为实常数,则ℱℱ第四十五页，共五十六页，2022年，8月28日例8已知ℱ求ℱ解ℱℱ显然一般地ℱ第四十六页，共五十六页，2022年，8月28日且则若=ℱℱ一般地,若ℱ则ℱ（1）象原函数的微分性质第四十七页，共五十六页，2022年，8月28日例9证明ℱ证明因为所以ℱℱℱ一般地ℱ第四十八页，共五十六页，2022年，8月28日若=ℱ则ℱ或ℱ例10已知ℱ求ℱ解ℱ第四十九页，共五十六页，2022年，8月28日若=ℱℱ则在这里必须满足傅氏积分存在定理的条件,若不满足,则这个广义积分应改为ℱ第五十页，共五十六页，2022年，8月28日7.2傅里叶变换的应用第五十一页，共五十六页，2022年，8月28日在频谱分析中,傅氏变换

又称为的频谱函数,而它的模

称为的振幅频谱(亦简称为频谱).由于w是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱.可以证明,频谱为偶函数,即第五十二页，共五十六页，2022年，8月28日53f(t)单个矩形脉冲的频谱函数为:tE-t