医用高等数学第2-3导数的应用

函数的微分—导数的应用第三节3.函数极值与最值1.洛必达法则2.函数的单调性1.洛必达法则函数之商的极限导数之商的极限

转化(或型)研究思路:洛必达法则未定式(未定型或不定型):(1)型存在(或为)定理1.(洛必达法则)则设f(x),g(x)满足：注1.定理1中换为下列过程之一:注3.若条件,则洛必达法则注2.使用洛必达法则时，验证3个条件；例1.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必达法则!洛洛例2.求解:原式洛(2)型存在(或为∞)定理2.(洛必达法则)则设f(x),g(x)满足：例3.求解:原式=洛洛例4.求解：洛例5.求解:原式？(极限不存在)正确解法为原式故原极限也不存在。×(3)其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例6.求解:

原式解:原式例7.求通分转化取倒数转化取对数转化洛例8.

求解:

通分转化取倒数转化取对数转化洛练习求

练习求应注意的问题：1．本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定理条件满足时，所求的极限当然存在(或为)，但定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在。

2．洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。

例．求xxxxxsintanlim20-。

应注意的问题：2.函数极值与最值若在(a,b)内定理1.

设函数[a,b]内单调递增(递减).在[a,b]内连续,(1)单调性在(a,b)可导,则函数f(x)在例9.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为于是判断函数单调性的方法为:练习:例10.当x>0时，试证证:设故[0,+∞)上f(x)是单调增加，则称为的驻点.在其中当时,(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点

,称为函数的极小值

.极大值点与极小值点统称为极值点

.(2)极值若定义：注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)1)函数的极值是函数的局部性质.例如,为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,函数(必要条件)定理(极值第一判别法)且在x0的某去心邻域内可导,(1)“左正右负”(2)“左负右正”时,当而当时,时,当而当时,(3)若在点x0的某去心邻域内,求极值的步骤:与不可导点；求函数的极值.例11.解:驻点附近的符号变化的情况:因此无极值极大值极小值定理(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.例12.求函数的极值.解:

1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.练习：求函数的极值.解:+-极大值-+极小值(3)最大值与最小值则f(x)在最值出现在：驻点、不可导点、区间端点.求函数最值的方法:(1)求在内的驻点和不可导点(2)

最大值最小值闭区间[a,b]上必有最大值和最小值.定理：例13.解：①求导②求驻点、不可导点：驻点为不可导点为③计算这些点的函数值，求最大值和最小值：例13(续).解：

作业

练习题2.3(P56):2,3,4

复习题2(P58):7，8思考与练习1.

设是未定式极限,如果是否的极限也不存在?举例说明.极限不存在,原式分析:说明3)分析:3.原式～～洛则