利用建立坐标系解决抛物线型最值问题

利用建立坐标系解决抛物线型最值问题第一页，共二十五页，2022年，8月28日1课堂讲解建立坐标系解抛物线型建筑问题

建立坐标系解抛物线型运动问题2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升第二页，共二十五页，2022年，8月28日

当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处取得最

值．即当x＝－

时，y最值＝.当a＞0时，在顶点处

取得最小值，此时不存在最大值；当a＜0时，在顶点处取得

最大值，此时不存在最小值．（如下图）第三页，共二十五页，2022年，8月28日1知识点建立坐标系解抛物线型建筑问题知1－讲1．运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛(投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象

与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式；(4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．第四页，共二十五页，2022年，8月28日知1－讲3．易错警示：

(1)利用二次函数求最值，对于实际问题中的最值，

要注意自变量的取值范围．(2)建立平面直角坐标系时，要遵循以下两个原则：①所建立的坐标系能使求出的二次函数表达式比较

简单；②根据已知点所在位置建立坐标系求函数表达式比

较简单．（来自《点拨》）第五页，共二十五页，2022年，8月28日导引：由题意可知拱桥为抛物线型，因此可建立以O为坐标原

点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴的直角坐标

系，利用二次函数y＝ax2＋c解决问题．例1〈乌鲁木齐〉如图是一个抛物线型拱桥的示意图，桥的

跨度AB为100m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立

柱间的水平距离均为10m(不考虑立柱的粗细)，其中距A点10m处的立柱FE的高度为3.6m.(1)求正中间的立柱OC的高度．(2)是否存在一根立柱，其高度恰

好是OC的一半？请说明理由．知1－讲第六页，共二十五页，2022年，8月28日知1－讲（来自《点拨》）(1)根据题意可得正中间立柱OC经过AB的中点O，如图，

以O点为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y

轴，建立直角坐标系，则B点的坐标为(50，0)．∵OF＝OA－FA＝40m，∴E点的坐标为(－40，3.6)．

由题意可设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋c，∴y＝－

x2＋10.当x＝0时，y＝10，

即正中间的立柱OC的高度是10m.解：第七页，共二十五页，2022年，8月28日知1－讲（来自《点拨》）(2)不存在．

理由：假设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这

根立柱的高度是5m，则有5＝－

x2＋10，

解得x＝±25.由题意知相邻立柱间的水平距离均

为10m，正中间的立柱OC在y轴上，∴每根立柱上的点的横坐标均为10的整数倍．∴x＝±25与题意不符．∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半．第八页，共二十五页，2022年，8月28日总

结知1－讲（来自《点拨》）

本题运用待定系数法求二次函数y＝ax2＋c的表达式.第九页，共二十五页，2022年，8月28日1(2015·铜仁)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛

物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数

表达式为

y＝－

x2，当水面离桥拱顶的高度DO

是4m时，这时水面宽度AB为(

)A．－20mB．10mC．20mD．－10m知1－练（来自《典中点》）第十页，共二十五页，2022年，8月28日2(2015·金华)图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱

与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB

为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成

抛物线y＝－(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交

点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10m，则桥面

离水面的高度AC为(

)

A．16mB.mC．16mD.m知1－练（来自《典中点》）第十一页，共二十五页，2022年，8月28日例2

某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如

图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线对应的函

数表达式为y＝－

x2＋c且过点C(0，5).(长度单位：m)(1)直接写出c的值；(2)现因做庆典活动，计划沿拱桥的

台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地

毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元；(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H，G分别在抛物线的左右侧上)，并铺设斜面EG.已知矩形EFGH的周长为27.5m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度

数．(精确到0.1°)知1－讲第十二页，共二十五页，2022年，8月28日导引：(1)将点C的坐标代入计算即可；(2)首先应求出铺设

地毯的台阶的表面积，而求表面积的关键在于求得

所有台阶的水平和竖直的总长度，进而求得所需钱

数；(3)求出点G的坐标，在Rt△EFG中，利用三角

函数求∠GEF的度数．

解：(1)c＝5.(2)由(1)知OC＝5.令y＝0，即－

x2＋5＝0，

解得x1＝10，x2＝－10.∴地毯的总长度为AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)．∴30×1.5×20＝900(元)．∴购买地毯需要900元．知1－讲第十三页，共二十五页，2022年，8月28日(3)可设G的坐标为

其中a＞0，

则EF＝2am，GF＝

由已知得2(EF＋GF)＝27.5m，即2

解得a1＝5，a2＝35(不合题意，舍去)．当a＝5时，

＋5＝－×52＋5＝3.75，∴点G的坐标是(5，3.75)．∴EF＝10m，GF＝3.75m.在Rt△EFG中，tan∠GEF＝0.375，∴∠GEF≈20.6°.知1－讲（来自《点拨》）第十四页，共二十五页，2022年，8月28日总

结知1－讲（来自《点拨》）

本题实际上是一道函数与几何的综合题．主要考查根据题意和已知图形，利用数形结合思想、方程思想等来解决问题，是中等难度的试题．第十五页，共二十五页，2022年，8月28日3(中考·绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，

桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以

水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为

坐标原点时抛物线对应的函数表达式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时抛物线对应的函数

表达式是______________________．知1－练（来自《典中点》）第十六页，共二十五页，2022年，8月28日2知识点建立坐标系解抛物线型运动问题知2－讲例3〈一题多解〉如图，某灌溉设备的喷

头B高出地面1.25m，喷出的抛物线

型水流在与喷头底部A的距离为1m

处达到距离地面最大高度2.25m，试

建立恰当的直角坐标系并求出与该抛物线型水流对应

的二次函数关系式．导引：解决问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，把

实际问题中的长度转化为点的坐标，从而利用待定

系数法求二次函数关系式．第十七页，共二十五页，2022年，8月28日知2－讲解：方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物

线的顶点为O(0，0)，且经过点B(－1，－1)．于是

设所求二次函数关系式为y＝ax2，

则有－1＝a·(－1)2，得a＝－1.∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2.第十八页，共二十五页，2022年，8月28日知2－讲方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(0，2.25)，且抛物线经过点B(－1，1.25)．于是设所求二次函数关系式为y＝ax2＋2.25，则有1.25＝a·(－1)2＋2.25，解得a＝－1.∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2＋2.25.第十九页，共二十五页，2022年，8月28日知2－讲方法三：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(1，2.25)，且经过点B(0，1.25)．于是设所求二次函数关系式为y＝a(x－1)2＋2.25，则有1.25＝a(－1)2＋2.25，解得a＝－1.∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－(x－1)2＋2.25.（来自《点拨》）第二十页，共二十五页，2022年，8月28日总

结知2－讲（来自《点拨》）解决抛物线型问题，其一般步骤为：(1)建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标；(2)根据图象设抛物线对应的函数表达式；(3)根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用

二次函数的性质解题．在解题过程中要充分利用抛

物线的对称性，同时要注意数形结合思想的应用．第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日1某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平

地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，

水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：m)

的一部分，则水喷出的最大高度是(

)A．4mB．5mC．6mD．7m知2－练（来自《典中点》）第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日2小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－

x2

＋3.5的一部分(如图)，若命中篮筐中心，则他与篮底

的水平距离l是(

)A．3.5mB．4mC．4.5mD．4.6m知2