方向导数与梯黑塞矩阵与泰勒公式

§10.4方向导数与梯度及泰勒公式

10.4.1方向导数与梯度内容小结与作业10.4.2方向导数与梯度的性质及应用10.4.3黑塞矩阵与泰勒公式当前1页，总共42页。10.4.1方向导数与梯度1.方向导数的概念偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率.对于二元函数有在几何上，它们分别表示平面曲线及在点处的切线的斜率.当前2页，总共42页。(x0,y0)处沿某指定方向的变化率.下面我们来考虑二元函数在点定义若函数在点处沿方向u(方向角为存在下列极限:记作则称为函数在点P处沿方向u的方向导数.当前3页，总共42页。方向导数的几何意义表示曲线C在点处的切线的斜率.

特别:•当u

与x轴同向•当u

与x轴反向当前4页，总共42页。那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在，设函数在点处可微，定理10.4.1且有其中为向量u

的方向余弦.因函数在点处可微，则证明2.方向导数的计算当前5页，总共42页。这就证明了方向导数存在，且一般地，当函数可微时，有且所以当自变量从点沿u方向移动时，当前6页，总共42页。三元函数在点沿方向u

(方向角为)的方向导数定义为定理10.4.1的逆命题不成立.

f(x,y)在原点沿任意方向的方向导数存在,但不可微.当前7页，总共42页。方向导数的性质当前8页，总共42页。例1.求函数在点沿方向的方向导数.解：又的方向余弦为故当前9页，总共42页。例2.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数故当前10页，总共42页。3.梯度向量的定义因为新向量G当前11页，总共42页。同样可定义二元函数在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.称为函数f(P)在点P处的梯度(gradient),向量记作gradf或f,即nabla当前12页，总共42页。例3.求函数在点处的梯度以及函数在该点处沿方向的方向导数.解：故又故当前13页，总共42页。如果采用向量的记号，我们容易给出一般n元函数的方向导数与梯度的定义.设f(x)是n元函数(通常我们只考虑二元函数和三元u是n元向量,u0是u对应的单位向量,函数的情况)，则f(x)在点x处沿u的方向导数和梯度分别定义为当前14页，总共42页。10.4.2方向导数与梯度的性质及应用1.函数的最速上升方向与最速下降方向设f(x)是上的连续函数，d是n维非零向量，如果存在，使得对于一切，恒有则称d为函数f在x0处的上升方向;恒有如果对于则称d为函数f在x0处的下降方向.当前15页，总共42页。设f(x)在点x0

处可微,u是一个n维非零向量，如果个上升方向；的一个下降方向．则u是f(x)在点x0

处的一如果则u是f(x)在点x0

处定理说明:方向导数的符号决定函数的升降.

当前16页，总共42页。结论1梯度方向是函数值上升最快的方向(最速上升方向),负梯度方向是而函数值下降最快的方向(最速下降方向)沿梯度方向,方向导数达到最大值问题：

函数值沿什么方向上升最快?沿什么方向下降最快？当前17页，总共42页。若函数在点处取最大值，则函数沿任何方向都不可能上升，于是由知特别地另一方面因此即函数在最大值点处的梯度为零向量；同理可得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量.结论2函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．当前18页，总共42页。设在处取最大（小）值，则即类似地，若三元函数在处取最大（小）值，则当前19页，总共42页。例4.设一座山的高度由函数给出,如果登山者在山坡的点处，此时登山者往何方向攀登时坡度最陡？解：坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向，即求使高度函数在点处的方向导数最大的方向.因为梯度与的夹角,所以最大即沿梯度方向函数上升最快.又因所以在点处沿向量方向攀登时坡度最陡.当前20页，总共42页。例5求函数在点(2,1)处函数值下降最快的方向．设f(x)是上的连续函数，d是n维非零向量，如果则d是f(x)在点x0

处的一个上升方向；如果则d是f(x)在点x0

处的一个下降方向.d与f(x0)成锐角d与f(x0)成钝角解：所以函数在点处的最速下降方向为当前21页，总共42页。2.梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量

设f(x)是n元可微函数,等值面当前22页，总共42页。对于n=2的情形:是函数f(x,y)过点(x0,y0)的等值线在该点处,它与等值线的切线垂直.在点(x0,y0)处的一个法线方向向量.等值线n=2结论:与等值面在点x0

处的切平面垂直，所以是等值面S在点x0

处的一个法线方向向量.当前23页，总共42页。对于n=3的情形:是函数f(x,y,z)的等值面在点(x0,y0,z0)处的一个法线方向向量.在该点处,它与等值线的切平面垂直.等值面当前24页，总共42页。10.4.3黑赛矩阵与泰勒公式1.黑赛矩阵

设n元函数f(x)在点x处对于自变量的各分量的二阶连续，偏导数二阶导数或黑塞矩阵当前25页，总共42页。例6.

解：计算函数的梯度与黑塞矩阵,并求以及因，则又则所以当前26页，总共42页。例7.

解：设皆为n维行向量，b为常数，求n维线性函数在任意点x处的梯度和黑塞矩阵.设，于是因所以当前27页，总共42页。当时，二维线性函数写成向量形式是于是当前28页，总共42页。例8.

解：设Q

为n阶对称矩阵，皆为n维行向量，c为常数，求n维二次函数在任意点处的梯度和黑塞矩阵.设则于是当前29页，总共42页。又因所以当前30页，总共42页。写出二维二次函数的梯度和黑塞矩阵.当前31页，总共42页。2.泰勒公式若函数在点的某一邻域内具有一阶连续偏导数,且是这邻域内的一点,则有近似公式：如果要使这个函数有更高的精度,先须讨论二元函数的泰勒公式.一元函数的泰勒公式:当前32页，总共42页。记号(设下面涉及的偏导数连续):

一般地,

表示表示当前33页，总共42页。的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,

则有其中①②①称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项.当前34页，总共42页。证:

令则利用多元复合函数求导法则可得:

当前35页，总共42页。一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.

当前36页，总共42页。说明:(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,则有当前37页，总共42页。(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上当前38页，总共42页。例