函数平均变化率

函数平均变化率第一页，共五十二页，2022年，8月28日第二页，共五十二页，2022年，8月28日如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？第三页，共五十二页，2022年，8月28日HABCDFXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示；问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？登山问题x第四页，共五十二页，2022年，8月28日HABCDFXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x1,y1)B(x2,y2)选取平直山路AB放大研究:若自变量的改变量函数值的改变量直线AB的斜率:第五页，共五十二页，2022年，8月28日D1X3HABCDFXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直线AB的斜率:直线CD1的斜率:x第六页，共五十二页，2022年，8月28日y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)第七页，共五十二页，2022年，8月28日y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)第八页，共五十二页，2022年，8月28日平均变化率曲线陡峭程度数形变量变化的快慢建构数学第九页，共五十二页，2022年，8月28日华罗庚数缺形少直观形缺数难入微华罗庚第十页，共五十二页，2022年，8月28日函数的平均变化率已知函数在点及其附近有定义，令,则当时,比值叫做函数在到之间的平均变化率第十一页，共五十二页，2022年，8月28日思考:函数平均变化率的几何意义？

OABxyY=f(x)x0X0+△xf(x0)f(X0+△x)△x直线AB的斜率函数平均变化率:函数值的改变量与自变量的改变量之比

观察函数f(x)的图象过曲线上的点割线的斜率。第十二页，共五十二页，2022年，8月28日思考：（1）△x、△y的符号是怎样的？（2）该变量应如何对应？理解：2、对应性：若第十三页，共五十二页，2022年，8月28日

美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。

阅读材料第十四页，共五十二页，2022年，8月28日例1.求函数在到之间的平均变化率解:当函数在到之间变化的时候函数的平均变化率为分析:当取定值,取不同数值时,该函数的平均变化率也不一样.第十五页，共五十二页，2022年，8月28日(2)求函数

在到之间的平均变化率解:当函数在到之间变化的时候函数的平均变化率为第十六页，共五十二页，2022年，8月28日课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一个跑得快？（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？甲乙O

(1)路程tyO甲乙t0t100m第十七页，共五十二页，2022年，8月28日知识运用再做两个题吧!1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及邻近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A、3B、3Δx-(Δx)2C、3-(Δx)2D、3-Δx

Dy=kx+b在区间上的平均变化率有什么特点？

2.求下列函数的在区间平均变化率：（1）y=1

（2）y=2x+1（3）y=-2x第十八页，共五十二页，2022年，8月28日例3：已知函数，计算函数在下列区间上的平均变化率。解:当函数在到之间变化的时候函数的平均变化率为变化区间自变量改变量平均变化率（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001………第十九页，共五十二页，2022年，8月28日要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Dt这段时间内，当Dt0时平均速度的极限．即瞬时速度第二十页，共五十二页，2022年，8月28日函数的瞬时变化率设函数在附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值相应的发生改变如果当趋近于０时，平均变化率趋近于一个常数，则数称为函数在点处的瞬时变化率。第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日导数的概念也可记作★若这个极限不存在，则称在点x0

处不可导。

设函数y=f(x)在点x=x0的附近有定义，当自变量x在x0处取得增量△x(点x0+△x仍在该定义内）时，相应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y与△x之比当△x→0的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为即第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日说明：（1）函数在点处可导，是指时，有极限．如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数．点是自变量x在处的改变量，，而是函数值的改变量，可以是零．

（2）第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:（1）求函数的增量:；（2）求平均变化率:；．（3）取极限，得导数:第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日例:高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态;在呢?

第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日同理，

运动员在时的瞬时速度为，上升下落这说明运动员在附近，正以大约的速率。第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日割线PQ的的变化情况２．在的过程中，请在函数图象中画出来．你能描述一下吗？第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日PQM求已知曲线的切线.第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日作业课本82.B2报纸A14第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日一是:根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度.二是:求已知曲线的切线.第三十页，共五十二页，2022年，8月28日例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：℃）为计算第2h和第6h，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日3.1.1导数的几何意义Pxy0T第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日一是:根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度.二是:求已知曲线的切线.第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日课堂小结：函数的平均变化率函数的瞬时变化率第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：℃）为计算第2h和第6h，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日3.1.1导数的几何意义Pxy0T第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日PxyoT的切线方程为即第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日

圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。

第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日

根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P处的切线近似代替

。大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”（以简单的对象刻画复杂的对象）第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日

1.在函数的图像上，(1)用图形来体现导数，的几何意义.

第四十页，共五十二页，2022年，8月28日(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？

第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？

增（减):增（减）快慢：=切线的斜率附近：瞬时变化率（正或负）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）画切线即：导数的绝多值的大小=切线斜率的绝对值的大小切线的倾斜程度（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日(2)曲线在时，切线平行于x轴，曲线在附近比较平坦，几乎没有升降．

曲线在处切线的斜率0在附近，曲线，函数在附近单调

如图，切线的倾斜程度大于切线的倾斜程度，

大于上升递增上升

这说明曲线在

附近比在附近得迅速．递减下降小于下降第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日

2．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日

血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.函数f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象第四十五页，共五十二页，2022年，8月28日

抽象概括：

是确定的数是的函数导函数的概念：t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率

第四十六页，共五十二页，2022年，8月28日小结：１.函数在处的导数的几何意义，就是函数的图像在点处的切线AD的斜率（数形结合）