《数学分析（第4版）》14-2函数的幂级数展开

一、泰勒级数二、初等函数的幂级数

展开式

由泰勒公式知道,可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和.如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数,就为函数的研究提供了一种新的方法.§2函数的幂级数展开数学分析

第十四章幂级数*点击以上标题可直接前往对应内容在第六章§3的泰勒定理中曾指出,

若函数f在点x0

的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数,这里为拉格朗日型余项其中在x与x0之间,称(1)式为f在点的泰勒公式.§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式泰勒级数则后退前进目录退出由于余项是关于的高阶无穷小,

在点附近f可用(1)式右边的多项式来近似代替,这是泰勒公式带来的重要结论.再进一步,设函数f在处存在任意阶导数,就可以由函数f得到一个幂级数通常称(3)式为f在处的泰勒级数.§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式因此例1由于函数在处的任意阶导数都等于0(见第六章§4第二段末尾),

§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式对于级数(3)是否能在点附近确切地表达f,说级数(3)在点附近的和函数是否就是f

本身,就是本节所要着重讨论的问题.这即或者请先看一个例子.

因此f在的泰勒级数为显然它在上收敛,且其和函数.

由此看到,对一切都有.上例说明,具有任意阶导数的函数,都能收敛于该函数本身,那么怎样的函数,其泰勒级数才能收敛于它本身呢?§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式泰勒级数并不哪怕在很小的一个邻域内.

定理14.11上等于它的泰勒级数的和函数的充

对一切满足不等式的x,有

是f在点这里泰勒公式的余项.设f在点具有任意阶导数,那么f在区间分条件是:

如果f能在点的某邻域上等于其泰勒级数的和函数,§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式的这一邻域内可展开成泰勒级数,则称函数f在点并称等式的右边为f在处的泰勒展开式,或幂级数展开式.

称为麦克劳林级数.§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式由级数的逐项求导性质可得:即幂级数展开式是唯一的.收敛区间上的和函数,

上的泰勒展开式,

就是f

在则若f

为幂级数在在实际应用上,主要讨论函数在处的展开式:§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式从定理14.11知道,下面列出当时的积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,余项对确定函数能否展开为幂级数是极为重要的,

以便于后面的讨论.

例2求下面k次多项式函数的幂级数展开式.解由于即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式初等函数的幂级数展开式因而例3求函数f(x)=ex的幂级数展开式.解显见于是对任何实数x,§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式的拉格朗日余项为都有§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式例4所以在上可以展开为麦克劳

林级数:§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式有同样可证(或用逐项求导),在上有§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式例5所以的麦克劳林级数是用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径,且

当时收敛,时发散,§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式故级数(5)的收敛域

是.下面讨论在上它的余项的极限.当时,当时,因拉格朗日型余项不易估计,故改用柯西型余项.

§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式对拉格朗日型余项,有此时有这就证得在上

的幂级数展开式就是(5).

将(5)式中x换成就得到函数处的泰勒展开式:其收敛域为§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式例6讨论二项式函数的展开式.解

当为正整数时,就是例2.下面讨论不等于正整数时的情形,于是

的麦克劳林级数是§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式这时运用比式法,可得(6)的收敛半径.由比式判别法,§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式在内考察它的柯西型余项故有

从而有所以在§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式对于收敛区间端点的情形,与的取值有关:§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式一般来说,只有比较简单的函数,根据幂级数展开式的唯一性,§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式间接地求得函数的幂级数展开式.

其幂级数展开式能在更多情况下可以从已知的展开通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项前面的展开幂级数的方法,称为直接展开法.

用直接展开法求得.式出发,求积等方法，这就是间接展开的根据.不管用什么方法得到的幂级数的系数都是一样的.例7以与分别代入(8)与(9)式,可得对(10)、(11)分别逐项求积可得§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式例8求在处的幂级数展开式.因此§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式解

熟练掌握某些初等函数的展开式，对于今后用间接方法求幂级数展开十分方便.

特别是例3～例7的结果,用类似方法可得.(13)§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式所以例9计算的近似值,精确到解

可以在展开式中令,得

.

.级数前10000项的和,§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式令代入(13)式,有这是一个交错级数,故有为了误差小于0.0001,就必须计算

为此在(13)式中收敛得太慢.

估计余项:§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式取n=4,有因此例10用间接方法求非初等函数的幂级数展开式.解以代替ex的展开式中的x,得再逐项求积,在上的展开式:§2函数的幂级数展开泰勒级数初等函数的幂级数展开式最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函数.就得到

F(x)用上述级数的部分和逐项逼近的过程,示于下图: