《数学分析（第4版）》21-1二重积分概念

一、平面图形的面积二、二重积分的定义及其存

在性三、二重积分的性质二重积分是定积分在平面上的推广,不同之处在于:定积分定义在区间上,区间的长度容易计算,而二重积分定义在平面区域上,其面积的计算要复杂得多.§1二重积分概念数学分析

第二十一章重积分*点击以上标题可直接前往对应内容我们首先定义平面图形的面积.如果存在一矩形R,设P是一平面有界图形,用平行于二坐标轴的某一组直线网T分割这个图形(图21-1),的网眼(小闭矩形)可分为三类:(i)上的点都是P的内点;(ii)上的点都是P的外点,即§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质平面图形的面积(iii)

上含有P的边界点.我们称平面图形P是有界的,

使得这时直线网T将所有属于第(i)类小矩形(图21-1中紫色部分)的面积加起来,里表示包含P的那个矩形R的面积);面积加起来(图21-1中除青色部分),则有则有(这§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质将所有第(i)类与第(iii)类小矩形的记这个和数为记这个和数为定义1由确界存在定理可以推得,显然有通常称为P的内面积,为P的外面积.若平面图形P满足=,则称P为可求面积的图形,数集有上确界,有下确界.

§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质记对于平面上所有直线网,作为P的面积.并把共同值定理20.1对任给的总存在直线网T,证必要性设有界图形P的面积为由及的定义知道,分别存在直线网与使得记T为由与这两个直线网合并所成的直线网,可证得§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

平面有界图形P可求面积的充要条件是:使得由定义1,有

于是由(3)可得从而对直线网T有充分性设对任给的存在某直线网T,使得但§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质由的任意性,得因而平面图形P可求面积.

所以推论平面有界图形

P的面积为零的充要条件是它即对任给的存在直线网T,

使得或对任给的平面图形P能被有限个面积总和

小于的小矩形所覆盖.

§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质的外面积定理21.2

平面有界图形

P可求面积的充要条件是:P的边界K的面积为零.

证由定理21.1,P可求面积的充要条件是:的存在直线网T,使得

所以也有由上述推论,P的边界K的面积为零.§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质由于对任给证由于在闭区间上连续,因而,当

，可使在每个小区间上的振幅都成

§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质上一致连续.时,定理21.3的图象,若曲线K为定义在上的连续函数

则曲线K的面积为零.

所以它在

立推论1因此由定理21.1的推论即得曲线

K的面积为零.参量方程所表示的光滑曲线或按段光滑曲线,§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质由于这

n个小矩形面积的总和

即若把曲线K按

,分成n个小段则每一小段都能被以为宽,为高的小矩形所覆盖.其面积一定为零.使得在每一段上，(或)存在

上的曲线面积为零,从而整个曲线面积为零.分成

n段:于是在上(或反函数(或有连续的§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质

所以在证

由光滑曲线的定义，均存在且不同时为零.由隐函数存在性定理,(或因此(或)在上有反函数.再由有限覆盖定理,可把区间注1平面中并非所有的点集都是可求面积的.例如易知因此是不可求面积的.§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质推论2由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面图形都是可求面积的.注2以下讨论的有界闭区域都是指分段光滑曲线围成的有界闭区域.二重积分的几何背景是求曲顶柱体的体积.

为定义在可求面积的有界闭域

D上的非负连续函数.面为顶,D为

底的柱体

(图21-2)的体积

V.图21-2§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质二重积分的定义及其存在性设求以曲采用类似于求曲边梯形面积的方法.(1)分割:先用一组平行于坐标轴的直线网T把区域D分成n个小区域(称T为区域D

以表示小区域的面积.线网也相应地把曲顶柱体分割成n个以为底的小

曲顶柱体(2)近似求和:由于

在D上连续,相差无几,在上各点的函数值

§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质的一个分割).这个直

故当每个

上任取一点因而可在的直径都很小时,的小平顶柱体的体积作为的体积的近似值(如图21-3),

把这些小平顶柱体的体积加起来,就得到曲顶柱体体积

V的近似值§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质为高,为底

用以即(3)取极限:当直线网

T的网眼越来越细密,T的细度(

为的直径)趋于零时,有这类问题在物理学与工程技术中也常遇到,均匀平面的质量、重心、转动惯量等等.所要讨论的二重积分的实际物理背景.

§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质即分割就如求非这些都是上面叙述的问题都可归为以下数学问题.

可求面积的小区域以表示小区域的面积,这些小区域构成

D的在每个上任取一点作和式一个分割

T,以表示小区域的直径,

设

D为

xy

平面上可求面积的有界闭域,为用任意的曲线网把

D分成

n个§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质定义在

D上的函数.称为T的细度.称它为函数在

D上属于分割

T的一个积分和.定义2

设

是定义在可求面积的有界闭域

D上的函数.总存在某个正数使对于

D的任何分割

T,当它的细度时,§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质有J是一个确定的实数,若对任给的正数

属于T的所有积分和都则称在

D上可积,数

J称为函数

在D上二重积分,记作

§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质其中称为二重积分的被积函数,x,y称为积分变量,D称为积分区域.就表示以为曲顶,D为底的曲顶柱体的当

时,二重积分的值就等于积分区域

D的面积.

当时,二重积分在几何上体积.注1由二重积分定义知道,若在区域

D上可积,则与定积分情形一样,时,(4)式都成立.选取一些特殊的分割方法,直线网来分割

D,则每一小网眼区域的的面积§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质此时通常把记作对任何分割

T,只要当因此为方便计算起见,常

如选用平行于坐标轴的注2如定积分那样类似地可证明:可求面积的

D上可积的必要条件是它在

D上有界.设函数在

D上有界,T为

D的一个分割,把

D分成

n个可求面积的小区域

§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质作和式它们分在函数

别称为关于分割

T的上和与下和.它

令二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样的性质,这里就不再重复.函数的可积性定理,这里只证明其中的定理21.7.§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质下面列出有关二元定理21.4定理21.5定理21.6定理21.7在D上可积的充要条件是:在D上可积的充要条件是:存在D的某个分割T,有界闭域D上的连续函数必可积.设是定义在有界闭域D上的有界函数,且其不连续点集E是零面积集.§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质在D上可积.则对于任给的正数使得§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质二重积分与定积分具有类似的性质,现列举如下:且2.

若在

D上都可积,则1.

若在

D上可积,k为常数,则在D在

D上也可积,§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质二重积分的性质上也可积,且3.

若在和上都可积,且与无公共内点,4.

若与在

D上可积,则有§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质在上也可积,则且且5.

若在D上可积,则函数在D上也可积,6.

若在D上可积,且则有§1二重积分概念平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质这里是积分区域D的面积.