《数学分析（第4版）》09-4定积分的性质

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本节将讨论定积分的性质,包括定积分的线性性质、关于积分区间的可加性、积分不等式与积分中值定理,这些性质为定积分研究和计算提供了新的工具.§4定积分的性质数学分析第九章定积分一、定积分的性质二、积分中值定理*点击以上标题可直接前往对应内容性质1证定积分的性质从而则kf在[a,b]若

f在

[a,b]上可积，k为常数,后退前进目录退出定积分的性质因此定积分的性质性质2且证从而定积分的性质因此,f±g在[a,b]上可积,且定积分的性质性质3证并而成的新分割),则定积分的性质于是因此fg在

[a,b]上可积.定积分的性质性质4f在[a,b]上可积的充要条件是:证(充分性)若

f在

[a,c]与

[c,b]上可积,则定积分的性质(必要性)因此,f在[a,b]上可积.在T上加入分点

c得到新的分割由§3习题第1题,知道定积分的性质因此，f在

[a,c]与

[c,b]上都可积.若

f在

[a,b]上可积,由必要性证明,若分割T使点定积分的性质注性质5证定积分的性质因此推论证即定积分的性质性质6若

f在

[a,b]上可积,则

f|在

[a,b]上也可积,证且定积分的性质因此证得定积分的性质例如函数注1一般不能推得上连续，则可得到严格不等式定积分的性质例1证由连续函数的局部保号性质,由此推得定积分的性质即定积分的性质此结论,由本章总练习题11证明.注3注2定积分的性质定理9.7（积分第一中值定理）积分中值定理证因

f在[a,b]上连续，故存在最大值M和最小值m.

由于积分中值定理注1内取到,由连续函数的介值性定理，则由连续函数的介值定理,必恒有事实上若积分中值定理因此积分中值定理注2积分第一中值定理的几何意义如下图所示:积分中值定理例2

解利用区间可加性，积分中值定理例3

解

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