信息光学中的傅里叶变换

信息光学中的傅里叶变换第一页，共二十九页，2022年，8月28日表征现代光学重大进展的另一件大事，是P.M.Duffieux1946年把傅里叶变换的概念引入光学领域，由此发展成现代光学的一个重要分支——傅里叶光学（信息光学）。它应用线性系统理论和空间频谱的概念，分析光的传播、衍射和成像等问题。它用改变频谱的方法处理相干处理系统中的光信息；用频谱被改变的观点评价非相干成像系统的像质。信息光学促进了图像科学、应用光学和光电子学的发展。可以认为它是光学、光电子学、信息论和通讯理论的交叉学科。第二页，共二十九页，2022年，8月28日信号频域分布特性的分析与处理系统传输不同空间频率信号能力的分析与处理空域←→频域傅里叶分析离散周期信号连续周期信号离散非周期信号连续非周期信号第三页，共二十九页，2022年，8月28日1.二维傅里叶变换1、二维傅里叶变换的定义含有两个变量x,y的函数f(x,y)，其二维傅里叶变换定义为{}在此定义中，本身也是两个自变量的函数。变换F第四页，共二十九页，2022年，8月28日振幅谱相位谱功率谱类似地，函数f(x,y)也可以用其频谱函数表示，即：上式称为F（fx，fy）的二维傅里叶逆变换。正变换和逆变换在形式上非常相似，只是被积函数中指数因子的符号和积分变量不同而已。我们可以用傅里叶变换对偶式来表示两种变换之间的关系式。=-1{}F-1（）FF()第五页，共二十九页，2022年，8月28日二、傅里叶变换的存在条件（1）、函数f(x,y)必须对整个XY平面绝对可积，即（2）、函数f(x,y)必须在XY平面上的每一个有限区域内局部连续，即仅存在有限个不连续点和有限个极大和极小点。（3）、函数f(x,y)必须没有无穷大间断点。第六页，共二十九页，2022年，8月28日上述三个存在条件是从数学的角度提出的，我们不证明它。这是因为，从应用的角度看，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，其傅里叶变换总是存在的。但需说明的，为了物理学上描述方便起见，我们往往又用理想化的数学函数来表示实际的物理图形，对这些有用的函数而言，上面的三个条件中的一个或多个可能均不成立。例如阶跃函数，函数等就不满足存在条件。因此，为了在傅里叶分析中能有更多的函数来描述物理图形，有必要对傅里叶变换的定义作一些推广。第七页，共二十九页，2022年，8月28日三、广义傅里叶变换对于不严格满足存在条件的函数，首先把它定义为某一个序列的极限，该序列中的每一成分都具有通常的傅里叶变换，然后求出该序列各成分的傅里叶变换，从而得到一个相应的变换序列。如果后一序列极限存在，就称它为所考虑函数的广义傅里叶变换。所以广义傅里叶变换就是极限意义下的傅里叶变换。例题：求函数f(x,y)=1的傅里叶变换解：上述函数显然不符合傅里叶变换存在的条件，现在我们把它定义为矩形函数序列的极限。第八页，共二十九页，2022年，8月28日01先求矩形函数的傅里叶变换{rect(y)}{rect(x)}FF请同学业们动手推导第九页，共二十九页，2022年，8月28日f(x,y)=1所以1的傅里叶变换是函数。问题：函数的逆傅里叶变换等于1吗？{}-1FF物理图像请同学业们动手推导第十页，共二十九页，2022年，8月28日2.傅里叶变换的基本性质和有关定理1、线性性质设a,b为常数，则即两个函数的线性组合的傅里叶变换等于各函数的傅里叶变换的相应组合。FFF第十一页，共二十九页，2022年，8月28日2、二重傅里叶变换性质对二元函数作二次傅里叶变换，得到原函数的反折3、缩放性质4、平移特性函数空域的位移，带来频域中的线性相移，另一方面函数在空域中的相移，会导致频域位移。FFFFFF第十二页，共二十九页，2022年，8月28日ffffff第十三页，共二十九页，2022年，8月28日5、对称性质若f(x,y)为实函数，显然有称具有厄米对称性FF若f(x,y)为虚函数，显然有称具有反厄米对称性第十四页，共二十九页，2022年，8月28日说明：空域两个函数的卷积，在频域等于其变换的乘积。这一定理有重要的意义，当一个复杂函数可以表示成简单函数的乘积或卷积时，利用卷积定理可由简单函数的傅里叶变换来确定复杂函数的傅里叶变换。而且定理为获得两个函数的卷积提供了另一途径，即将两函数的变换式相乘，再对乘积作逆变换。FFFF6、卷积的傅里叶变换7、乘积的傅里叶变换FF第十五页，共二十九页，2022年，8月28日8、相关的傅里叶变换★F（1）互相关定理互谱能量密度（2）自相关定理★称为信号f(x,y)的能谱密度F第十六页，共二十九页，2022年，8月28日9、帕斯瓦尔（能量）定理在应用中上述积分都可以表示某种能量。本定理表明一个事件空域各分量能量的总和与频域各分量能量的总和是相等的。10、积分性质(一维情况)FF第十七页，共二十九页，2022年，8月28日11、导数定理则有FFF若其导数存在FF第十八页，共二十九页，2022年，8月28日证明：-1FF第十九页，共二十九页，2022年，8月28日FF第二十页，共二十九页，2022年，8月28日例题：求矩形函数的傅里叶变换FF第二十一页，共二十九页，2022年，8月28日例题：求高斯函数的傅里叶变换FF第二十二页，共二十九页，2022年，8月28日例题：求余弦函数的傅里叶变换FF第二十三页，共二十九页，2022年，8月28日例题：求三角函数的傅里叶变换利用卷积定理FFFFF第二十四页，共二十九页，2022年，8月28日下面利用卷积定理的图解方法求三角函数的傅里叶变换。这种方法，用图形表示出函数在空间域和频率域的对应关系，分析思路直观且便于记忆。*0-11第二十五页，共二十九页，2022年，8月28日例：求极坐标内的二维傅里叶变换。同理上面极坐标下的傅里叶变换的形式是相当复杂的，但是当g具有圆对称性时，极坐标显得比较方便。第二十六页，共二十九页，2022年，8月28日傅里叶-贝塞尔变换设g(r,)具有圆对称性，即g与无关，于是可以写成g(r,)=g(r)利用贝塞尔函数关系式式中是第一类零阶贝塞尔函数上式表明，圆对称函数的傅里叶变换仍是圆对称的类似地可得其傅里叶逆变换第二十七页，共二十九页，2022年，8月28日在极坐下，圆对称函数的傅里叶变换和逆变换的运算是相同