5.1.1　任意角课件教学

第五章三角函数5.1任意角和弧度制5.1.1任意角课标要求1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义.2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示.素养要求在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.问题导学预习教材必备知识探究内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU问题导学预习教材必备知识探究1一、角的相关概念1.问题小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置. (1)请问有几种旋转方向？

提示

顺时针和逆时针两种旋转方向. (2)先将OA顺时针旋转到OB形成角α，再把OB顺时针旋转到OC形成角β，则OC的终边对应的角是多少？

提示

OC的终边对应的角为α＋β.2.问题在跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作，做上述动作时，运动员转体多少度？转过的度数还能用0°到360°的角度表示吗？

提示

顺时针旋转720°或逆时针旋转720°.“向前翻转两周半”指顺时针或逆时针旋转900°，转的角度不能用0°到360°的角表示.3.填空

(1)角的分类：①__________绕其端点按________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线______做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的终边和始边______. ②任意角包括正角、负角和零角，角的范围不再限于0°～360°. (2)角的加法与减法 ①若角α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称________. ②设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是________. ③相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为________，角α的相反角记为______，α－β＝α＋__________.一条射线逆时针没有重合α＝βα＋β相反角－α(－β)4.做一做角的概念包含的三要素有哪些？

答案

顶点、始边和终边.二、象限角1.问题使角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边(除端点外)可能落在什么位置？

提示

落在坐标轴上或四个象限内.2.填空在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是____________；如果角的终边在________上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.第几象限角坐标轴BC3.做一做

(多选)下列说法正确的是(

) A.小于90°的角是锐角 B.钝角是第二象限角 C.－30°是第四象限角 D.第一象限角是锐角

解析

小于90°的角有负角或0°角，A错，390°是第一象限角，不是锐角，D不正确，只有B、C正确.三、终边相同的角1.问题如图所示，60°角的终边是OA.(1)－660°，420°角的终边与60°角的终边有什么关系？提示

相同.(2)它们与60°分别相差多少？提示

－660°与60°相差－720°，420°与60°相差360°.(3)如何表示与60°角终边相同的角？提示

60°＋k·360°(k∈Z).2.填空所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合____________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个______的和.

温馨提醒

利用终边相同的角的一般形式可以求出符合某些条件的终边相同的角，注意“k∈Z”这一条件.S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}周角CD3.做一做

(多选)下列与30°角终边相同的角是(

) A.600° B.60° C.－330° D.750°解析

与30°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}，令k＝－1时，α＝－330°；令k＝2时，α＝750°.√4.思考辨析正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.(

)(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(

)(3)终边相同的角的表示不唯一.(

)(4)终边与始边重合的角是零角.(

)√√×HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2例1

(1)下列说法中，正确的是______(填序号).①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限角；③第二象限角为钝角；④角α与－α的终边关于x轴对称.②④题型一与任意角有关的概念辨析解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的.(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.－40°解析两次旋转后形成的角为60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.1.正确理解象限角、正角、负角、锐角、钝角、周角等概念.2.处理任意角问题的两个关键点(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角.(2)定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小.思维升华训练1

经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(

)A.60°，720° B.－60°，－720°C.－30°，－360° D.－60°，720°B故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.例2

(1)写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中符合不等式

－720°≤β<360°的元素β写出来.题型二终边相同的角解

与α＝－1910°终边相同角的集合为{β|β＝－1910°＋k·360°，k∈Z}.因为－720°≤β<360°，所以－720°≤－1910°＋k·360°<360°，因此k＝4，5，6.当k＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°.当k＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°.当k＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°. (2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合.解

若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋k·360°，k∈Z；若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋k·360°，k∈Z.所以，角α的终边在图中阴影区域内时，角的取值集合为{α|30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.1.求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.2.若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，首先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，再在它的两端分别加上“k·360°”，右端末尾注明“k∈Z”.思维升华训练2

已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角.解

因为－1845°＝－45°＋(－5)×360°，所以－1845°角与－45°角的终边相同.所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}.(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.C题型三象限角和区间(域)角角度1判定给定角所在象限例3

在①160°；②480°；③－960°；④1530°这四个角中，属于第二象限角的是(

)A.① B.①②C.①②③ D.①②③④解析

①160°很显然是第二象限角；②480°＝120°＋360°是第二象限角；③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；④1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.判定角所在象限的方法：1.根据图形判定，在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限

，此角就是第几象限角；2.根据终边相同的角的概念，把角转化到0°～360°范围内，转化后的角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.思维升华训练3

(多选)下列叙述正确的是(

) A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.120°是第二象限角 C.第二象限角比第一象限角大 D.270°不属于任何一个象限

解析

直角不属于任何一个象限，故A不正确；120°是第二象限角，故B正确；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；270°的终边在y轴上，它不属于任何一个象限，故D正确.BD例4

已知角α的终边落在如图所示的阴影范围内(包括边界)，求角α的集合.角度2区间(域)角的表示解

终边在y轴上的角为α＝90°＋k·180°，k∈Z，终边在直线y＝－x上的角为α＝135°＋k·180°，k∈Z，由图知，当α的终边在阴影范围内时，角α的取值集合为{α|90°＋k·180°≤α≤135°＋k·180°，k∈Z}.表示区间(域)角的三个步骤第一步：先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，所以{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、终止边界对应有α，β，再加上360°的整数倍，即得区域角的集合.思维升华训练4

已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.

解

终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}.

因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.角度3判定

nα

或

所在象限解∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z).∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上.法二将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示：将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示：思维升华训练5

已知α是锐角，那么2α是(

)A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角解析

∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.C课堂小结1.两个重要概念 (1)任意角的概念，高中用“运动”的观点定义了任意角，旋转方向决定角的正负，旋转量决定角的大小. (2)终边相同的角：所有与角α(含α在内)终边相同的角可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.两种思想方法 (1)数形结合：解决象限角问题时，注意利用图形.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分层精练核心素养达成31.若角2α与240°角的终边相同，则α等于(

)A.120°＋k·360°，k∈ZB.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈ZD.240°＋k·180°，k∈Z解析

角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.B2.(多选)下列结论正确的是(

)A.经过两个小时，时钟的时针转过的角是－60°B.第一象限角一定是正角C.锐角小于90°

D.终边相同的角相等解析时钟的时针按顺时针方向旋转60°，故转过的角是－60°，故A正确；－335°是第一象限角，但不是正角，故B错误；锐角是大于0°且小于90°的角，故C正确；30°与390°的终边相同，但二者不相等，故D错误.AC3.(多选)下列四个角为第二象限角的是(

)A.－200° B.1180°C.220° D.420°解析－200°＝－360°＋160°，且160°是第二象限角，∴－200°是第二象限角.1180°＝3×360°＋100°，且100°是第二象限角.∴1180°是第二象限角.同理知220°是第三象限角，420°是第一象限角.AB4.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(

)A.α＋β＝k·360°，k∈ZB.α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC.α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD.α－β＝k·360°，k∈Z解析法一(特值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.法二(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.BA.第一或第二象限 B.第二或第三象限C.第一或第三象限 D.第二或第四象限解析∵180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，D6.1112°角是第________象限角.

解析∵1112°＝360°×3＋32°， ∴1112°与32°的终边相同，均为第一象限角.一7.终边在坐标轴上的角的集合为______________________.

解析终边在x轴上的角的集合为{α|α＝2n·90°，n∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α|α＝(2n＋1)·90°，n∈Z}.

所以终边在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.{α|α＝k·90°，k∈Z}解析由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，20°，140°，260°9.已知，如图所示. (1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.

解

(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}，

终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}. (2)终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.10.已知角α＝2010°. (1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.解(1)由2010°除以360°，得商为5，余数为210°.∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.又β＝210°是第三象限角，∴α为第三象限角.(2)与2010°终边相同的角为k·360°＋2010°(k∈Z).令－360°≤k·360°＋2010°<720°(k∈Z)，所以k＝－6，－5，－4.将k的值代入k·360°＋2010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析∵θ是第二象限角，∴k·360°＋90°<θ<k·360°＋180°，k∈Z，B又－θ是第三象限角，∴90°－θ是第四象限角.12.(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边可