函 数 的 单 调 性

函数的单调性第一页，共十五页，2022年，8月28日画出函数y=x2的图像

描点法的步骤：列表→描点→连线（连成光滑曲线）回顾：第二页，共十五页，2022年，8月28日

函数y=x2随着自变量x的变化（从左往右），函数值y怎样变化？通过对函数y=x2图象的分析，可知：

在(-∞,0)上，随着自变量x的增大，函数值相应地减小；在(0,+∞)上，随着自变量x的增大，函数值相应地随之增大。

观察图形第三页，共十五页，2022年，8月28日(1)增函数、减函数的定义

如果对于给定的区间内的任意两个自变量x1

、x2，当x1〈x2时，都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数。

如果对于给定的区间内的任意两个自变量x1

、x2，当x1〈x2

时，都有f(x1)>f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数。函数单调性

这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？

根据y=x2的图像可知：两者是一致的。定义中的“当x1〈x2时，f(x1)<f(x2)”描述了y随x的增大而增大；“当x1〈x2时，f(x1)>f(x2)”描述了y随x的增大而减少。

第四页，共十五页，2022年，8月28日(2)单调性与单调区间函数单调性

①分析函数y=x2在区间(0,∞)上的单调性和单调区间。如果一个函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有（严格的）单调性。这一区间叫做函数的单调区间。任务：由图象可知：函数y=x2在区间(0,+∞)上单调增加，则区间(0,+∞)称为函数y=x2的单调增区间。第五页，共十五页，2022年，8月28日(2)单调性与单调区间函数单调性

②分析函数

y=1/x在区间(0,∞)上的单调性和单调区间。如果一个函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有（严格的）单调性。这一区间叫做函数的单调区间。任务：由图象可知：函数

y=1/x在区间(0,+∞)上单调减少，则区间(0,+∞)称为函数y=1/x的单调减区间。思考：函数

y=1/x在整个定义域上是否单调递减？

第六页，共十五页，2022年，8月28日(3)对函数单调性的理解函数单调性

①自变量属于定义域且任意；②函数的单调性是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质。

第七页，共十五页，2022年，8月28日⑴根据图象说出函数在指定区间上是增函数还是减函数。

根据图象判断函数的单调性（a,b）（c,d）

（-∞,+∞）（-∞,+∞）

第八页，共十五页，2022年，8月28日⑵下图所示是定义在闭区间[-5,5]上的函数f(x)的图像，根据图像说出f(x)的单调区间，并回答在每一个单调区间上，f(x)是增函数还是减函数？根据图象判断函数的单调性解：此图看出函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2]、[-2,1]、[1,3]、[3,5]其中在区间[-5,-2]上是减函数，在区间[-2,1]上是增函数，在区间[1,3]上是减函数，在[3,5]上是增函数。

第九页，共十五页，2022年，8月28日利用定义判断函数的单调性判断函数f(x)=3x+2在（-∞,+∞）上的单调性。

分析：

根据定义进行判断的关键在于说明“当x1<x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系”。可设x1<x2为其定义域上的任意两个数，考虑证明f(x1)-f(x2)<0（或>0），即得出f(x1)<f(x2)

(或f(x1)>f(x2))。第十页，共十五页，2022年，8月28日利用定义判断函数的单调性判断函数f(x)=3x+2在（-∞,+∞）上的单调性。

解：设x1、x2为其定义域上的任意两个不相等的实数，且x1〈x2，则

f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)∵x1<x2∴x1-x2<0∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=3x+2在区间（-∞,+∞）上是增函数

用定义判断函数单调性的4个步骤：①→设；②→作差、变形；③→定符号；④→下结论。

第十一页，共十五页，2022年，8月28日利用定义判断函数的单调性⑴判断函数f(x)=-3x+2在（-∞,+∞）上的单调性；⑵判断函数f(x)=1/x在区间（0,+∞）上的单调性。

思考：第十二页，共十五页，2022年，8月28日小结

本节课重点要理解函数单调性及相关概念，学会用定义来判断一些简单函数的单调性。通过学习，增强我们“数形结合”的意识与