Ch1n阶行列式课件

1线性代数与空间解析几何国家精品课2

学时:64+32学时

成绩:100

分

平时:30分，期末:70分.《线性代数与解析几何》序言3

线性代数的应用:有很多实际问题,都可以转成线性代数的方法去解决.在工程学、计算机科学、物理学、数学、生物学、密码学、经济学和统计学中都有很多应用.

线性代数的重要性：线性代数与微积分是大学数学基础课.无论这样评价其重要性都不为过。而学好这些数学基础课程，将受益终生.5二、课程特点

内容抽象概念多，符号多计算原理简单但计算量大证明简洁但技巧性强应用广泛6掌握三基——基本概念

(定义、符号)

基本理论(定理、公式)

基本方法(计算、证明)提前预习——体会思路多动手，勤思考——深入体会思想方法培养——自学能力，独立分析问题能力

和独立解决问题的能力三、学习方法7《线性代数与空间解析几何》第一章

n阶行列式哈工大数学系代数与几何教研室

王宝玲2007.99设二元线性方程组为1.1.1

二阶和三阶行列式其中

行列式是一种算式,是根据线性方程组求解的需要引进的.也是一个基本的数学工具,有很多工程技术和科学研究问题的解决都离不开行列式.1.1

n阶行列式10对方程组用加减消元法求出解:

此解不易记忆，因此有必要引进新的符号“行列式”来表示解．如果定义二阶行列式如下(对角线法则）：+11

当系数行列式D

0时,则方程组有唯一解,其解可表示为:13如果定义三阶行列式如下(对角线法则）：那么对三元一次方程组在系数行列式D0

时,方程组有唯一解,其解可表示为:14其中例215问题1：怎样定义n阶行列式?定义由1,2,…,n

组成的有序数组称

为一个n阶(全)排列,一般记为:例如自然数1,2,3

的排列共有六种.

例如12…n

是一个n阶排列,叫自然排列.1.1.2全排列的逆序数、对换阶排列共有

种n17例3因为所以23541

是一个奇排列.例418

对换:在一个排列中互换两个数位置的变动(其它数不动).对换改变排列的奇偶性.需要进行2s+1

次相邻对换.证(1)相邻对换(2)不相邻对换定理1.1所以对换改变排列的奇偶性.19奇排列s个偶排列t个(1,2)对换(1,2)对换证全部n(2)阶排列中奇偶排列各占一半.推论设个阶排列中有s(t)个奇(偶)排列n21定义记一阶行列式此行列式可简记或n阶行列式定义:22由个元素组成;为n!项代数和;

每项为取自不同行列的n个元素之积;

行按自然顺序取时,每项符号由列标排列的奇偶性决定.归纳如下：注用定义只能计算一些简单的行列式.23证明对角形行列式,上(下)三角形行列式都等于其主对角元素的乘积,即例525其中*表示此处元素可以是任意的数.例626

这个行列式的值一般并不等于当n=4,5

时:当n=6,7

时:问题2:

如何决定下面一般项的符号?注意29(换法)换行(列)换号,即性质230两行(列)同值为零,即推论31(倍法)把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k,等于用数k乘以这个行列式,即性质332如果行列式有两行(列)成比例，则该行列式为零．推论1例如如果行列式某一行(列)有公因子k时,则该公因子k可以提到行列式符号的外面．推论233(分拆)如果行列式某行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式为两个行列式之和,即性质43435例如36(消法)将行列式的某一行(列)的各元素乘以常数加到另一行(列)的对应元素上去,则行列式的值不变,即性质537总结行列式性质性质1性质2推论性质3推论

性质4

性质5换行(列)变号.两行(列)同，值为零.某行(列)乘数k=kD.两行(列)成比例,值为零.D可按某行(列)分拆成两行列式之和.D某行(列)乘数

k

加至另行(列),行列式值不变.(转置)(换法)(倍法)(消法)38计算例7解

通过行变换将D化为上三角行列式3940设有四阶行列式:则展开式中x4的系数是().(A)2;(B)2;(C)1;(D)1.解含x4的项只有一项例8(1)(4321)

a14a23a32a41=2x441已知计算例942解由性质44344

学习大学数学，要了解大学数学与中学数学的差别：中学的数学是静态的，并且只学计算的方法，内容少而简单；大学的数学是变量数学，以分析为主要特色，内容多而理解起来难，老师讲课进度快。所以，大家应该全方位地学习，要有快速接受知识的能力。尽快从中学过渡到大学，适应大学的学习对于培养科学素质和创新能力，大学数学是最有用且最值得你努力的课程。45引入

下面讨论将n阶行列式转化为n-1阶行列式计算的问题,即1.3行列式展开定理46定义

在给定的n阶行列式中,把元素所在的i行和j列的元素划去,剩余元素记作

;而元素的代数余子式记作构成的n-1阶行列式称为元素的余子式,4748在行列式中例1049若

D

的第

i行(列)元素除

外都是零，引理则行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即定理3n阶行列式等于它的任意一5051n阶行列式

,则定理452证及降阶法将G按j行展开有第

i行第j行由531.定义法—利用n阶行列式的定义计算;2.三角形法—利用性质化为三角形行列式来

计算；3.降阶法—利用行列式的按行(列)展开性质对行列式进行降阶计算；4.加边法(升阶法);5.递推公式法；6.归纳法.总结n行列式的计算方法54计算

n

阶行列式(行和相同)例155解5657计算

n

阶行列式（两道一点）例2解58计算n+1阶行列式(爪形)其中例359解60当全不为零时61证明n阶(三对角)行列式例4其中62对行列式阶数n用数学归纳法证明n=2

时，结论成立.证n=1

时，结论成立.63则对于n阶行列式按第一行展开有设n-1,n-2时结论成立,64证明范德蒙(Vandermonde)行列式例565用数学归纳法证明证n=2

时，结论成立.假设对n-1阶行列式结论成立,下证n阶成立

从第

n

行开始,每一行减去前一行的x1倍,目的是把第一列除1以外的元素都化为零.然后按第一列展开,并提取各列的公因子,可以得到:

6667

或者利用递推公式

由上述递推结果即可得到结论.681.4克莱姆（Cramer)法则(Cramer法则)如果n元线性方程组的系数行列式不等于零，(1)定理5

下面给出利用n阶行列式求解方程个数与未知量个数都是n而且系数行列式不为零的线性方程组的求解公式.69即则方程组(1)只有唯一解,且其解为

70

其中是把的的第j列各元素依次换成方程组(1)右端的常数项所得到的n阶行列式,即71如果n元齐次线性方程组的系数行列式不等于零，即推论1则此方程组只有唯一零解,即72如果n元齐次线性方程组推论2有非零解,则系数行列式等于零,即73求解线性方程组例1线性方程组的系数行列式解所以方程组有唯一解.74所以方程组的唯一解为75典型例题76练习若行列式D的某一行元素的代数余子式全是零,则这个行列式D=.2.若4阶行列式D的某一行的所有元素及其余子式都相等,则D=

.3.在一个n阶行列式D中,如果等于零的元素多于个,则D

=.1.77不计算行列式值，利用性质证明证令4.78由于是的三次多项式,且79因此有注的系数为1.80计算行列式的值5．81解82计算行列式:6.83解此行列式用加边法计算,即848586已知计算（1）7.（2）87解=–3=–2588

分析:

a相当于第2行的元素乘上的第4

行的代数余子式,根据行列式的性质,应该为0,答案为(C).设a=4A41+8A42+5A43+6A44