梁的应力计算

第六章梁的应力§6-2梁的正应力强度条件及其应用§6-3梁的合理截面形状及变截面梁（工程上提高弯曲强度的一些措施）§6-4矩形截面梁的切应力§6-6梁的切应力强度条件§6-1梁的正应力（纯弯曲）回顾与比较内力应力FSM§6-1（纯弯曲）梁的正应力纯弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲目录§6-1（纯弯曲）梁的正应力一、几何方面aabbmnnm平面假设：横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。§6-1（纯弯曲）梁的正应力m´a´a´b´b´m´n´n´凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长中间一层纤维长度不变－－中性层中性层与横截面的交线－－中性轴目录设想梁是由无数层纵向纤维组成§6-1（纯弯曲）梁的正应力胡克定理建立坐标二、物理方面(6-1)(6-2)aabbmnnmooy§6-1（纯弯曲）梁的正应力离中性层越远，线应变越大，曲率1/ρ（弯曲程度）越大，同一位置线应变越大。三、静力学方面(6-5)FN、My、Mz§6-1（纯弯曲）梁的正应力EIZ——弯曲刚度正应力公式变形几何关系物理关系静力学关系为梁弯曲变形后的曲率为曲率半径，§6-1（纯弯曲）梁的正应力(6-6)正应力分布MM

与中性轴距离相等的点，正应力相等；

正应力大小与其到中性轴距离成正比；

中性轴上,正应力等于零§6-1（纯弯曲）梁的正应力常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面§6-1（纯弯曲）梁的正应力弹性力力学精精确分分析表表明，，当跨跨度l与横截截面高高度h之比l/h>5（细长长梁））时，，纯弯弯曲正正应力力公式式对于于横力力弯曲曲近似似成立立。横力弯弯曲§6-1（纯弯弯曲））梁的的正应应力横力弯弯曲正正应力力公式式横力弯弯曲最最大正正应力力§6-1梁的正正应力力细长梁梁的纯弯曲曲或横力弯弯曲横截面面惯性性积IYZ=0弹性变变形阶阶段公式适适用范范围例6-1§6-1梁的正正应力力长为l的矩形形截面面梁，，在自自由端端作用用一集集中力力F，已知知，h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m,a=2m，F=1.5kN。试求求C截面上上K点的正正应力力。解：先先算出出C截面上上的弯弯矩截面对对中性性轴（（水平平对称称轴））的惯惯性矩矩为：：例6-1§6-1梁的正正应力力长为l的矩形形截面面梁，，在自自由端端作用用一集集中力力F，已知知，h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m,a=2m，F=1.5kN。试求求C截面上上K点的正正应力力。根据公公式：：代入公公式时时，不不考虑虑正负负号。。C截面弯弯矩为为负，，K点位于于中性性轴上上面，，所以以K点应力力为拉拉应力力。弯曲正正应力力强度度条件件1.等截面面梁弯弯矩最最大的的截面面上2.离中性性轴最最远处处4.脆性材材料抗拉和和抗压压性能能不同同，两两方面面都要要考虑虑3.变截面梁要综合考虑与§6-2梁的正正应力力强度度条件件及其其应用用根据弯弯曲正正应力力强度度条件件1.强度校校核2.选择截截面3.计算梁梁所能能承载载的最最大荷荷载§6-2梁的正正应力力强度度条件件及其其应用用FAYFBYBAl=4mq=2kN/mxCxmMx2101401.求支反反力解：例题6-2§6-2梁的正正应力力强度度条件件及其其应用用[σ]=10MPa，试校校核该该梁的的强度度。2.求最大大弯矩矩最大正正应力力为：：满足强强度要要求。。例题6-4§6-2梁的正正应力力强度度条件件及其其应用用简支梁梁上作作用两两个集集中力力，已已知l=6m，F1=15kN，F2=21kN。如果果梁采采用热热轧普普通工工字钢钢，钢钢的许许用应应力[σ]=170MPa，试选选择工工字钢钢的型型号。。解：先先画出出弯矩矩图，，最大大弯矩矩发生生在F2作用截截面上上，其其值为为38kN﹒m。根据据强度度条件件，梁梁所需需的弯弯曲截截面系系数为为：例题6-4§6-2梁的正正应力力强度度条件件及其其应用用根据算算得的的WZ值，在在附录录型钢钢表上上查出出与该该值相相近的的型号号，就就是我我们所所需的的型号号。注意：：选择择的工工字钢钢型号号WZ值一般般要求求≥计算值值，才才能满满足强强度要要求。。附录A，附表表4，P232页。查出20a钢相近WZ值237cm3，故选选择20a号工字字钢。。如选取取的工工字钢钢WZ值略小小于计计算值值，则则应再再校核核下强强度，，当σmax不超过过[σ]的5%时，还还是满满足工工程需需要的的。§6-2梁的正正应力力强度度条件件及其其应用用例题6-5一⊥形截截面的的外伸伸梁如如图所所示，，已知知l=600mm，a=40mm，b=30mm，c=80mm，F1=24kN,F2=9kN,材料的的许用用应力力[σt]=30MPa，许用用压应应力[σc]=90MPa。试校校核梁梁的强强度。。解：先先画出出弯矩矩图。。需算算出形形心C的位置置及截截面对对中性性轴的的惯性性矩，，算得得结果果为：：§6-2梁的正正应力力强度度条件件及其其应用用因材料料的抗抗拉与与抗压压性能能不同同，截截面对对中性性轴又又不对对称，，所以以需对对最大大拉应应力与与最大大压应应力分分别进进行校校核。。（1）校核核最大大拉应应力由于截截面对对中性性轴不不对称称。而而正负负弯矩矩都存存在，，因此此，最最大拉拉应力力不一一定发发生在在弯矩矩绝对对值最最大的的截面面上。。应该该对最最大正正弯矩矩和最最大负负弯矩矩两个个截面面上的的拉应应力进进行分分析比比较。。§6-2梁的正应力强强度条件及其其应用在最大正弯矩矩的C截面上，最大大拉应力发生生在截面的下下边缘，其值值为在最大负弯矩矩的B截面上，最大大拉应力发生生在截面的上上边缘，其值值为§6-2梁的正应力强强度条件及其其应用在上面两式中中，MC>MB而y2<y1，应比较MCy2与MBy1：CB因MCy2<MBy1，所以最大拉拉应力发生在在B截面上，即满足强度要求求。§6-2梁的正应力强强度条件及其其应用（2）校核最大压压应力与分析最大拉拉应力一样，，要比较C、B两个截面。C截面上最大压压应力发生在在上边缘。因因MC、y1分别大于MB、y2，所以最大压压应力一定发发生在C截面上。即满足强度要求求。设计梁原则：：强度条件：§6-3变截面梁形状状及变截面梁梁满足强度条件件经济性，尽量量节省材料需要选择合理理的截面形状状和尺寸单从强度来看看，WZ越大越合理。。一、截面的合合理形状WZ和截面形状和和尺寸有关。。在截面面积相相同的情况下下分析矩形、、方形、圆形形截面形状的的合理性。§6-3变截面梁形状状及变截面梁梁圆截面矩形截面方形截面b=h=a（1）先比较矩形形和正方形矩形截面更合合理§6-3变截面梁形状状及变截面梁梁（2）再比较正方方形和圆形面积相等代入正方形截面比比圆形截面合合理说明在面积相相等情况下，，矩形>方形>圆形由此推断：工工字型截面优优于矩形截面面。§6-3变截面梁形状状及变截面梁梁换个角度思考考：WZ值与截面高度度和面积分布布有关，截面面高度越大、、面积分布离离中性轴越远远的话，WZ值就越大，这这也是工字型型形梁更合理理的主要原因因之一。M从应力角度分分析：§6-3变截面梁形状状及变截面梁梁二、变截面梁梁BAl=4mq=2kN/mxCxmMx变截面梁——横截面沿梁轴轴线变化的梁梁等强度梁——梁强度沿轴线线均匀分布§6-3变截面梁形状状及变截面梁梁当荷载比较复复杂时，等强强度梁难以加加工，增加了了加工制造成成本，一般很很少采用等强强度梁。§6-3变截面梁形状状及变截面梁梁BAlFAYFBYx2x1CFabMx§6-4矩形截面梁的的切应力xdxxyPmq(x)ABmnm1n1分几种截面形形状讨论弯曲曲切应力一、矩形截面面梁切应力1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力2、切应力沿截截面宽度均匀匀分布关于切应力的的分布作两点点假设：Fsbhymnm1n1Op1q1pdxxyz§6-4矩形截面梁的的切应力一、矩形截面面梁切应力计算公公式：（6-11）式中，FS-横截面上的剪剪力；IZ-截面对中性轴轴的惯性矩；；b-截面的宽度；；SZ-为面积A*对中性轴的静静矩。A*是过欲求应力力点的水平线线到截面边缘缘间的面积。。KFS、SZ均代绝对值，，切应力方向向依剪力方向向确定。§6-4矩形截面梁的的切应力二、矩形截面面梁切应力分分布公式中，对某某一截面来说说，FS、IZ、b均为常数，只只有静矩是变变量。§6-4矩形截面梁的的切应力二、矩形截面面梁切应力分分布①抛物线②当y=±h/2,τ=0③当y=0,τmax中性轴上切应应力最大，上上下边缘为0，和正应力相相反。§6-4矩形截面梁的的切应力二、矩形截面面梁切应力分分布矩形截面上最最大切应力为为平均切应力力的1.5倍。§6-4矩形截面梁的的切应力例6-6矩形截面简支支梁如图所示示，已知，l=3m，h=160mm，b=100mm，h1=40mm，F=3kN。试求m-m截面上K点的切应力。。解：首先求得得m-m截面上的剪力力为3kN，截面的惯性性矩及面积A*对中性轴的静静矩分别为：：§6-4矩形截面梁的的切应力例6-6矩形截面简支支梁如图所示示，已知，l=3m，h=160mm，b=100mm，h1=40mm，F=3kN。试求m-m截面上K点的切应力。。K点的切应力为为§6-6梁的切应力强强度条件如前所述，对对某一横截面面来说，最大大切应力发生生在中性轴上上，最大值为为：对全梁来说，，最大切应力力发生在剪力力最大的截面面上，即强度条件为：：对梁校核时，，要同时满足足正应力、切切应力强度条条件，二者有有主次，一般般以正应力强强度设计为主主，选好截面面后再通过切切应力条件校校核。§6-6梁的切应力强强度条件解：分别检查查正应力和切切应力。最大大正应力、